1、第四章 图形的相似,初中数学（北师大版）九年级 上册,知识点一 相似三角形的概念,例1 图4-4-1中的两个三角形是否相似?请说明理由.图4-4-1,分析 要判断两个三角形是否相似,需要看三个角是否分别相等,三条边 是否成比例.,解析 这两个三角形相似.理由: = = , = = , = = , = = . D=180-105-30=45,C=180-105-45=30, A=E,B=D,C=F,ABCEDF. 规律总结 判定两个三角形相似,除了要掌握定义外,还要注意正确找 出两个三角形分别相等的角和成比例的边.,知识点二 相似三角形的判定定理1,例2 如图4-4-2所示,1=2=3,试问AB
2、C与ADE相似吗?请说明 理由.图4-4-2,解析 ABCADE.理由:1=2,1+DAC=2+DAC, BAC=DAE,1=3,AOB=COD,B=D, ABCADE. 点拨 应仔细观察图形,寻找图中的隐含条件,从中发现相等关系.,知识点三 相似三角形的判定定理2,例3 如图4-4-3所示,已知A=60,BD,CE分别是ABC对应边上的高, 问ADEABC成立吗?为什么?图4-4-3,分析 已知ADE和ABC有一个公共角,即A,要说明两个三角形相似, 可找另一组角相等或夹公共角的两边成比例.根据在直角三角形中,30 的角所对的直角边等于斜边的一半可知, = = ,从而结论得证.,解析 ADE
3、ABC成立.理由如下: BDAC,CEAB, ADB=AEC=90. A=60,ABD=ACE=30, AB=2AD,AC=2AE, = = . 又DAE=BAC,ADEABC. 点拨 (1)当条件中有两边成比例时,通常考虑相似三角形的判定定理2. (2)注意利用图中的隐含条件,如公共角、对顶角等. (3)相似三角形没有类似全等三角形判定定理的简写形式,解题时不能 把相似三角形的判定定理书写为SSS,SAS等.,知识点四 相似三角形的判定定理3,例4 图4-4-4,图4-4-5中小正方形的边长均为1,则图4-4-5中的三角形 (阴影部分)与ABC相似的是哪一个图形?图4-4-4图4-4-5,解
4、析 BC=2,由勾股定理求得AC= ,AB= . 图4-4-5中,三角形的三边长分别为1, ,2 ; 图4-4-5中,三角形的三边长分别为1, , ; 图4-4-5中,三角形的三边长分别为 , ,3; 图4-4-5中,三角形的三边长分别为2, , . = = = , 图4-4-5中的三角形与ABC相似. 规律总结 利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方法:首先把 两个三角形的边分别按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,再分别计 算小、中、大边的比,最后看三个比是否相等,若相等,则两个三角形相 似,否则不相似.特别地,若三个比相等且等于1,则两个三角形全等.,知识点五 黄金分割,例5 已知线
5、段AB=20 cm,点C是AB的黄金分割点,且ACBC,求AC和BC 的长.,分析 由点C是线段AB的黄金分割点,且ACBC,可想到 = ,而BC= AB-AC,故AC和BC的长可求.,解析 点C是AB的黄金分割点,且ACBC, = .又AB=20 cm, AC= 20=10( -1)(cm),BC=AB-AC=20-10( -1)=(30-10 )cm.,题型 添加条件使两个三角形相似,例 如图4-4-8,在ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,要使ABC AED成立,还需要添加一个条件为 .图4-4-8,解析 分析如下:,答案 C=ADE 点拨 解答添加条件使两个三角形相似的题目,要掌握
6、好三角形相似的 判定方法,看题目有什么已知条件或隐含条件,再根据判定方法添加缺 少的条件.,综上可知,共有三种添加方法.,知识点一 相似三角形的概念,1.已知ABCABC,若AC=3,AC=1.8,则ABC与ABC的相似比 为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 对应边的比是相似比,且有顺序性,故ABC与ABC的相 似比为 = = .故选D.,2.ABC中,AB=12,BC=18,CA=24,另一个和它相似的三角形最长的一边 是36,则最短的一边是 ( ) A.27 B.12 C.18 D.20,答案 C 设另一个三角形最短的一边是x, ABC中,AB=12,BC=18,CA=24,另一
7、个和它相似的三角形最长的一 边是36, = ,解得x=18.故选C.,3.如图4-4-1,在ABC中,DEBC. (1)求 , , 的值; (2)ADE与ABC相似吗?为什么?图4-4-1,解析 (1)由题图可知AB=9,AC=6, = = , = = , = = . (2)ADE与ABC相似. 理由:DEBC, ADE=ABC,AED=ACB. 由(1)知 = = ,又DAE=BAC, ADEABC.,知识点二 相似三角形的判定定理1,4.如图4-4-2所示的三个三角形,相似的是 ( )图4-4-2 A. B. C. D.,答案 A 第、个三角形满足角对应相等,故选A.,5.下列各组图形中有
8、可能不相似的是 ( ) A.各有一个角是50的两个等腰三角形 B.各有一个角是60的两个等腰三角形 C.各有一个角是100的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形,答案 A 选项A中,当一个三角形中,50的角为顶角,底角为65,另一个 三角形中,50的角为底角,顶角为80时,这两个三角形不相似,故选A.,6.(2018天津和平期末)如图4-4-3,四边形ABCD是矩形,E是边BC延长线 上的一点,AE与CD相交于点F,则图中的相似三角形共有 ( )图4-4-3 A.4对 B.3对 C.2对 D.1对,答案 B E=DAF,FCE=D,CEFDAF.E是公共 角,B=FCE, ABEFCE,AB
9、EFDA.共有3对.故选B.,7.如图4-4-4所示,C=E=90,AC=3,BC=4,AE=2,则AD= .图4-4-4,答案,解析 在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4, AB= = =5. C=E=90,BAC=DAE, ABCADE. = ,即 = .AD= .,8.如图4-4-5,在ABC中,AB=AC,BD=CD,CEAB于E,求证:ABDCBE.图4-4-5,证明 AB=AC,BD=CD,CEAB,ADB=CEB=90,又B=B, ABDCBE.,9.(2017山东德州二模)如图4-4-6,在边长为1的正方形ABCD中,E是AB的 中点,CFDE,F为垂足. (1)CDF
10、与DEA是否相似?说明理由; (2)求CF的长.图4-4-6,解析 (1)CDFDEA,理由: 四边形ABCD是正方形, A=90,ABCD, CDF=DEA. 又CFDE, CFD=90,CFD=A, CDFDEA. (2)由题意知AD=CD=1,AE= , 在直角DEA中,DE= = = . 由(1)可得 = ,则CF= = .,知识点三 相似三角形的判定定理2,10.(2018江苏宜兴外国语学校月考)下列条件中可以判定ABC ABC的是 ( ) A. = B. = ,B=B C. = ,A=A D. =,答案 C A,D中只有对应边成比例,角不确定,A,D错;B中B不是AB, AC的夹角
11、,所以B错;C中对应边成比例,且夹角相等,所以C可判定两三 角形相似,C对,故选C.,11.(2014贵州贵阳中考)如图4-4-7,在方格纸中,ABC和EPD的顶点 均在格点上,要使ABCEPD,则点P所在的格点为 ( )图4-4-7 A.P1 B.P2 C.P3 D.P4,答案 C 由题图可知E=A=90,要使ABCEPD,则 = = 2,所以EP=2AB=6,则点P所在的格点为P3,故选C.,12.如图4-4-8,两对角线AC、BD相交于O点,且将四边形ABCD分成甲、 乙、丙、丁四个三角形.若OAOC=OBOD=12,则下列说法中正确 的是 ( )图4-4-8 A.甲、丙相似,乙、丁相似
12、 B.甲、丙相似,乙、丁不一定相似 C.甲、丙不相似,乙、丁相似 D.甲、丙不相似,乙、丁不一定相似,答案 B 在OAB和OCD中,OAOC=OBOD,AOB=COD, OABOCD,即甲、丙相似.无法证明OAD与OCB相似,即乙、 丁不一定相似.故选B.,13.如图4-4-9,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中 点.求证:ADQQCP.图4-4-9,证明 设正方形ABCD的边长为4a,则AD=CD=BC=4a. Q是CD的中点,BP=3PC,DQ=CQ=2a,PC=a. = =2.又D=C=90,ADQQCP.,知识点四 相似三角形的判定定理3,14.若ABC和
13、DEF满足下列条件,其中能使ABC与DEF相似的是 ( ) A.AB=3,BC=8,AC=9,DE= ,EF=2,DF=6 B.AB=4,BC=6,AC=8,DE=5,EF=10,DF=16 C.AB=1,BC= ,AC=2,DE= ,EF= ,DF= D.AB=1,BC= ,AC=3,DE= ,EF=2 ,DF=,答案 A A中, = , = = , = = , = = .ABC与DEF相似. 易知B,C,D不正确,故选A.,15.如图4-4-10,在44的正方形网格中,是相似三角形的是( )图4-4-10 A.和 B.和 C.和 D.和,答案 C 该网格中每个小正方形的边长为1.由题图得中
14、的三角形 的各边长分别为2、 、 ,中的三角形的各边长分别为2 、2、 2 , = = ,两个三角形的三边对应成比例, 相似.故选C.,16.图4-4-11中的两个三角形是否相似?为什么?图4-4-11,解析 先将两个三角形的三边分别按从大到小(或从小到大)的顺序排 列,再计算边的比值. = , = = , = = ,因为 ,所以ABC与ABC不相似.,知识点五 黄金分割,17.已知点C是线段AB的黄金分割点,且ACBC,则下列各式成立的是 ( ) A.AB2=ACCB B.CB2=ACAB C.AC2=BCAB D.AC2=2BCAB,答案 C 根据黄金分割的概念得 = ,AC2=BCAB.
15、,18.主持人主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图4-4-12所示,如果舞台AB的长为12米,一名主持人现在站在A处,则她至少走 米才最理想. ( )图4-4-12 A.18-6 B.6 -6 C.6 +6 D.18-6 或6 -6,答案 A 如图所示,APBP,BP= AB=12 =(6 -6)米, AP=AB-BP=(18-6 )米. 故选A.,19.如图4-4-13,乐器上一根弦固定在乐器面板上A、B两点,支撑点C是 AB靠近点B的黄金分割点,若AB=80 cm,则AC= .图4-4-13,答案 40( -1)cm,解析 点C为AB靠近点B的黄金分割点, AC= AB,又A
16、B=80 cm, AC= 80=40( -1)cm.,1.在ABC中,BC=54,CA=45,AB=63,另一个和它相似的三角形的最短边 的长是15,则最长边的长一定是 ( ) A.18 B.21 C.24 D.19.5,答案 B 设最长边的长为x,则 = ,解得x=21.故选B.,2.如图, = = ,则下列结论不成立的是 ( )A.AEBADC B.BODCOE C.BODBAE D.DCEB=12,答案 C 因为 = = ,A=A,所以ADCAEB,因此DC EB=12,B=C,又因为BOD=COE,所以BODCOE.故选C.,3.如图,矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、CD上,且B
17、EF=90,则三角 形、中一定相似的是 ( )A.和 B.和 C.和 D.和,答案 A BEF=90,AEB+DEF=90, 又AEB+ABE=90,DEF+DFE=90, AEB=DFE,ABE=DEF,AEBDFE. 故选A.,4.如图,给出下列条件:B=ACD;ADC=ACB; = ; AC2=ADAB.其中能够判定ABCACD的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 C B=ACD,A=A,ABCACD. A=A,ADC=ACB,ABCACD. 不能判定ABCACD. AC2=ADAB,即 = ,又A=A, ABCACD.故选C.,5.已知ABC的三边长分别为4、2、5,
18、DEF的两边长分别为6、3,当 DEF的第三边长为 时,ABCDEF.,答案 7.5,解析 根据相似三角形三边对应成比例,可得DEF的第三边长应该是 5的1.5倍,即第三边长为7.5.,6.ABC中,1=2=3,图中有相似三角形吗?请说明理由.,解析 有相似三角形,DEFBCA.理由: CFD=3+FAC,且1=3, CFD=BAC. 同理可得FED=ACB, DEFBCA.,7.如图,已知OAOB,以AB为边作正方形ABCD,过点D作DE垂直于OA, 交OA的延长线于点E.证明:OABEDA.,证明 OAOB,1+2=90. 又四边形ABCD是正方形, BAD=90, 2+3=90,1=3.
19、 OAOB,DEOA, BOA=AED=90, OABEDA.,1.如图4-4-14,D、E分别在ABC的边AB、AC上,且1=2=B,则图 中相似三角形有 ( )图4-4-14 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对,答案 D 1=B,A=A,ADEABC.A=A,1=2, ADEACD,ABCACD,1=B,DEBC,EDC= DCB,又B=2,CDEBCD.故选D.,2.如图4-4-15,在四边形ABCD中,ADBC,ABC=90,AD=2,BC=6,AB= 7,点P是线段BA上的一个动点,连接PC、PD.若PAD与PBC是相似 三角形,则满足条件的点P有 ( )图4-4-15 A.5个
20、 B.4个 C.3个 D.2个,答案 C ADBC,ABC=90,PAD=90,设AP=x,则BP=7-x.分 两种情况:当 = 时, = ,解得x= ;当 = 时, = , 解得x=3或x=4,经检验,x=3,x=4皆为方程的解.综上所述,当AP= 或3或4时, PAD与PBC是相似三角形,即满足条件的点P有3个.故选C.,3.如图4-4-16,RtABC中,ACB=90,ABC=60,BC=2 cm,D为BC的中 点,若动点E以1 cm/s的速度从A点出发,沿着AB的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0t4),连接DE,当以B、D、E为顶点的三角形与ABC相似时,t的值为 ( )图4-4-
21、16 A.2 B.2.5或3.5 C.2或3.5 D.2或2.5,答案 C ACB=90,ABC=60,A=30,AB=2BC=4 cm.分两 种情况:当EDB=ACB=90时,DEAC,EBDABC,D为BC 的中点,BD=CD= BC=1 cm,E为AB的中点,AE=BE= AB=2 cm,t= 2;当DEB=ACB=90时,B=B,DBEABC,BDE= A=30,BE= BD= cm,AE=3.5 cm,t=3.5.综上所述,当以B、D、E为顶点的三角形与ABC相似时,t的值为2或3.5,故选C.,4.一个铝质三角形框架的三条边长分别为24 cm、30 cm、36 cm,要做 一个与它
22、相似的铝质三角形框架,现有长为27 cm、45 cm的两根铝材, 要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外 两边,则截法有 ( ) A.0种 B.1种 C.2种 D.3种,答案 B 分两种情况讨论:(1)以27 cm为一边,把45 cm截成两段.设截 成的两段长分别为x cm、y cm(x45,不合题意,舍去. (2)以45 cm为一边,把27 cm截成两段,设截成的两段长分别为x cm、y cm(x27,不合题意,舍去. 综上可知,截法只有一种.,5.如图4-4-17所示,等边三角形ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D 为AC上一点,若APD=60,则CD
23、的长为 .图4-4-17,答案,解析 APD=60,ABC是等边三角形,CPD+APB=120, B=C=60,BAP+APB=120, BAP=CPD,ABPPCD, = , = ,CD= .,解析 设经过x s,PBQ与BCD相似. 当1=2时,有 = , 即 = ,解得x= . 当1=3时,有 = , 即 = ,解得x=2. 故经过2 s或 s,PBQ与BCD相似.,7.(2017浙江杭州西湖模拟)如图4-4-19,B,C,D在同一直线上,ABC和 DCE都是等边三角形,且在直线BD的同侧,BE交AD于F,交AC于M,AD交 CE于N. (1)求证:AD=BE; (2)求证:ABFADB
24、.图4-4-19,证明 (1)ABC与DCE都是等边三角形, AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=60. ACB+ACE=ACE+DCE,即BCE=ACD. 在BCE和ACD中, BCEACD(SAS),AD=BE. (2)由(1)知BCEACD,CBE=CAD. BMC=AMF, AFB=ACB=60=ABC. 又BAF=DAB,ABFADB.,1.将三角形纸片(ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记 为点B,折痕为EF,已知AB=AC=3,BC=4,若以点B,F,C为顶点的三角形与 ABC相似,那么BF的长度是 ( )A. B.2 C. 或2 D. 或2,答案 D 设BF
25、=x,则FC=4-x,ABC按题图所示的方式折叠,使点B 落在边AC上,BF=BF=x.当BFC=B时,C=C,BFCABC, = ,即 = ,解得x= ;当FBC=B时,FBCABC,所以 = ,AB=AC,FB=FC,即x=4-x,解得x=2.故若以点B,F,C为顶点的三角形与ABC相似,那么BF的长度为2或 .故选D.,2.如图,ABC为等边三角形,P为BC上一点,APQ为等边三角形,PQ与 AC相交于点M,则下列结论中正确的是( ) ABCQ;ACQ=60;AP2=AMAC;若BP=PC,则PQAC.A.只有 B.只有 C.只有 D.,答案 D ABC和APQ是等边三角形,AB=AC,
26、AP=AQ,BAC= B=PAQ=60,BAP=CAQ=60-PAC,ABPACQ(SAS), ACQ=B=60,故正确;BAC=60,BAC=ACQ,ABCQ,故正确;APQ=ACP=60,PAC=PAC,APMACP, = ,AP2=ACAM,故正确;若BP=PC,则BAP=30,PAC= 30,APQ=60,AMP=90,PQAC,故正确.故选D.,3.如图,在RtABC中,AC=8,BC=6,直线l经过C,且lAB,P为l上一个动 点,若ABC与PAC相似,则PC= .,答案 6.4或10,解析 在RtABC中,AC=8,BC=6,AB= =10,lAB,PCA=CAB.当PAAC时,
27、ABCCPA,ABPC=ACAC,即10PC=88,解得PC=10;当APPC时,ABCCAP,ABAC=ACPC,即108=8PC,解得PC=6.4.综上可知,若ABC与PAC相似,则PC=6.4或10.,4.如图,在44的正方形网格中,ABC和DEF的顶点都在边长为1的小 正方形的顶点上. (1)填空:ABC= ,BC= ; (2)判断ABC与DEF是否相似,并证明你的结论.,解析 (1)135;2 . (2)相似.证明:DEF中,DEF=135, 易知AB=2,BC=2 ,EF=2,DE= . 因为 = = , = = , 所以 = ,又ABC=DEF=135, 所以ABCDEF.,5.
28、如图,已知ABC中,BAC=90,ADBC,ABE和ACF都是等边三 角形.求证:EBDFAD.证明 BAC=90,ADBC, ABD+ACD=DAC+ACD=90, ABD=DAC. ADC=ADB=90, ABDCAD., = . ABE和ACF都是等边三角形, AB=BE,AF=AC, = . 又EBA=CAF=60, EBA+ABD=CAF+DAC,即EBD=FAD, EBDFAD.,6.如图所示,在ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,连接DE并延长,交 BC的延长线于点F,连接DC、BE,BDE+BCE=180. (1)写出图中两对相似的三角形(注意:不得添加字母和线); (2)
29、请你在所找出的相似三角形中选取一对,说明它们相似的理由.,解析 (1)ADEACB,CEFDBF. (2)ADEACB. 理由:ADE+BDE=180,BDE+BCE=180, ADE=BCE.又A=A, ADEACB.,1.(2019湖南长沙铁路一中期中,11,)如图4-4-20,已知BC交AD于 点E,ABEFCD,那么图中相似三角形共有 ( )图4-4-20 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对,一、选择题,答案 C EFAB,DEFDAB, EFCD,BEFBCD, ABCD,ABEDCE,故选C.,2.(2018天津和平期末,3,)如图4-4-21,在44的正方形网格中,小正 方形
30、的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与ABC相似的三角形 所在的网格图形是 ( )图4-4-21,答案 B 根据勾股定理,得AB= =2 ,BC= = ,AC= , 所以ABC的三边长之比为 2 =12 . B项,三角形的三边长分别为2,4, =2 ,所以三边长之比为24 2 =12 ,故B选项正确.,3.(2019贵州铜仁松桃月考,16,)如图4-4-22,在ABCD中,F是BC 上一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BPDF,且与AD相交于点P, 请问图中共有几对相似三角形?答: .图4-4-22,二、填空题,4.(2019福建莆田秀山中学月考,15,)如图4-4-23,ABC中,
31、C= 90,BC=8 m,AB=10 m,点P从B点出发,沿BC方向以2 m/s的速度移动,点 Q从C点出发,沿CA方向以1 m/s的速度移动.若P、Q同时分别从B、C出 发,经过 秒,CPQCBA.图4-4-23,答案 2.4,解析 设经过t秒,CPQCBA,则CQ=t m,CP=(8-2t)m.在ABC中, C=90,BC=8 m,AB=10 m, 由勾股定理得AC= = =6(m), CPQCBA,CPCB=CQCA,即(8-2t)8=t6,t=2.4.,三、解答题,1.(2018江苏扬州江都月考,6,)如图,点P在ABC的边AC上,添加 下列一个条件,不能判定ABPACB的是( )A.
32、ABP=C B.APB=ABC C. = D. =,答案 D 在ABP和ACB中,BAP=CAB, 当ABP=C时,满足两角相等,可判定ABPACB,故A正确; 当APB=ABC时,满足两角相等,可判定ABPACB,故B正确; 当 = 时,因为A=A,所以满足两边成比例且夹角相等,可判定 ABPACB,故C正确; 当 = 时,其夹角不一定相等,则不能判定ABPACB,故D不正 确.故选D.,2.(2017甘肃兰州二十七中模拟,5,)如图,APD=90,AP=PB=BC= CD,则下列结论成立的是 ( )A.PABPCA B.PABPDA C.ABCDBA D.ABCDCA,答案 C APD=9
33、0,而ABP=PABPAC, 无法判定PAB与PCA相似,故A错误; 同理,无法判定PAB与PDA,ABC与DCA相似,故B、D错误; APD=90,AP=PB=BC=CD, AB= PA,AC= PA,AD= PA,BD=2PA, = = , = = , = = , = = , ABCDBA,故C正确.故选C.,3.(2017安徽合肥十九中模拟,14,)如图,在平面直角坐标系中有两 点A(4,0)、B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为 或 时,使得由点B、O、C组成的三角形与AOB相似(至 少找出两个满足条件的点的坐标).,答案 (-1,0);(1,0)(答案不唯一
34、),解析 点C在x轴上,点C的纵坐标是0. 当AOBCOB,即OC与OA对应时,OC=OA=4,此时C(-4,0); 当AOBBOC,即OC与OB对应时,OC=1,此时C(-1,0)或(1,0). 故点C的坐标可以为(-1,0)、(1,0)或(-4,0),填两个即可.,4.(2019江苏苏州相城期中,26,)如图,在矩形ABCD中,E为BC上一 点,DFAE于点F,且AD=10,BE=8,EF=2,求DF的长.,解析 DFAE,AFD=90, B=AFD=90. 又ADBC, DAE=AEB,ABEDFA, = , AD=10,BE=8,EF=2, = , 解得AF=8或AF=-10(舍去),
35、 DF= = =6.,5.(2017上海普陀一模,22,)已知,如图,在四边形ABCD中,BAD= CDA,AB=CD= ,CE=a,AC=b 求证:(1)DECADC;(2)AEAB=BCDE.,6.(2019辽宁鞍山铁西期中,23,)如图,在ABC中,AB=AC,点D在 BC边上,CEAD,交AD的延长线于E,且BC=2AE. (1)求证:AD=CD; (2)求证:AB2=ADBC.,ADFCDE(AAS), AD=CD. (2)AB=AC,ACB=B. 又DAC=ACD, CAD=B, ACDBCA, AC2=CDBC. DAC=ACD, AD=CD. 又AB=AC, AB2=ADBC.
36、,一、选择题,1.(2018湖北恩施中考,12,)如图4-4-25所示,在正方形ABCD中,G 为CD边的中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG 于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为 ( )图4-4-25 A.6 B.8 C.10 D.12,答案 D 四边形ABCD为正方形,AB=CD,ABCD,ABF=GDF,BAF=DGF,ABFGDF, = =2,AF=2GF=4,AG=6. CGAB,AB=2CG,CG为EAB的中位线,AE=2AG=12.故选D.,答案 C DE平分ADC,ADC为直角, ADE= 90=45, ADE为等腰直角三角形,AD=AE, 又四边形
37、ABCD为矩形,AD=BC,AE=BC.故正确. BFE=90,BEF=AED=45, BFE为等腰直角三角形,EF=BF, 又AEF=DFB+ABF=135,CBF=ABC+ABF=135, AEF=CBF. 在AEF和CBF中,AE=BC,AEF=CBF,EF=BF, AEFCBF(SAS),AF=CF.故正确. 连接AC,假设BF2=FGFC,则FBGFCB,FBG=FCB=45, 易得ACF=45,ACB=90,显然不可能,故错误. BGF=180-CGB,DAF=90+EAF=90+(90-AGF)=180- AGF,AGF=BGC, DAF=BGF,ADF=FBG=45, ADFG
38、BF, = = . EGCD, = = , = . AD=AE,EGAE=BGAB,故正确. 故选C.,二、填空题,3.(2018北京中考,13,)如图4-4-27,在矩形ABCD中,E是边AB的中 点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为 .图4-4-27,答案,解析 四边形ABCD为矩形,AB=CD,AD=BC,ABCD,FAE= FCD,又AFE=CFD,AFECFD, = =2.AC=5,CF= AC= 5= .,4.(2018四川南充中考,15,)如图4-4-28,在ABC中,DEBC,BF平 分ABC,交DE的延长线于点F.若AD=1,BD=2,BC=4,
39、则EF= .图4-4-28,答案,解析 DEBC,F=FBC,BF平分ABC,DBF=FBC, F=DBF,DB=DF.DEBC,ADEABC, = , 即 = ,解得DE= .DF=DB=2,EF=DF-DE=2- = .,5.(2018贵州安顺中考,15,)如图4-4-29,点P1,P2,P3,P4均在坐标轴上, 且P1P2P2P3,P2P3P3P4,若点P1,P2的坐标分别为(0,-1),(-2,0),则点P4的坐 标为 .图4-4-29,答案 (8,0),解析 点P1,P2的坐标分别为(0,-1),(-2,0), OP1=1,OP2=2.RtP1OP2RtP2OP3, = ,即 = ,
40、解得OP3=4. RtP2OP3RtP3OP4, = ,即 = , 解得OP4=8.则点P4的坐标为(8,0).,6.(2018山东东营中考,24,) (1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目: 如图4-4-30,在ABC中,点O在线段BC上,BAO=30,OAC=75, AO=3 ,BOCO=13,求AB的长. 经过社团成员讨论发现,过点B作BDAC,交AO的延长线于点D,通过构 造ABD就可以解决问题(如图4-4-30). 请回答:ADB= ,AB= . (2)请参考以上解决思路,解决问题: 如图4-4-30,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,ACAD, AO=3 ,
41、ABC=ACB=75,BOOD=13,求DC的长.,三、解答题,图4-4-30,解析 (1)BDAC,ADB=OAC=75.BOD=COA, BODCOA, = = . 又AO=3 ,OD= AO= ,AD=AO+OD=4 . BAD=30,ADB=75,ABD=180-BAD-ADB=75=ADB, AB=AD=4 . 故答案为75;4 . (2)过点B作BEAD交AC于点E,如图所示.,ACAD,BEAD,DAC=BEA=90.AOD=EOB,AODEOB, = = . BOOD=13, = = .AO=3 ,EO= ,AE=4 . ABC=ACB=75,BAC=30,AB=AC,AB=2
42、BE.在RtAEB中, BE2+AE2=AB2,即(4 )2+BE2=(2BE)2,解得BE=4,AB=AC=8,AD=12. 在RtCAD中,AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,解得CD=4 .,1.(2017山东潍坊中考,15,)如图,在ABC中,ABAC,D、E分别 为边AB、AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条 件: ,可以使得FDB与ADE相似.(只需写出一个),答案 A=BDF A=BFD或ADE=BFD或ADE=BDF或 DFAC或 = 或 =,解析 AC=3AD,AB=3AE, = = , 又A=A, ADEACB,AED=B. 故
43、要使FDB与ADE相似,只需再添加一组角相等,或夹角的两边成 比例即可.,2.(2016湖北黄冈中考,14,)如图,已知ABC,DCE,FEG, HGI是四个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG,GI在同一直线上,且AB= 2,BC=1,连接AI,交FG于点Q,则QI= .,答案,解析 ABC,DCE,FEG,HGI是四个全等的等腰三角形, GI=EG=CE=BC=1,BI=4, AB=2, = , ABC=IBA,ABCIBA, = ,AI=4. ACB=FGE,GQAC. = ,QI= .,3.(2016浙江杭州中考,19,)如图,在ABC中,点D、E分别在AB、 AC上,AED=B.射
44、线AG分别交线段DE、BC于点F、G,且 = . (8分) (1)求证:ADFACG; (2)若 = ,求 的值.,解析 (1)证明:AED=B,DAE=CAB, ADEACB.ADE=C. 又 = ,ADFACG. (2)ADFACG, = = , =1.,4.(2018上海中考,23,)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一 点,BEAP,DFAP,垂足分别是点E、F. (1)求证:EF=AE-BE; (2)连接BF,如果 = ,求证:EF=EP.,证明 (1)如图,四边形ABCD为正方形, AB=AD,BAD=90. BEAP,DFAP, BEA=AFD=90. 1+2=90,2+3=90, 1=3. 在ABE和DAF中,ABEDAF, BE=AF, EF=AE-AF=AE-BE.,
