1、第5章 有限元法(1), Finite Element Method (FEM),5.1 概述,在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。目前求解这类场问题的方法主要有两种： 用解析法求得精确解； 用数值解法求其近似解。其中， 能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。,目前，工程中实用的数值解法主要有三种： 有限差分法 有限元法 边界元法其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工程应用最广。目前它已
2、成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。,“ 有限元法 ” 的基本思想早在20世纪40年代初期就有人提出，但 真正用于工程中则是电子计算机出现以后。“ 有限元法 ” 这一名称是1960年美国的克拉夫（Clough，R.W.） 在一篇题为 “平面应力分析的有限元法” 论文中首先使用。此后，有 限元法的应用得到蓬勃发展。到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多 达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序 使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性 能分析的可靠依据。,1. 连续体离散
3、化连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分为有限 个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，相邻两个 单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传 递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。 单元划分后，给每个单元及节点进行编号； 选定坐标系，计算各个节点坐标； 确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。,有限元法最初用于飞机结构的强度设计，由于它在理论上的通用性，因而它可用于解决工程中的许多问题。目前，它可以解决几乎所有的连续介质和场的问题，包括热传导、电磁场、流体动力学
4、、地质力学、原子工程和生物医学等方面的问题。机械设计中，从齿轮、轴、轴承等通用零部件到机床、汽车、飞机等复杂结构的应力和变形分析（包括热应力和热变形分析）。有限元法不仅可以解决工程中的线性问题、非线性问题，而且对于各种不同性质的固体材料，如各向同性和各向异性材料，粘弹性和粘塑性材料以及流体均能求解；对于工程中最有普遍意义的非稳态问题也能求解。,到20世纪80年代初期，国际上已开发出了多种用于结构分析的有 限元通用程序，其中著名的有NASTRAN、ANSYS、ASKA、ADINA、 SAP等。表5-1列出了几种国际上流行的商用有限元程序的应用范围。,表5-1 几种有限元程序及其应用范围,单元的划
5、分基本上是任意的，一个结构体可以有多种划分结果。但应遵循以下划分原则：(1) 分析清楚所讨论对象的性质，例如，是桁架结构还是结构物，是平面问题还是空间问题等等。(2) 单元的几何形状取决于结构特点和受力情况，单元的几何尺寸(大小)要按照要求确定。一般来说，单元几何形体各边的长度比不能相差太大。 (3) 有限元模型的网格划分越密，其计算结果越精确，但计算工作量就越大。因此，在保证计算精度的前提下，单元网格数量应尽量少。(4) 在进行网格疏密布局时，应力集中或变形较大的部位，单元网格应取小一些，网格应划分得密一些，而其他部分则可疏一些。,由于节点 i、j、m 在单元上，它们的位移自然也就满足位移函数式(5-5)。设三个节点的位移值分别为( ui, vi)、( uj, vj )、( um, vm )，将节 点位移和节点坐标代入式(5-5)，得,Thank You！,第5章 有限元法 (1)结束,
