1、1, 曲线积分, 格林公式及其应用, 曲面积分, 高斯公式、通量与散度, 斯托克斯公式、 环流量与旋度,第 章,9,线积分与曲面积分,2,9.1 曲线积分,9.1.1 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）,9.1.3 两类曲线积分之间的联系,9.1.2 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）,3,1 引例,实例:曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,9.1.1 对弧长的曲线积分,4,2 对弧长的曲线积分的定义,5,被积函数,积分弧段,积分和式,曲线形构件的质量,6,注意：,7,存在条件,推广,8,性质,9,3. 对弧长曲线积分的计算,定理,10,计算方法化为对参数的定积分
2、，“一代二换三定限”,“二换”：将 换成,“三定限”： 对应于L的两个端点，下限小上限大。,11,注意,特殊情形,12,13,推广,4 举例,14,解：,例1 计算 所围区域的边界。,15,例2 计算 ，其中,解,16,例3 计算曲线积分 ，其中为螺旋线 上相对于 从0到2的一段弧。,解,17,例4 计算 ，其中 （1） （2）,解 （1）,（2）,问题：如上例中被积函数是 ，应如何做？,18,例5 计算 其中 为连结,解 设 是 上任意一点，则, ,的直线段。,直线 的方程：,19,的参数方程为,20,练习1,解,解,练习2,21,5.几何与物理意义,22,例如：求椭圆柱面,位于xoy面上方
3、及平面,z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S 。,解,取,23,24,6.小结,1、对弧长曲线积分的概念,2、对弧长曲线积分的计算,3、对弧长曲线积分的应用,25,思考题,对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？,26,思考题解答,的符号永远为正，它表示弧段的长度.,27,9.1.2 对坐标的曲线积分,1.引例 实例: 变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,28,求和,取极限,近似值,精确值,29,定义,30,类似地定义,31,2.存在条件：,组合形式,32,推广,33,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,34,2.对坐标的曲线积分的计算,定理,35,计算方法：化为对参数
4、的定积分，“一代二定限”。,36,特殊情形,37,38,例1,解,39,40,例2,41,现象：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,42,例3,解,43,44,现象：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,45,例4. 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解: 取 的参数方程,46,例5 设一个质点在 处受到力 的作用， 的大小与 到原点 的距离成正比， 的方向恒指向原点。此质点由点 沿椭圆 按逆时针方向移动到点 ，求力 所作的功 。,解：,47,48,(4) 两类曲线积分之间的联系：,函数 在以 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 。 又函数
5、 在L上连续。于是，由对坐标的曲线积分计算公式（1）有,49,有向曲线弧L的切向量t的方向规定与L的方向一致。如L的方向对应于参数t增加的方向（即上式中 ），则反之则 它的方向余弦为,50,(当 时取正号， 时取负号),当 时，,51,当 时，,52,53,一般地，平面曲线L上的两类积分之间有如下联系：,（可以推广到空间曲线上 ）,符号的取法： 的方向与参数 增加时动点移动的方向一致是取正号， 相反时取负号。,的求法：,设,54,可用向量表示,有向曲线元；,55,例6 把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分， ：沿上半圆周 从点(0，0)到点(2，0).,56,方法二：,所以,57,3.小结,1、对坐标曲线积分的概念,2、对坐标曲线积分的计算,3、两类曲线积分之间的联系,58,思考题,59,思考题解答,曲线方向由参数的变化方向而定.,
