1、第十章 机 械 振 动,1、什么是振动：,物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。,广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。,振动的概念,任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时,都会发生振动。,物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。,前 言,2、振动的特征,(在时间上）具有某种重复性。,广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。,2、振动的特征,(在时间上）具有某种重复性。,广义地说，只要某一物理量在时间上做周期性变化，就存在一种振动；如果某一物理量不仅在时间上做周
2、期性变化，而且在空间上也做周期性变化，那么就存在一种波动 在力学、电磁学、光学、原子物理学中都普遍存在振动和波动现象，虽然本质不同，但对它们的数学描述是完全相同的,以几个例子导出系统简谐振动的动力学方程，分析其动力学和运动学的共同特征，给出简谐振动的几何描述，介绍简谐振动的合成，用以解决系统的简谐振动问题。给出阻尼振动的微分方程以及运动学解，进一步分析弱阻尼时的系统的能量问题。给出受迫振动的微分方程及其运动学解，重点讨论稳态振动时的共振特征。,10-1 简谐振动的动力学特征,任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。,振动中最简单最基本的是简谐振动。,1）定义：,构成：轻质弹簧一端固定
3、其另一端 与刚体联结。 条件：位移限定在弹性限度内，不 计弹簧内部摩擦。,2）无阻尼时的自由振动,阻尼： 干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射,自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动 只在系统内部恢复力作用下运动。,（1）平衡位置与坐标原点：,平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为 坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）。,一、简谐振动的几个例子,1. 弹簧振子,（3）惯性的作用,整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振动的。,恢复力与位移成正比而反向（线性回复力），即,（2） 弹性恢复力的特点：,此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。,F= -kx,3）弹簧
4、振子的运动微分方程,解微分方程得：,4）.简谐振动的定义, 胡克定律,谐振动的微分方程,谐振动的运动方程,若物体的运动规律满足上述方程中的任一个， 则其运动为简谐振动。,2）无阻尼时的自由振动,（1）平衡位置与坐标原点：,铅直位置为角平衡位置，o为角坐标原点。,（2）恢复力矩的特点：,重力对过悬点0/的水平轴的力矩为：,负号表示力矩方向始终与角位移方向相反。,1）定义,2、单摆,对于较小幅度的摆动，,3）单摆的运动微分方程,由定轴转动的转动定律：,方程的解为,对于较小幅度的摆动，,3. 复摆,对于较小幅度的摆动，,令,整理得：,1)定义,2）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程,方程的解为,4.
5、 扭摆,实验表明：,转动定律得：,令,整理得：,结论：在回复力或回复力矩作用下，以平衡位置为坐标原点，简谐振动的标准微分方程为：,二.简谐振动的速度和加速度,10.2 简谐振动的运动学,本节主要讲解：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。,一、简谐振动的运动学方程,方程 的解为：,（1）,上式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。,式中A和0为由初始条件所决定的两个积分常数。,二、描述简谐振动的物理量,1. 周期（T）,完成一次全振动所用的时间：,对弹簧振子：,2. 频率（ ）,单位时间内完成的全振动的次数：,的含义： 个
6、单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。,固有角频率,固有振动周期,3. 振幅,定义：物体离开平衡位置的最大位移。,振幅可以由初始条件决定。如：t =0时刻，,4、位相和初位相,位相是描述系统机械运动状态的物理量。（相又指月相之相 取其具有周期性）,(i)用分析法确定特殊情况下的位相,t=0 时，x0=A, v0=0.,(位位置；相变化的态势）,（2）0 是t =0时刻的位相，即初位相（02之间取值）,即由初始条件所决定的两个积分常数,(ii)用由初始条件决定的积分常数求初位相0,取使x0 、v0 均满足的值,相位 :, 相位决定了振动物体任时刻相对平衡位置的位移和速度，是反映振动物体的运动状
7、态的物理量。, 为初相位，描述质点初始时刻的运动状态.,讨论：,质点做谐振动，讨论,=0、/2、-/2时，质点的运动状态。,位于正最大位移处，速度为零,位于负最大位移处，速度为零,位于平衡位置，以速度A沿x负方向运动,位于平衡位置，以速度A沿x正方向运动,相位差：两振动相位之差 。,（2）若 是 的奇数倍，则振动相位相反；,（3）若 ，则称 超前 ；,（4）若 ，则称 落后 ；,相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。,例1 一弹簧振子，t0 时， 求振动的初位相。,解：,总结：,简谐振动是周期性运动；,简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A、频率 及初相位 决定，或者说，由振幅
8、和相位决定。,简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。,三、 简谐振动的图象：x-t 图线,描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。,中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。,1、旋转矢量的规定法则,(1) 旋转矢量的制作,(2) 旋转矢量的作用：,(3)旋转矢量本身不是谐振动,若已知一个谐振动 x = A cos( t+ 0) 相应的旋转矢量如图所示。,习惯上用,四 、 简谐振动的旋转矢量表示法,用旋转矢量的投影表示简谐振动。,如图示：,为一长度不变的矢量， 的始点在坐标轴的原点处，记时起点t=0时，矢量 与坐标
9、轴的夹角为 ，矢量 以角速度 逆时针匀速转动。,由此可见：,匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。,矢端的速度大小为 ，在x 轴上的投影为：,矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为： ，在 x 轴上的投影：,总结：,旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐标轴上的投影描述简谐振动的方法叫简谐振动的矢量表示法。,例：已知如图示的谐振动曲线，试写出振动方程.,解：方法一,设谐振动方程为,从图中得：A4 cm,t0时，x0-2 cm，且00，得,得,再分析，t1 s时，x2 cm， 0，,
10、得,即 ,所以振动方程为,方法二：用旋转矢量法求解,一、动能,二、势能,三、总能,四、动能和势能在一个周期内的平均值,设 x(t)=Acos(t+0 ) v(t)=-Asin(t+ 0),10-3 简谐振动的能量,（1） 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间作周期性变化，最大，=0；最大，=0，但任一时刻总机械能保持不变。即：动能和势能互相转化,（3） 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。,（2）谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）,结论：,讨论：,简谐运动势能曲线,在任意位置，动能与势能之和为 在一周期内平均动能和平均势能是相等的，都等于总能量的一半,例题 当
11、简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？,解,104 简谐振动的合成,一、同方向同频率简谐振动的合成,设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：,合位移：,则：,式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振动频率相同。,或者：由简谐振动的旋转矢量法表示： 、 以频率 旋转， 、 之间的夹角不变， 也以 旋转，平行四边形的形状不变。,讨论：,（1）若相位差 ，即同相位，则： ，振幅最大；,（2）若相位差 ，即反相位，则： ，振幅最小；,（3）一般情况下，振幅 A 介于 与 之间。,同方向同频率简谐振动的原理，
12、在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。,二、同方向不同频率简谐振动的合成,若：两振动的周期之比： ，n ，m 有最小公倍数，则：二振动合成后仍有周期，但不是简谐振动，由旋转矢量图可知。,若：周期之比 不是整数比（如：无理数之比)，则合振动没有周期性。,为了简单方便，设：,假如：,令：,（3）,式可以看作：振幅按照 缓慢变化的，而圆频率等于 的准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。,令：,（3）,（3）式即：合振动为圆频率等于平均圆频率的“简谐振动”，其振幅作缓慢的周期变化。,拍：振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成时，合振动振幅周期变化的现象叫拍。,合振动变化一个周期叫一拍；单位时间内拍出现的次数叫拍频。,不论 达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，因此拍的圆频率为：,因此，,拍频为：,问题：若二分振动的振幅不同，但初位相 仍都为零，则合振动仍会形成拍吗？,拍（合振动振幅周期变化的现象）形成的条件：振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成，都可形成拍！,
