曲线积分.txt

1、第四章 曲线曲面积分第一讲 型曲线积分与型曲面积分教学目的与要求：1. 理解型（对弧长的）曲线积分的概念和性质；2. 理解型（对面积的）曲面积分的概念和性质；3. 掌握计算曲线积分与曲面积分的方法；4. 了解曲线积分与曲面积分的应用。知识点：型曲线积分的概念、性质、计算及应用；型曲面积分的概念、性质、计算及应用重点：型曲线曲面积分的计算难点：型曲线曲面积分的概念教学方式：启发对比式教学，多媒体辅助教学思路：有定积分和重积分为基础，指出重积分及定积分的本质区别是积分区域不同，从而将积分区域再次变更，就自然地引入了型曲线曲面积分；为了得出精确定义以实例为背景，再逐一介绍性质、计算方法及应用，并以对

2、比的方式进行。教学过程：一、引例与概念指出定积分、二重积分、三重积分的概念都是构造性定义，它们的实际背景分别是曲边梯形的面积，曲顶柱体的体积、物体的质量，那么曲线形构件的质量，曲面形构件的质量又怎 得 ，是 得 们 要引进的概念， 面 引例。1 引例引例1 有线 为(x, y)的 面曲线形构件L，求 质量解：分 ，M1，M2， ，Mn-1 si ，求和， （ ）， （精确 ）引例2 有线 为 的 曲线形构件 ，求 质量。解：分 ，M1，M2， ，Mn-1 si ，求和， （ ）， （精确 ）引例3 有面 为 的 曲面形构件 ，求 质量。解：分 ，用一 曲面将 分 ， 求和， （ ）， （精确

3、）以 三 引例有同点：（1）都与和区域有；（2）理方法一 （分 、求和、 ），（3）一 （和的 ）。currency1“得型曲线曲面积分的定义。2 概念型线面积分的一定义（形式 的定义）S曲线（fi曲面），是“以 量的，f (P)是有fl（1）将S 分n 分S1， ，Sn（Si量 ）；（2） ，积 和 ；（3）” 的 对S怎 的分， 怎 的 法 都 ， 为 S 的曲线（fi曲面）积分。”为 （1） ，对弧长的曲线积分（2） ，对弧长的曲线积分（3） 对面积的曲面积分：（1） 曲线弧L ，对弧长的曲线积分 。（1） 曲面 ，对面积的曲面积分 。（2）曲线型构件的质量 （2）曲面型构件的质量 （3

4、）L为 曲线，”为 （3） 为 曲面，”为 （4） ， （4） ，型线面积分与方 二性质（1） （1） （2） （k为）（2） （k为）（3） （3） （4） 。三、对弧长的曲线积分的计算1 计算法定理1 （1） L ，（2）L的 方程为 ，（3） 有一 ， ， ）定理 从 。：（1）积分 一定 ；（2）计算，将 ，再 的积分概 为 一 二 三定 ；（3） 。（4） 。（5） （6） .ex1. 计算 ， L是以O(0,0), A(1,0), B(0,1)为顶点的三形的边。解：；ex2. 计算 ， L为 ，线 及 第一 的形的 边fl。解： ；ex3. 计算 ， 为线A(0,0,0), B(0

5、,0,2), C(1,0,2), D(1,3,2).解：；2 用对性 计算用对性“以 I型曲线积分的计算， 用 积与积分区域 方面的对性要 。I型曲线积分的对性 形：（1）L对 x ， （2）L对 y ， ex4. 求 ， ，从（1，2） （1，?2）一 .方法1. .方法2. currency1 L x 对，积是 y的 .ex5. 求 ， 为 解 currency1对性，知 ，球面大 长）四、对弧长的曲线积分的应用（1） L的线 ， （2） ，L弧长= （3） 立 L 的柱面 点 的高， （4）曲线弧的重心坐标 （5）曲线弧的转动惯量 对 曲线形构件有ex6. 有曲线形构件方程为 ， ，求

6、解：（1） （2） 五、对面积的曲面积分的计算1 计算法定理2. （1） 有 曲面 （2） ， 定理 从 ，这里只 单给出dS的 。 ， ， ， 立。：（1）计算过程“概 为 一投影二 三 ， 为二重积分。（2） 曲面为 （3） 曲面为 （4）一般地，投影区域易找 面积 0的坐标面投影。ex7. 计算 ， 是半球面 锥面 里的 分。解： ex8. 计算 ， 是currency1 ， 的四面体的 边fl曲面。解： ex9. 计算 是介 面 及 之 的 柱面 。解： ，：本题 曲面不 xoy面投影。2 用对性 计算用对性“以 I型曲面积分的计算， 用 积与积分区域 方面的对性要 。I型曲面积分的对

7、性 形：（1） xoy面对，（2） yoz面对，（3） zox面对，ex10. 计算 ， 为球面 解：球面 三 坐标面对， xy, yz, zx是 x, y, z的 ，ex11 计算 ， 是 柱面 ， 面 及 的 立体的面。解： ： ，投影域 ，投影域 显然 ，讨 ，将投影域 xoz 。（： 分为左、右 片）投影域 ，ex12. 计算 ， 为 z = 1 的 分解： ，抛物面 yoz面与zox面对，而 是 x与y的偶，ex13. 计算 ， 为 球面 的八面体 面。解 三 坐标面对， 是 x, y, z的偶，原积分 ，（ 第一 分曲面），即 = 六、对面积的曲面积分的应用（1） 的面 ， ；（2

8、） ， ； （3）曲面构件的重心坐标（4）曲面构件的转动惯量例14 书 652页例题7。本课：本次课着重介绍了型曲线曲面积分的概念与计算方法， 特别对性的 用以及与定积分和重积分的区别。思考题：1 对弧长的曲线积分的定义 的符号“ 为负吗？解： 的符号永为正，它弧 的长 。2. 对面积的曲面积分 为二重积分的公式 ，有因子 ，试说 何义。解： 是曲面法线与z 夹的余弦的倒。业：见练习册。第二讲 型曲线积分教学目的与要求：1 理解型（对坐标的）曲线积分的概念和性质；2 了解 类曲线积分的系；3 掌握计算型曲线积分的方法；4 了解型曲线积分的应用。知识点：型曲线积分的概念、性质、计算及应用； 类曲

9、线积分的系。重点：型曲线积分的计算难点：型曲线积分的概念教学方式：对比启发式教学，多媒体辅助教学思路：给出实例，分析得 与型曲线积分 类 又有区别的，从而引入概念， 着介绍 计算方法，从计算法“以 出 类曲线积分是有联系的，最后指出 类曲线积分的系。教学过程：一、引例与概念实例：变力沿曲线 的功考虑质点 用 ，沿xoy面 曲线弧Lcurrency1A移至B，求 的功。分 ： ， ，即 求和 （ ）（精确 ）同 ， 们把和的 抽出来，为型曲线积分。定义： L为xoy面 从A B的有 曲线弧，L 有fl。（1） 分Ln 有弧 , ;（2） ；（3）” 的长 对L怎 的分， 怎 的 法，（*）（*）

10、都 ，（*）为 L 对坐标x的曲线积分；（*）为 L 对坐标y的曲线积分。为第二类曲线积分fi型曲线积分”为 ：（1） 性： 曲线弧L ，第二类曲线积分 。（2） （3）物理义：变力沿曲线功 （4） 是弧 x, y 的投影，“正“负。（5）对 有曲线弧 有 二、性质1 2 把L分L1和L2， 3 即对坐标的曲线积分与曲线的方有。三、对坐标的曲线积分的计算1 计算法定理（1） L ，（2）L的 方程为 ，有一 ， （3）t单调地currency1 变 ，点 currency1L的起点沿L 动 B 定理 。：（1）定积分是从（起点 终点）进行积分的。 随L的方不同， “正“负。（2） xcurre

11、ncy1 （3） ycurrency1 （4） currency1 currency1 （5） currency1 （6）计算过程概 为 一 二 三定 。ex1 计算 ， L为 （按逆钟方绕行）。解： 方程 currency1 ex2 计算 ， L为 第一 的 分（按逆钟方绕行）。解法1： 方程 ， tcurrency1 解法2： 的 坐标方程为 方程 ， currency1 ex3 计算 ， L为有线O（0，0），A（1，1），B（0，1），O。解 currency1 ；currency1 ；currency1 ；ex4 计算 ， 为有线A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1

12、),A.解： ，xcurrency1 ； ，ycurrency1 ；，xcurrency1 ；2 用对性 计算用对性“以 II型曲线积分的计算， 用 积与积分区域 方面的对性要 。II型曲线积分的对性 形：（1）L对 x ，（2）L对 y ，四、对坐标的曲线积分的应用对坐标的曲线积分的应用主要是变力功，即 ex5. 求力场 沿曲线 ， 自 的功。解： 的 方程 ， tcurrency1 五、 曲线积分之 的联系有 面曲线弧为 ， 一方面， 单位切量另一方面， 是L 的切量的方余弦。同 ， ， 是 的切量的方余弦。ex6. 将 为对弧长的曲线积分， L是 半 从(0, 0) (1, 1)解 依题

13、，L为 本课： 本次课介绍了型曲线积分的概念、计算、应用以及与型曲线积分之 的系， 类曲线积分 计算 的 同和不同之，型曲线积分对性的 用要条件和。思考题：曲线L的 方程为 ，a为， ，试问何L的方？解：曲线方currency1 的变 方而定。t从0 ，L 逆针方；t从 变 0，L 顺针方。业：见练习册。第三讲 Green公式及 应用教学目的与要求：1 掌握Gren公式；2 会 用 面曲线积分与路 的条件；3 会求全微分的原；4 会解全微分方程知识点：Green公式， 面曲线积分与路 的条件，已知全微分求原，单通区域，全微分方程重点：Green公式难点：Green公式的应用教学方式：讲练合，多

14、媒体辅助教学思路： Green公式立的基础 ，逐一介绍Green公式 多方面的应用。 面曲线积分与路 的条件，已知全微分求原，求解全微分方程是三 有 切联系的问题， 介绍过程 要强调这一点，这既省 又 使知识 渗透。教学过程：currency1曲线积分与二重积分的计算法发现，它们最终都与定积分 联，而 面曲线 的区域正好是 面区域，那么曲线积分是 与二重积分有联系呢？ 面currency1Green公式来告诉 们。一、Green公式Green公式叙述了曲线积分与二重积分的系，首先介绍1 单通区域D为 面区域，D 一曲线 的 分都属 D，D为 面单通区域， 为复通区域。单通区域不含有 洞 fi

15、点洞 ；复通区域含有 洞 fi 点洞 ；2 D的边fl曲线L的正规定观 沿L的正行 ，区域D 的那一 分 的左边。3 Green公式定理 区域Dcurrency1分 的曲线L ， D 有一 ，L为D的 正的边fl曲线， 为L的切量的方余弦。D的不同形 ，分三 进行讨。（1）D既是x-型区域又是y-型区域同理“ 式 得 （2）Dcurrency1一条分 的曲线 ，将D分三 既是X-型又是Y-型的区域D1，D2，D3（ 对D来说为正方）（3）D为复通域，currency1（2）知 （ 对D来说为正方）” 形式：应用Green公式条件 一不“。3 Green公式的 单应用（1） 曲线积分ex1. 计

16、算 ， 曲线L从E(1, 0) F(2, 1)再 G(3, 0)，FG是半 弧。解 辅助线GE， 用Green公式， 原式 ex2 求 ， 为 一给定方， 为合曲线C的切量。解 的方余弦为 （）的方余弦为 ， ， ex3 计算 ， L为一条 重点，分 不 过原点的 曲线，L的方为逆针方。解， ， ，有 ”L 的区域为D，（1） ，符合Green公式的条件 （2） ，位 D 的 ”D1currency1L和l ， D1 符合Green公式的条件。 原式 ：计算 ，何 辅助曲线l？计算 ，何 辅助曲线l？（2） 二重积分ex4. 计算 ， D是以 为顶点的三形区域。解 ，应用Green公式，有 （

17、3）计算 面面积Green公式： ，得 ，区域D的面积 ，得 ，得 二、曲线积分与路 的条件1 曲线积分与路 的定义 区域G 有 曲线积分 G 与路 。2 与路 的四 系定理： G是单通区域， G 有一 ，以 四 题 ：（1） 为G 一 fi分 曲线；（2） 与路 ， 与L的起点A和终点B有；（3） G 有 ，使得 ；（4） G 立。 要 ，即 同理， currency1 有一 “得， currency1Green公式得：（1）曲线积分与路 要求 单通区域 考虑，而Green公式只要求 路；（2）对给定的曲线积分，通currency1 出 它三 ；（3） ， ， 体求法为：沿 （ ）， ；沿

18、（ ）， （4） 是 的原， ex5. 计算 解 ， 以积分与路 。 原式 ex6. 计算 （1）L为 的正；（2）L为 的正；（3）L为 线 从 的一 解 （1）currency1Green公式fi与路 的条件“得，原式=0（2） ， 的 ，currency1Green公式有，原式= （3） ，currency1积分与路 ， ，tcurrency1 ， 原式= ex7. 曲线积分 与路 ， 有 的 ， ，计算 。解： ，currency1积分与路 ，得 即 ，currency1 得 ， ex8. 计算 ， L为 currency1（0，0） 的一 弧。解： 曲线积分与路 ，“ 线OAB积分。

19、 ex9. 计算 ， L为 自 的 弧。解： ， 辅助线AO，应用Green公式， 原式 三、全微分方程1 全微分方程的定义对 微分方程 ， 使得 ， 为全微分方程。2 方法 ， 为微分方程。3 求解方法currency1 为通解。即为 fi ex10. 求解 解： 方程“变形为 原方程为全微分方程。方法1. ， 为原方程的通解。方法2. ，即 从而 ， 为原方程的通解。方法3. 用分合微分，即 ，即 即 ，即 ，即 ，得方程通解为 4 积分因子的求法 不是全微分方程，而 是全微分方程， 为积分因子。（1）用观 法求积分因子 不是全微分方程currency1 ； 都是 的积分因子。（2） 与x

20、fiy有的积分因子的求法 ， ； ， ；ex11. 用观 法求积分因子，并求解方程 。解： 将方程重给合得观 得 为积分因子，从而“得方程 求通解为 ：积分因子这 ，从理 讲，它currency1了求解微分方程 的一般方法，对 一 体的方程何找出 要的积分因子，并不“易。了比特的积分因子有 体求法fi，通用观 法。本课：本次课重点介绍了Green公式及 应用， 应用Green公式一定要条件，区别Green公式和曲线积分与路 的条件 要求fl 的条件， 这 课 起着 重要的用。业：见练习册。第四讲 型曲面积分教学目的与要求：1 了解型（对坐标的）曲面积分的概念与性质；2 掌握计算型曲面积分的方法

21、；3 了解 类曲面积分的系；4 了解型曲面积分的应用。知识点：型曲面积分的概念、性质、计算及应用， 类曲面积分的系。重点：型曲面积分的计算。难点：型曲面积分的概念。教学方式：对比式启发教学，多媒体辅助。教学思路：出曲线积分分为对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分，比后得出曲面积分应有对坐标的曲面积分， 体形式currency1实例引入，为一的积分，介绍 计算方法与应用，currency1概念的引入 得出 类曲面积分的系。教学过程：一、曲面的投影们通 的曲面有 ， ；左，右； ，后； ，fi之分。这曲面是的，以后 们只对曲面进行讨。而 比” 是型的单曲面。曲面的是用曲面 法量的指来确定的。定了法量

22、fi 定了的曲面有曲面。同一曲面不同的 坐标面 投影区域是同一 ，有曲面的投影并 投影区域，而是投影区域 以正号fi负号。有曲面的投影的 体规定 ：是有曲面， 为 一曲面， xoy面 的投影为 ， 面积为 ，曲面 点法量与z 夹为， 不变号，；类 地二、实例（量问题）体以一定的 从给定曲面的负正， 为 ，求单位 曲面 的 量 。解： 为 面区域，面积为A， 法量 对曲面 来说， 把它分n 片 ， 片 把 面， ，用这点的 ，用 ， 点的单位法量。那么 的量 为 的， 三、定义与性质1 定义为 fi分片 的有曲面， 有定义 ，（1）将 分n 片 （面积）， xoy(yoz, zox)面 的投影为

23、 ；（2） ，有 ，和 （3） 的，的 与 的 法和 的分法 ， 为 的型曲面积分，fi对坐标的曲面积分，”为对坐标 的曲面积分对坐标 的曲面积分对坐标 的曲面积分2 （1） （2） 为 曲面，”为 （3）量为 （4） 有 曲面 ，对坐标的曲面积分 。3 性质（1） （2）用 与 的，四、计算方法1 计算法（1）计算 ， 的方程为： ， ，10 ， 20 ， （2）计算 ， 的方程为： ， 10 ， 20 后， （3）计算 ， 的方程为： ， 10 右， 20 左， ：（1）计算过程为 一投影二 三定 ；（2）对坐标 的曲面积分投影 面；（3）对坐标 的曲面积分投影 面；（4）对坐标 的曲面积

24、分投影 面；（5）投影面积为0，积分为0。ex1. 计算 ， 为锥面 及 面 的 区域的 边fl曲面的fi。解： ，” ， ； ， ； ， ex2. 计算 ， 是球面 fi 的 分。解：把 分 和 分。 ； ， 2 对性 计算法用对性“以 II型曲面积分的计算， 用 积与积分区域 方面的对性要 。II型曲面积分的对性 形：10 面对，（1） ， （2） ， 20 面对，（1） ， （2） ， 30 面对，（1） ， （2） ， ex3. 为 ，求 解：currency1 的曲面方程“以 出， 三 坐标面对， ， ， 是 的偶， ex4. 计算 ， 为曲面 及 面 的 区域的 边fl曲面的fi。

25、解： ，currency1 曲面 面和 面对， 是 的偶， 是 的偶， ” ， ； ， ；ex5. 为 的 ，计算 解： ，currency1区域的对性和积的 偶性得五、 类曲面积分的系为 点 的法量的方余弦。ex6. 计算 ， 是 面 第四 分的 。解： ， ， ， ex7. 计算 ， 是 转抛物面 介 面 及 之 的 分的 。解： 曲面 ，有 ， 本课：本次课介绍了型曲面积分的概念、性质和计算方法，要求 大量练习的基础 掌握 计算方法，与I型曲面积分计算的区别，同对性的 用要求的条件是的，有与I型曲面积分 之。思考题： 为球面 ，以 球面的fi为正，试问 之左（即 与 法线 的一例）是正吗

26、？那么 的左是正吗？解： 的左为负，而 的左为正。业：见练习册。第五讲 Gauss公式通量教学目的与要求：1. 了解Gauss公式；2 会用Gauss公式计算曲面积分；3 了解通量与 的概念并会计算。知识点：Gauss公式，沿曲面的曲面积分为的条件，通量， 。重点：Gauss公式难点：Gauss公式的合应用教学方式：比启发式教学，多媒体辅助。教学思路：通过 Green公式，从而引进Gauss公式；并 例说 Gauss的应用，与 计算曲面积分比，Gauss公式有 多方 之；通量与 是 物理概念，它们 与Gauss公式有联， 给出定义并会计算即“。教学过程：一、Gauss公式高公式fi 公式fi

27、高公式Green公式 立了沿曲线的曲线积分与二重积分的系，而 曲面 的曲面积分与三重积分有类 的系，就是 面介绍的Gauss公式。定理1 （1） 区域 currency1分片 的曲面 ；（2） 有一 。 fi 是 的 边fl曲面的fi， 是 点 的fi法量的方余弦。：（1） 行 坐标 的线与边fl曲面的 点不多 ， 区域 面 的投影区域为 。currency1 ， 和 三 分， ， ； ， ； ， fi。三重积分的计算法曲面积分的计算法同理， ，有 ，有三式 得，（2） 行 坐标 的线与边fl曲面的 点多 ，引进辅助曲面后分多 （1） 的区域，“得。：（1）Gauss公式的实质： 了 区域 的

28、三重积分与 边fl曲面 的曲面积分之 的系。（2）Gauss公式“用来 曲面积分的计算。（3）不是 曲面， 辅助面后“用Gauss公式。（4）使用Gauss公式应考虑： 是对 么变量求 ，是 有 ，是 是曲面的fi。是曲面的 ， 三重积分号 ?”号（5）“用曲面积分计算 区域的体积：ex1. 计算 ， 是第一 边长为a的正方体面并 fi。解：” 的区域为 ，用Gauss公式，有原式 ex2. 计算曲面积分 ， 为柱面 及 面 的 区域 的 边fl曲面的fi。解： 用Gauss公式，得原式 ex3. 计算 ， 是球面 是球面 法线的方余弦。解：” 区域为 ，currency1Gauss公式，有原

29、式= 二、沿曲面的曲面积分为的条件定理2. （1） 区域G是一 的单通域（2） G 有一 ，有：（1） 为G 一有曲面，（2） 为G 同一边fl曲线 的 有曲面，： currency1Gauss公式，有 法G 有一点M0使得 不 ，currency1 ， G 一 含M0的 为边fl曲面的 区域 ，有 ， 与已知 ， 立。三、通量与 定义： 量场 ， 是有曲面 的单位法量， 通过 指定的通量（量）；而 的 （divergence），”为 ：（1）通量即为 （2）Gauss公式“ （3）对 区域来说通量为 （4）currency1Gauss公式“知即 强 。ex4. ，求 ；并计算量场 过曲面 的

30、面的通量（fi）。解： 曲面 对 yoz, zox面，而 分别是 的偶，又曲面 xoy面 投影为0， 四、合题解ex5. 计算 ， 为currency1曲线 绕z 转一 的曲面， 法量与 正夹 大 。解： 给曲面 ， 辅助面 ， ；” 的 区域为 ，currency1Gauss公式有ex6. 计算 ， 是 与 的fi。解： ， 面对， 是 的 ” ， ex7. 计算 ， 是第一 抛物面 的 。解： ， 辅助面 ， 后； ， 左； ， 的 区域为 ，currency1Gauss公式有ex8. 计算曲面积分 ， 是球面 的 半 ， 是 的法线正与 正的夹解。解： ， 辅助面 ， ex9. 区域 c

31、urrency1曲面 与 面 ， 为正，” 面的fi为 ， 的体积为V， ： ex10. “微， 为长方体 ， ， 的fi，求 。解：本课：本次课着重介绍了Gauss公式及应用，Gauss公式 要的条件 一不“，并 会计算通量与 。思考题：曲面应fl 么条件 使Gauss公式立？解：曲面应为分片 的曲面。业：见练习册。第六讲 Stokes公式、量与 教学目的与要求：1. 了解Stokes公式；2 了解 的概念，并会计算；3 了解量的概念，并会计算；4 了解 曲线积分与路 的 系。知识点：Stokes公式， 曲线积分与路 的条件，量， 。重点：Stokes公式难点：Stokes公式的应用教学方式

32、：对比式教学，多媒体辅助教学思路：Green公式给出了 面区域 的二重积分与 面区域的边fl曲线 的曲线积分的系，将 即“得 Stokes公式，currency1易得 曲线积分与路 的条件，再 单介绍量与 概念。教学过程：一、Stokes公式Stokes公式 立了沿 曲面 的积分与沿 的边fl曲线 的积分之 的系，曲面的与边fl曲线的方 规定（右法）：右四指依 的绕行方，大指 指的方与 法量的指 同，这 是有曲面 的正边fl曲线。定理1. (1) 曲面 的边fl 是按 的 曲线，（2） （同 ） ， 有一 ，的与 的方按右法确定。：思路：曲面积分 二重积分 曲线积分先 （1） 行 坐标 的线与

33、 的 点不多 一 ， 为 ， xoy面 投影区域为 ， xoy面 的投影曲线为C， 。的法量为 ，方余弦为 ， ， 同 立。同理“ 三式 即得。（2） 行 坐标 的线与 的 点多 一 ，辅助线“得立。：（1） ” ，Stokes公式“用行 式为（2）用 类曲面积分的系，得Stokes公式的另一形式（3）Stokes 公式的实质： 了有曲面 的曲面积分与 边fl曲线 的曲线积分之 的系。（4） 是xoy面的 面区域，Stokes公式为Green公式。 Stokes公式为 的Green公式。（5）Stokes公式理 重要，用它来计算曲线积分并不 方 。ex1. 计算 ， 方为currency1x

34、正 是逆针的。解： ， 为 的 ， ：（1） 面 的半为 。（2） 用 类型的曲面积分都“以，就本题来说，积分号 出现， 对面积的曲面积分为 。（3）积分曲面 是 面是 球面 面 的那一 分，从理 讲，都是“以的，以计算 单为 。 fi 即 （4）再次体现Stokes公式计算曲线积分并不方 。（5）“ 为 方程 计算。ex2. 计算 ， 为 ，从x 正 ，这 是 逆针方。解： ， 为 的 ， 原式= ex3. 计算 ， 是 面 立方体： ， 的面 得的 ，从ox 的正 ， 逆针方。解： 为 面 的 的 分， 二、 曲线积分与路 的条件定理2. 区域G是单通区域； G 有一 ，以 四 题 ：（1

35、）沿G 分 的曲线 有 （2）沿G 分 的曲线 ， 与路 ，只与 的起点和终点有。（3） G 立。（4） G 是一 的全微分，即 ，。这里 一 的 式解：currency1 曲线积分与路 ， 以“ 特路， 。x从 y从 z从 三、量与 定义： 有量场 ，量 为 的 ，”为 沿有曲线 的曲线积分 沿有曲线 的量。：（1） “”为 （2） 有曲面 的单位法量为 的有边fl 的单位切量为 ，有 又 即 （3）Stokes公式 ：量场 沿有曲线 的量 量场 的 场通过 的曲面 的通量。ex4. （1） 有二 ，求 （2） ，求 解 （1） （2） =0 本课：本次课介绍了Stokes公式的 单应用，

36、识 Stokes公式的理 过实际应用，类 地给出了 曲线积分与路 的四 题， 给出了量与 的概念。业：见练习册。第 讲 曲线曲面积分习题课教学目的的与要求：1 对本章出现的概念、定理、公式的理解；2 练掌握曲线曲面积分的计算方法；3 高合题型的解题 力。知识点：有曲线曲面积分的概念、性质、计算及应用，通量，量， ， ，全微分方程，曲线曲面积分与路 的条件，Green公式，Gauss公式，Stokes公式。重点：曲线曲面积分的计算，Green公式，Gauss公式难点：Stokes公式教学方式：分类 ，讲练合，多媒体辅助教学思路：先进行本章有知识的复习 ，然后进行一定量的 例练习。教学过程：一、

37、“1 定义比对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积分的曲面积分 对坐标的曲面积分2 计算公式比对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分（ 对应 起点， 对应 终点）对面积的曲面积分 fi fi （计算 投影区域易找 投影面积 0的那方式）对坐标的曲面积分 +”，后 右 +”，左 +”， （对坐标y, z的曲面积分，曲面 yOz面投影；对坐标z, x的曲面积分，曲面 zOx面投影；对坐标x, y的曲面积分，曲面 xOy面投影；投影面积为，积分即为。）3 Green公式，Gauss公式，Stokes公式Green公式 （沿L的正）Gauss公式 Stokes公式 4 场通量 量 5 它面曲线积分与路

38、 的四 题。类曲线积分 的系， 类曲面积分 的系；全微分方程；曲线曲面积分的应用。二、题型与方法1 对弧长的曲线积分的计算（1） 计算法；（2）用对性 计算。2 对坐标的曲线积分的计算（1） 计算法；（2）用对性 计算；（3）用与路 的条件， 积分的路；（4） 曲线有“ 用Green公式；（5） 曲线 辅助线后“用Green公式。3 对面积的曲面积分的计算（1） 计算法；（2）用对性 计算；（3）“用Gauss公式。4 对坐标的曲面积的计算（1） 计算法；（2）用对性 计算；（3） 曲面有“ 用Gauss公式；（4） 曲面“ 辅助面后用Gauss公式。5 曲线曲面积分的应用（1）曲线的弧长 ；

39、（2）曲线形构件的质量、重心和转动惯量；（3）变力功 ；（4）曲线 fl的面积 ；（5）曲面的面积 ；（6）曲面形构件的质量、重心和转动惯量；（7）通量与量的计算。三、讲练合（一） 题：1、 L为 ， 的 为（ ）。（A） ， （B）6， （C） 2、 L为线 从点 点 的有线 ， =（ ）。（A）6， （B） ， （C）03 L是 半 顺针方， 的 为（ ）。（A）0， （B） ， （C） 4、 ， 单通区域D 有一 ， D 与路 的条件 是（ ）。（A）充分条件， （B） 要条件， （C）充要条件5、 ?为球面 ， 为 半球面，（ ）式正确。（A） ； （B） ；（C） 6、为 面 方 分

40、的曲面， （ ）。（A） ； （B） ；（C） 7、为球面 的fi， （ ）。（A） ；（B）； ；（C）08、曲面积分 （ ）。（A）量 过曲面的量； （B）面 为 的曲面的质量；（C）量 过曲面的量。9、 是球面 的fi， 是 面 的 域 ， 述 式正确的是（ ）。（A） ；（B） ；（C） 10、是 区域的fi面， 述计算 用 -高公式正确的是（ ）。（A） （B） （C） （二）计算 题：1、求 ， 为曲线 ；2、求 ， L为 半 沿逆针方。（三）计算 题：1、求 是fl 面 及 之 的 柱面 ；2、求 为锥面 的fi；3、求 ， 为曲面 的 。（四） ： 面 y的负半 及原点的 区域G 是 二元的全微分，并求出一 这 的二元。（五）求 曲面 的重心的坐标。（六）求量 通过区域： ， ， 的边fl曲面fi的通量。（ ）体 动，体的 同 ，已知 ，求体 单位 过曲面： 的量（fi）和沿曲线L： 的量（从z 正 逆针方）。考答案（一）1、B；2、C；3、C；4、C；5、B；6、C；7、B；8、C；9、C；10、B（二）1、 ；2、 （三）1、 ；2、 ；3、0（四） （五） （六）3 （ ） 业：见练习册。