1、第二章 数字系统,2.1 引言 2.2 位置化数字系统,2.1 引言,数字系统：,定义了如何用独特的符号来表示一个数字。,不同的系统中，数字有不同的表示方法,数字系统,位置化系统,非位置化系统,主要讨论位置化系统。,2.2 位置化数字系统,数制 数制也称为进位计数制。是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。该数制系统中的符号被称为数码。 基数 数制所用到的数字符号个数。 基数简称“基”或“底”。常用字母R表示。 如十进制数制，可用“0，1，2，9”，10个符号来表示，基数为10，即R=10。,位权 一个数码处在不同位置所代表的值不同。每个数码所表示的数值等于该数码乘以一个与数码所在位
2、置相关的常数，这个常数叫做位权。 位权的大小：以基数为底、数码所在位置的序号为指数的整数次幂。 例如：219=2102+1101+9100,常用的数制 十进制符合人们习惯。 二进制计算机内部表示和存储数据，便于物理实现。 十六进制、八进制便于书写，与二进制转换。 常用的数制表示方法 下标法 字母法,下标法 用小括号将要表示的数括起来，然后在右括号外的右下角写上数制的基数R。 一般我们用（ ）角标表示不同进制的数据。 如：十进制数用（ ）10表示，二进制数用（ ）2表示（1056.78）10 表示1056.78是十进制数（756）8 表示756是八进制数（1101.0101）2 表示1101.0
3、101是二进制数,字母法 在计算机中，在数字后加字母表示不同进制数据。 其中：B二进制D十进制O八进制H十六进制 如： 1011.01B，678H，156D, R2 二进制,数码个数:2个 计数规律: 例：,0,1,逢二进 1,借一当 2,(11011.01)2 = 124+123 +022+121+120 +02-1 +12-2,2. 采用二进制的原因 （1）易于物理实现 电子元件双稳工作的特点 只有两个数字0和1，可表示两个不同的稳定的物理状态。 （2）二进制数运算简单 二进制数的运算规则简单，使计算机运算器的结构、逻辑线路的设计大大简化。,（3）机器可靠性高 使用二进制数只有两个状态，数
4、字的传输和处理不容易出错，计算机工作可靠性高。 （4）通用性强 由于二进制数只有0和1两个数，可以代表逻辑代数中的“真”和“假”，因而，逻辑代数能够成为计算机设计的数学基础。,2. R8 八进制,数码个数:8个 计数规律: 例：,0,1,2,3,4,5,6,7,逢八进 1,借一当 八,(176.5)8 = 182+781 +680 +58-1,3. R16 十六进制,数码个数:16个 计数规律:例：,逢十六进 1,借一当 16,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F(0 10 15),(FA1.C)16 = F162+A161 +1160 +C16-1,二进制与十进制、
5、八进制、十六进制之间的转换,二进制与十进制、八进制、十六进制之间的转换,几种进位计数制的表示和运算规则,进位计数制的表示方法 对于任意的 R 进制数 位置计数法（N）R=an-1an-2 a1a0.a-1 a-m 按权展开法（N）R=an-1Rn-1+an-2Rn-2+ +a1R1+a0R0+a-1R-1+ +a-mR-m(其中n为整数位数，m为小数位数，R为基数 ),进位计数制的表示方法 如，十进制数 （34958.34）10=3104+4103+9102+5101+8100+310-1+410-2 二进制数 （100101.01）2=125+024+023+122+021+120+02-1
6、+12-2,和式,二、 其他进制,其它进制的计数规律可看成是十进制计数制的推广，对任意进制 R，数N可以表示成按权展开式。,(N) R=(an-1 an-2 a1 a0. a-1 a-2 a-m)R,(N)R = an-1R n-1+an-2R n-2 + a1R1+a0R0+a-1 R-1+a-2R-2+a-mR-m,按权展开式：,2.2.6 数制之间的转换,二进制转十进制 方法：用十进制计数制把二进制数各位置的数按权展开后相加。 例2-1 求(1001.101)2的十进制数值。解：(1001.101)2 = 123+022+021+120+12-1+02-2+12-3= 8+1+0.5+0
7、.125=(9.625)10,十进制转二进制 方法: 整数部分：除以2取余，至商为零；所得的余数倒序排列。 小数部分：乘以2取整，达到精度为止；乘积的整数部分顺序排列。,求(19)10的二进制数值。 解:因此，(19)10 = (10011)2,2,2,2,2,2,19,4,2,1,0,余数,低位,高位,9,0.6 8 7 5,整数部分 2,1(K-1) 1.3 7 5 0, 2,0(K-2) 0.7 5 0 0, 2,1(K-3) 1.5 0 0 0, 2,1(K-4) 1.0 0 0 0,高位,低位,十进制小数转二进制小数 例2-3 求(0.6875)10的二进制数值。,十进制小数转二进制
8、小数 十进制小数转换为二进制小数过程中，有时会出现乘积的小数部分总不等于0的情况，或者出现循环小数的情况 如：(0.2)10 =( 0.001100110011)2 这样的情况下，乘2过程的结束由所要求的转换精度确定。 一般当要求二进制数取m位小数时，可求出m+1位，然后对最低位作0舍1入处理。,十进制小数转二进制小数 例2-4 求(0.323)10的二进制数值。（保留4位小数） 解:因此，(0.323)10 = (0.0101)2,十进制数转二进制数 例2-5 将(237.625)10转换成二进制数。 解:则，(237.625)10 = (11101101.101)2,整数除2取余,小数乘2
9、取整,R进制转十进制 方法：用十进制计数制把R进制数各位置的数按权展开后相加。练:将下列数转换成十进制数。(1011)2 (237)8 (AB2)16,十进制数转R进制数 整数部分：除以R取余，至商为零；所得的余数倒序排列。 小数部分：乘以R取整，达到精度为止；乘积的整数部分顺序排列。 练:(保留位小数)(12.5)10=( )2(72.8)10=( )8(12.13)10=( )16,二进制和八进制转换 转换原则：每三位二进制对应一位八进制数。 二进制转八进制 “三位一并”法 方法：从小数点开始分别往两边，整数部分自右向左，小数部分自左向右，按每三位为一组，不足三位用0补齐，每组用相应的八进
10、制数写出。 八进制转二进制 “一分为三”法 方法：每位八进制数用三位二进制数代替。,二进制转八进制 例2-6 将（10110101110.11011）2转换为八进制数。则（10110101110.11011）2（2656.66）8,010 110 101 110.110 110,2 6 5 6 . 6 6,八进制转二进制 例2-7 将（6237.431）8转换为二进制数。则（6237.431）8（110010011111.100011001）2,110 010 011 111 .100 011 001,6 2 3 7 . 4 3 1,二进制和十六进制转换 转换原则：每四位二进制对应一位十六进制
11、数。 二进制转十六进制 “四位一并”法 方法：从小数点开始分别往两边，整数部分自右向左，小数部分自左向右，按每四位为一组，不足四位用0补齐，每组用相应的十六进制数写出。 十六进制转二进制 “一分为四”法 方法：每位十六进制数用四位二进制数代替。,二进制转十六进制 例2-8 将（1001010111.110110111）2转换为十六进制数。则（1001010111.110110111）2（257.DB8）16,0010 0101 0111.1101 1011 1000,2 5 7 . D B 8,十六进制转二进制 例2-9 将（3CB.61）16转换为二进制数。则（3CB.61）16（1111001011.01100001）2,0011 1100 1011.0110 0001,3 C B . 6 1,课堂练习：,（1101101.01）2=（ ？）82. （1101101.01）2 =（ ？）163. (54A.69) 16 = ( ? ) 2,4. (54A.69) 16 = ( ? ) 8,本章小结,理解数字系统的概念 重点掌握数制及数制之间的转换,
