1、, 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第二十二讲 定积分的概念,教案制作：易学军,主讲教师：易学军,第五章 一元函数的积分,本章学习要求： 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式. 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理
2、量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限。,第五章 一元函数的积分,第一节 定积分的概念和性质,二. 定积分的定义,一. 引例,三. 定积分的性质,曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.,1. 曲边梯形,引例1. 曲边梯形的面积,2. 求曲边梯形的面积,首先，我们利用以下的的做法： 分割近似求和得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值.,任意引入分点,称为区间
3、的一个分法 T,对每个小曲边梯形均作上述的代替,引例2. 变速直线运动的路程,0,a,b,t,ti,ti1,已知质点的运动速度v=v(t). 求在时间段a, b内运动的路程s.,匀速运动： 距离速度时间,(1)分割：,任取分点:,a = t0 t1 ti1 t i tn=b,分割a, b得: ti1, ti (i=1, 2, n),且记：ti = ti ti1,(2) 近似：,任取 i ti1, ti ,(3)求和:,(4) 取极限：,1in,i,作,二. 定积分的定义,任意引入分点,定积分符号：,关于定积分定义的几点说明,由极限保号性：,面积：,例1.,例2.,显然,定理 1,定理 2,定理 3,定理 4,定理 5,三. 定积分的性质,规定,又有,下面的讨论假设所列积分均存在.,证,由定积分定义及极限运算性质：,证,(小于零的情形类似. ),由极限的保号性立即可知.,证,/,证,证,所以,x,0,y,M,m,x,0,y,x,0,y,a,b,a,b,y=f (x),a,b,证,解,由积分中值定理,等价无穷小,思考题：估计 的值。求 的值 。,作业 2，5，6，7,
