1、第十章 振动 (Vibration),振动也称振荡，振动是一种重要的运动形式,在力学中，振动是指物体在恢复力的作用下，围绕某个平衡位置作周期性往复的运动，又称机械振动。,振动分类,自由振动,阻尼自由振动,无阻尼自由振动,(简谐振动),无阻尼自由谐振动,受迫振动,无阻尼自由非谐振动,振动有各种不同的形式,机械振动：位移 x随时间t的往复变化； 电磁振动：电场、磁场等电磁量随t的往复变化； 微观振动：如晶格点阵上原子的振动。,广义振动：任一物理量(如位移、电 流等)在某一数值附近反复变化。,振动分类,受迫振动： 在外来策动力作用下的振动,自由振动:,阻尼自由振动,无阻尼自由振动,无阻尼自由非谐振动
2、,(简谐振动),无阻尼自由谐振动,10.1 简谐振动,简谐振动 Simple harmonic,物体运动时,如果离开平衡位置的位移随时间的变化规律遵从余弦函数关系，则称该运动为简谐振动。,二.简谐振动的特征及其表式,1. 受力特点: 线性恢复力 (F= -kx),2. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例),3.表达式,初态 t=0 时,简谐振动的动力学特征：,简谐振动的加速度和位移成正比且方向相反,简谐振动的运动学特征：,位移x随余弦函数的规律随时间变化,三.简谐振动的速度、加速度,谐振子的位移、速度和加速度,四. 描述简谐振动的特征量,1. 振幅 A 物体离开平衡位置的最大距离,2. 周期T
3、和频率 v, = 1/T (Hz),弹簧振子:,单摆 :,固有频率决定于系统内在性质,也称固有(圆)频率,3. 相位和初相,(1) ( t +0 )是 t 时刻的相位,(2) 0 是t =0时刻的相位 初相,物理意义:a.决定质点在 t 时刻的运动状态 (x, v),物理意义:决定质点初始 时刻的运动状态,b.振动的周期性由相位来反映,相位差 phase difference, =( 2 t+ 2)-(1 t+ 1),对两个同频率的谐振动 = 2- 1,当 = 2k , ( k =0,1,2,),两振动步调相同,称同相,当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,),两振动步调相反 , 称
4、反相 。,初相差,超前和落后,若 = 2- 10, 则 x2比x1较早达到正最大, 称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后)。,2 超前于1,五. 简谐振动的描述方法,1. 解析法,由 x=Acos( t+0 ),已知表达式 A、T、0 已知A、T、0 表达式,2. 曲线法,o,A,-A,t,x,0 = /2,T,已知曲线 A、T、0已知 A、T、0 曲线,3. 旋转矢量法,0, t+0,o,x,x,t = t,t = 0,x = A cos( t + 0),简谐振动的矢量图示,质量为10kg的物体沿x轴作简谐振动，振幅A=10cm，周期T=4.0s，t=0时位移 =-5.0cm
5、，且物体朝-x 向运动，求：t=1.0s时物体的位移和力；t=0秒之后何时物体第一次到达x=5.0cm处？第二次和第一次经过x=5.0cm处的时间间隔。,解：根据已知可画出t=0时振幅矢量图, t=1.0s 时位移和力, 由矢量图可知,一谐振子振动图象如图所示，求振动方程。,解：,两个劲度系数分别为 和 的弹簧，按不同的方式组成振动系统，求系统的周期。,K是等效弹簧的劲度系数,六.常见的简谐振动,单摆, 复摆(物理摆),应用：计算J（测T、m、h),七.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例),1.简谐振动系统的能量特点,(1) 动能,(2) 势能,(3) 机械能,能量的特征：,1）动能与势能均为
6、时间的函数，相位差 为 /2，二者可以互相转化，即机械能 守恒；,2）一般振动有：EA2；,动能和势能在一个周期内的平均值,简谐振动系统机械能守恒,x,t,T,E,Ep,o,(1/2)kA2,Ek,2. 由起始能量求振幅,E,3）能量曲线,简谐振动的能量,八.简谐振动的振动规律解法,1.由分析受力出发,(由牛顿定律列方程),2. 由分析能量出发,(将能量守恒式对 t 求导),从分析受力出发，由牛顿第二定律列出振动的微 分方程，求出普遍解，再根据初始条件定出振幅和初相位。,由分析能量出发，即利用机械能守恒定律来建立振动的运动表达式。,定滑轮的半径为R，转动惯量为J，轻绳绕过滑轮，一端与固定的轻弹
7、簧相连接，另一端挂一质量为m的物体，现将m从平衡位置向下拉一微小距离后放手，试证物体作谐振动，并求其振动周期。设绳与滑轮间无滑动，轴的摩擦及空气阻力忽略不计。,方法一：,选挂重物m后的平衡位置为坐标原点o,简谐振动方程,物体向下运动到Y处时，受力分析,方法二：能量法,物体m经过位置y时，系统总能量,解：,例： 质量为10克的小球与轻弹簧组成系统，按 的规律振动，式中t 以秒计，x 以米计。求： （1）振动的能量、平均动能和平均势能； （2）振动势能和振动动能相等时小球所处的位置； （3）小球在正向最大位移一半处、且向x 轴正向运动时，它所受的力、加速度、速度。,要求,(2),(3)当,时，由旋
8、转矢量法可知：,振动方程为 的物体,在振动过程中,速度为最大值的一半；加速度为最大值的一半；动能为总能量的一半的位置分别在哪?,解:,10 .5 简谐振动的合成,一. 同方向同频率的简谐振动的合成,1.分振动 :,x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2),2.合振动 : 解析方法 x = x1+ x2,合振动是简谐振动, 其频率仍为,利用三角函数的展开，并合并整理可得到：, 几何方法,3.两种特殊情况,(1)若两分振动同相 2 1=2k (k=0,1,2,),(2)若两分振动反相 2 1=(2k+1) (k=0,1,2,),如 A1=A2 , 则 A=0,则A=A1+A2
9、 , 两分振动相互加强,则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱,二. 同方向不同频率的简谐振动的合成,1. 分振动,x1=Acos 1 tx2=Acos 2t,2. 合振动,合振动不是简谐振动,当 2 1时 2- 1 2+ 1,其中,随缓变,随快变,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,x = x1+ x2,3. 拍,拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 =|2-1| = | (2 - 1)/2 |,合振动忽强忽弱的现象,拍现象的应用：,管乐器中的双簧管；校准乐器(使其和标准音叉产生的拍音消失)；超外差式收音机中的变频器；汽车速度监视器；地面卫星跟踪等。,本章要求掌握的内容和要点,振动的一般概念 简谐振动 简谐振动的速度和加速度 旋转矢量法 简谐振动的能量 同方向同频率谐振动的合成,了解同频率但振动方向相互垂直振动的合成的特点、阻尼振动、强迫振动和共振发生的条件； 掌握振幅、圆频率、相位的物理意义并能熟练地确定这些特征量； 掌握旋转矢量法和图线表示法的特点，掌握同方向同频率简谐振动和合成规律及振动的极大极小的条件； 能够建立简谐振动的动力学方程，并根据初始条件写出简谐振动的运动学方程。,
