1、1对数函数的图像与性质知识点与习题一、知识回顾：1、指数函数 与对数函数 的图象与性质)1,0(ayx )1,0(logaxya x=1x=1y=1 y=1义(0,+)义义 义义义 义(0,+)义义 义义义义(- ,+)义义 义义义 义(- ,+)义义 义义义01义义y0.00;x1义义y0义义y1.x1;x0义义010100 且 a 1)在（-1，0）上有 g(x)0，则 f(x)=a 是（ ）1x1x（A）在（- ，0）上的增函数 （B ）在（- ， 0）上的减函数（C）在（- ，-1）上的增函数 （D ）在（- ，-1）上的减函数12.已知函数 f(x)= ,0f(b)，则 （ ）xlg
2、（A）ab1 （B）ab013. 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是 （ ）2,1xxxalog)1(2a（A） （B） （C） （D）)0(,2,114若函数 y=lgx2+(k+2)x+ 的定义域为 R，则 k 的取值范围是 。4515. 已知函数 ylog ax，x 2，4 ，a 0 且 a1，又函数最大值比最小值大 1，则 a 的取值范围是_。 16.已知函数 的值域为 R，则实数 a 的取值范围)1,0)(4(log)( axaxf 且是 .17.关于 x 的方程 ax (a0，a1)，以下说法正确的是( ) a1log(A)必有唯一解 (B)仅当 0a1 时有唯一解(C)无解 (
3、D)仅当 a1 时有唯一解18.设 ，如果当 时 有意义，求 a 的取值范)(3421lg)(Rxfx )1,(x(xf围。512已知函数 ， （1）求 的定义域； （2）)0,1)(lg()babxfx )(xf此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于 x 轴？ （3）当 a、b 满足什么条件时 恰在 取正值.)(f),113求函数 的值域.)(log)1(llog222 pxx14在函数 的图象上有 A、B、C,(ay三点，它们的横坐标分别为 、 、 ，若m4ABC 的面积为 S，求函数 的值域.)(f15.设集合 ，若函数 ，其中03log14)(l22xxA 2log)(axx
4、f，当 时，其值域为 ，求实数 的值。1,0a241yB例 4、若关于 的方程 有实根，求 的取值范围。x054211mxx变题 1：设有两个命题：关于 的方程 有解；函数9(4)30xa是减函数。当与至少有一个真命题时，实数 的取值范围是2()logaf a变题：已知函数 的定义域为 ，值域为3()logaxf,，且函数 为 上的减函数，求实数 的取值范围。l(1,l1a()fx函数 （ 为常数） ，若 时， 恒成立，则（ ）)2)bxfx,10)(xf（A） （B） （C ） （D）bbb在 这四个函数中，当 时，使22,log,yyx 1021恒成立的函数的个数是 （ ）)()(11xf
5、ffA0 B 1 C2 D36【例 1】已知 是奇函数 （其中 ， （1）求 的值；1log)(xmfa ),0am（2）讨论 的单调性；（3）求 的反函数 ；（4）当 定义域区间为x)(f)(1xf(xf时， 的值域为 ，求 的值.),(a)(f,解析（1） 01log1log1log)( 2 xmxxmfxf aaa对定义域内的任意 恒成立， ，0)(22 当 不是奇函数， ，)1(0)1xfm时 1m（2） 定义域为 ，,loga),(),(设 ，任取 ，1)(xg1221xx或，0)(21122 ，结论同上；)(12xg（3） ，11)(1lo yyyya axaxxy )0,()(,
6、0,1 afxy 且（4） 上为减函数，)2,1,3,2fax在命题等价于 ，即 ，)(f 014logaa解得 .评析例 1 的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验.【例 2】对于函数 ，解答下述问题：)32(log)(1axxf（1）若函数的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；（2）若函数的值域为 R，求实数 a 的取值范围；（3）若函数在 内有意义，求实数 a 的取值范围；),1（4）若函数的定义域为 ，求实数 a 的值；),3(,(7（5）若函数的值域为 ，求实数 a 的值；1,(（6）若函数在 内为
7、增函数，求实数 a 的取值范围.解答记 ，2223)(3)(xxgu（1） 恒成立， ，R对030min au的取值范围是 ；a),(（2）这是一个较难理解的问题。从“ 的值域为 R”，这点思考， “ 的值xalogu21log域为 R”等价于“ 能取遍 的一切值” ，或理解为“ 的值域包)(xgu),0()(x含了区间 ”),0(的值域为xgu),(),32a命题等价于 ，30min a或a 的取值范围是 ；),(（3）应注意“在 内有意义”与定义域的概念是不同的，)1命题等价于“ 恒成立” ，应按 的对称轴 分类，),10(xgu对 )(xga0，3120124)1( aaaga 或或的取
8、值范围是 ；)3,(（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式 的解集为 ，02ax31|x或是方程 的两根，3,1032ax即 a 的值为 2；,21x（5）由对数函数性质易知： 的值域为 ，由此学生很容易得 ，)(xg),2)(xg但这是不正确的.因为“ ”与“ 的值域为 ”并不等价，后者要求2)(28能取遍 的一切值（而且不能多取）.)(xg),2 的值域是 ，),32a命题等价于 ；1)(minaxg即 a 的值为1；（6）命题等价于： ，0)1(,(0)(, gaxx恒 成 立对 为 减 函 数在即 ，得 a 的取值范围是 .21)2,1评析学习函数知识及解决函数问题，首先是要非常准确
9、理解与掌握函数中的每个概念，许多函数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解答，并要在学习中不断积累经验. 【例 3】解答下述问题：（）设集合 ，若当03log21l|8xxA时，函数 的最大值为 2，求实数 a 的值.Ax4log2l)(xfa解析 3log|037| 2x 82|x而 ，xxxf )(l)(l(log) 222 令 ，1,8,l2 tt，其对称轴 ，axf )()(22at当 ，即 ，适合；47at 1)3(3maxgt时当 ，适合；631),2,2 a时即综上， .61或a（）若函数 在区间0，2 上的最大值为 9，求实数 a
10、 的值.274)(21xxaf解析 ，xxf令 ，41,20,2ttx ),41(27)(27)( 2tatattgf9抛物线 的对称轴为 ，)(tgat当 ，不合；258439423)(,25max agfa时当 时， ，适合；1)(综上， （）设关于 的方程 R） ， （1）若方程有实数解，求实数 b 的xbx(0241取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.解析（1）原方程为 ，1xb，1)2()2(41 xx时方程有实数解；,b当（2）当 时， ，方程有唯一解 ；1x 0x当 时， .bb121)2(的解为 ；bxx,0,0)1(log2bx令 ,01的解为 ；bx12,时当 )(l2x综合、，得1）当 时原方程有两解： ；0b )1(log2b2）当 时，原方程有唯一解 ；1或 x3）当 时，原方程无解.评析例 3 是一组具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验.
