1、第 1 页 共 12 页 第 2 页 共 12 页对数与对数函数知识点与例题讲解知识梳理：一、对数1、定义：一般地，如果 ，那么实数 叫做以 为底 的对数，记作0,1xaNaxaN，其中 叫做对数的底数， 叫做对数的真数.axlogN2、特殊对数通常以 10 为底的对数叫做常用对数，并把 记为 ；10logNl通常以 为底的对数叫做自然对数，并把 记为 .e en3、对数的运算运算性质：如果 ，那么：0,1,aM且 ； ；aalogMNllogNaaalloglnaalogMlR； ； ； .,0mnaallnRm1abllalogN换底公式： .cogbl二、对数函数1、定义：一般地，函数
2、叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定01ayx， 且 x义域是 .0,2、图像和性质 1a图像定义域： 值域： 过定点 ，即当 时，1x0y在 上是 R在 上是 R性质非奇非偶函数3、同底的指数函数 与对数函数 互为反函数，它们的图像关于直线 对称.xayxyalog xy【课前小测】1、 写成对数式，正确的是（ ）293A、 B、 C、 D、9log1392log1329log9123log2、函数 的图像过定点（ ）0,aylxA、 B、 C、 D、1, 0,0,3、 等于（ ） A、 B、 C、 D、49log7223324、函数 的定义域是（ ）31fxlA、 B、 C、 D、1,0
3、,01,35、函数 的定义域是（ ）2fxlogxA、 B、 C、 D、,0,1,210,2考点一、化简和求值例 1、 （ ）552logl.2A、0 B、1 C、2 D、4解析：2log 510log 50.25log 5100log 50.25log 5252计算： 3948(log2l)(log3l)解：原式 lgl3lg()()ll 23l5g624变式、（辽宁卷文 10）设 ，且 ，则 （ ）25abm12abmA、 B、10 C、20 D、10010已知 ，用 a 表示 ；32a33log4l6已知 ， ，用 、 表示 log5bb0log3第 3 页 共 12 页 第 4 页 共
4、 12 页考点二、比较大小例 2、较下列比较下列各组数中两个值的大小： ， ； ， ；6log7l 3log2l0.8 ， ， ； ， ， 0.911.0.7log8567log3答案：； ；， ；，变式、已知函数 ，若 ，则 、 、 从小到大依次为 ()|lfx1abc()fafb()fc； acb已知 ，比较 ， 的大小log4lmnn解： ， ，当 ， 时，得 ，441loglm1n4410loglmn ， 当 ， 时，得 ，44loglnn0440ll ， 当 ， 时，得 ， ，011noglogn ， ， 01m综上所述， ， 的大小关系为 或 或 nmn001mn考点三、解与对数相
5、关的不等式例 3、解不等式 2)1(log3x解：原不等式等价于 或2)(0x2)3(10x解之得：4x5 原不等式的解集为x|4x 5解关于 x 的不等式： )1,0(,log)(log)34(log2 aaaa解：原不等式可化为 1x当 a1 时有 2342)12(34012 xxx（其实中间一个不等式可省,为什么？让学生思考）当 0a1 时有 423412)2(34012 xxxx或当 a1 时不等式的解集为 ；当 0a1 时不等式的解集为1 x解不等式 24logaxxa解：两边取以 a 为底的对数：当 01 时原不等式化为： 2log9)(l2xxaa ， ，01log2)(4(lx
6、aa 1l4laa或 axax04或原不等式的解集为 或1,|4x 1,|4x或考点四、对数型函数的性质 定义域、值域例 4、函数 的定义域是（ ）23()lg(1)1xfA、 B、 C、 D、1(,3,(,)31(,)3函数 的定义域是（ ）(21)log3xyA、 B、 C、 D、,31,22,31,2函数 的值域为（ ）2log3xfA、 B、 C、 D、0,0,1,1,变式、求函数 的定义域.2l()yx 单调性、奇偶性第 5 页 共 12 页 第 6 页 共 12 页例 5、函数 ylog 3(x22x) 的单调减区间是_解： 令 ux 22x ，则 ylog 3u.ylog 3u
7、是增函数， ux 22x0 的减区间是(，0)，ylog 3(x22x)的减区间是 (，0)设 0a1，函数 f (x)log a(a2x2a x2)，则使 f (x)0 的 x 的取值范围是（ ）A、(，0) B、(0，)C、(，log a3) D、(log a3，)解：由 f(x)0，即 a2x2a x21，整理得(a x3)(a x1)0，则 ax3.xlog a3.函数 ylog 2 的图象（ ）2 x2 xA、关于原点对称 B、关于直线 yx 对称C、关于 y 轴对称 D、关于直线 yx 对称解： f(x)log 2 ，f(x) log 2 log 2 f( x)f(x) ， f(x
8、)是奇函数故选 A.2 x2 x 2 x2 x 2 x2 x变式、若 ，则 的取值范围是（ ）01logaA、 B、 C、 D、),2(),()1,2()21,0(若 ，则 的取值范围是 02loglogaa若函数 是奇函数，则 a = )()(2xxf综合应用例 6、设函数 f(x)log a ，其中 0a1.(1 ax)证明：f(x) 是(a，)上的减函数；解不等式 f(x)1.解析：证明：设 0ax 1x 2，g(x)1 ，ax则 g(x1)g(x 2)1 1 0，ax1 ax2 a(x1 x2)x1x2g(x 1)g(x 2)又0a1，f(x 1)f(x 2)f(x)在(a，)上是减函
9、数log a 1，01 a，解得：Error!(1 ax) ax不等式的解集为：x| ax a1 a变式、已知函数 . 22()log(3)fx求函数 的定义域；求证 在 上是减函数；求函数 的值域.f(1,3()fx随堂巩固1、 等于（ ）632loglA、 B、 C、 D、5165log2、在 中，实数 的取值范围是（ ）2ablaA、 B、 C、 D、23,a或 3a3、下列格式中成立的是（ ）A、 B、2aalogblaaalogxyllogyC、 D、axylogy x4、 ，则 的取值范围是（ ）213alogA、 B、 C、 D、3012a或 1a2013a或5、已知 ，且 ，则
10、 等于（ ）abM,blogMbxlogMA、 B、 C、 D、1x1xx16、(08 山东济宁)已知 ， ，则 等于（ ）8log9a2l5l3A、 B、 C、 D、1ab321b1ab2ab7、已知函数 的定义域为 ，函数 的定义域为fxlgF12gxllgx，那么（ ）GA、 B、 C、 D、FGGFG第 7 页 共 12 页 第 8 页 共 12 页8、(08 山东) 已知函数 ， （ ）230xflog， ， 12fA、 B、 C、 D、12l 339、若 ，则 等于（ ）6430loglx12xA、9 B、 C、 D、913310、若 ，则 M 的值是（ ）2log4l3og312
11、A、5 B、6 C、7 D、811、已知 ，那么 用 表示是（ ）3la33l8l6aA、 B、 C、 D、25a2(1)231a12、已知偶函数 在 上单调递减,那么 与 的大小关系是（ ）xf428log2f)(fA、 B、 =)8(log21f()(1C、 1 时有 21342)12(34012 xxxx当 01 时不等式的解集为 ；1当 0a1 时不等式的解集为 42x课后巩固1、 对应的指数式是（ ）0,1logNbaNbA、 B、 C、 D、abaNaN2、设 ，则 的值等于（ ）5lgx第 9 页 共 12 页 第 10 页 共 12 页A、10 B、0.01 C、 100 D、
12、10003、 ，那么 等于（ ）0logl234x21xA、 B、 C、 D、144、化简 的结果是（ ）9log8l5ll3A、 B、 C、 D、1235、函数 的定义域是（ ）1logxyA、 B、 C、 D、,1,22,16、若 ，那么 满足的条件是（ ）09llnmnmA、 B、 C、 D、1010nm7、若 ，则 的取值范围是（ ）132logaA、 B、 C、 D、,0,321,32,32,08、函数 的值域是（ ）176log21xyA、 B、 C、 D、R,8,9、函数 的图像关于（ ）12lgxyA、 轴对称 B、 轴对称 C、原点对称 D、直线 对称xy10、图中的曲线是
13、的图像，已知 的值为 ，则相应曲线 的yaloa51,03424321,C依次为（ ）aA、 B、 103,54251,0342C、 D、, ,11、比较两个对数值的大小： ； .7ln12l7.0og580log5.12、计算 .50lg2l13、函数 是 函数.（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）.xxf114、函数 的反函数的图像经过点 ，则 的值为 .ay2,9a15、已知函数 ，logfa x1log10a， 且求函数 的定义域；（10 分）x判断函数 的奇偶性.（10 分）f16、已知 ，比较 ， 的大小。log4lmnn解： ， ，当 ， 时，得 ，441loglm1n4410lo
14、glmn ， 当 ， 时，得 ，44ll00 ， 当 ， 时，得 ，ognn014l，40l ， ， 1m1综上所述， ， 的大小关系为 或 或 m1mn17、解不等式 2(log x)2+9(log x)+9011第 11 页 共 12 页 第 12 页 共 12 页18、已知 是二次函数，且 及xfy80f121xfxf求 的解析式；f求函数 的递减区间及值域.f3log19、已知：函数 ，且 .2()fxk(2)2log,(log),(0,1)ffaka求 的值；当 为何值时，函数 有最小值？求出该最小值.,kaax解：（1） ；3 分2 2(),(),l(),ff6 分2 2(log,log(101,logfaa且（2） 8 分 22 7)l)log()4axfxxx所以当 时， 有最小值 10 分21log,即 2(lf74
