1、科 技 信 息高等数学研究的对象是函数，分段函数又是函数中的一个难点 。一般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍，并没有对分段函数进行严格的定义 。对其特征 、性质等都没有做出具体说明并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理，也没有明确指出 。正是由于上述原因，对分段函数及其有关性质 、处理方法难以把握 。分段函数是指在自变量变化的不同区间上，它有不同的表达式，而在整个自变量的变化区间上，它是一个函数 。分段函数的分段点是指函数自变量的某一取值，函数在该点与在其它部分有不同的表达式 。分段函数有多种形式，但对每一个分段点而言，最常见的分段函数可归结为以下两种形式：f(x)
2、=g1(x), xx0a, x=x0g2(x), x00, x=0ex, x0，讨论 f(x)在 x=0 处是否可导？解：f-(0)= limx 0-f(x)-f(0)x- 0= limx 0-sinx-0x- 0=1，f+(0)= limx 0+f(x)-f(0)x- 0= limx 0+ln(1+x)-0x- 0=1，由 f-(0)=f+(0)，可得 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=1 。例 3 设 f(x)= x ，讨论 f(x)在 x=0 处是否可导？解：f-(0)= limx 0-f(x)-f(0)x- 0= limx 0-x-0x- 0=-1，f+(0)= limx 0+
3、f(x)-f(0)x- 0= limx 0+x-0x- 0=1，因为 f-(0) f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导 。3.利用导数极限定理求导例 4 设 f(x)=x2, x00, x=0x3, x0，讨论 f(x)在 x=0 处是否可导？解法一：利用导数的定义，f-(0)= limx 0-f(x)-f(0)x- 0= limx 0-x3-0x- 0= limx 0-x2=0f+(0)= limx 0+f(x)-f(0)x- 0= limx 0+x2-0x- 0= limx 0+x=0 。由 f-(0) =f+(0)，得到 f(x)在 x=0 处可导 。在教学过程中，我们常会发现
4、一些学生是按照以下方式来做的 。解法二：当 x0 时，f(x)=2x， limx 0+f(x)=0；当 xx0a, x=x0g2(x), x0 时，在开区间(x0,x0+ x)内至少有一点 ，使f(x0+ x)-f(x0)x=f( )。当 x 0+时，得到 x+0，则 limx 0+f(x0+ x)-f(x0)x= limx+0f( )=A=f+(x0)。当 x0 时，在开区间(x0+ x,x0)内至少有一点 ，使f(x0)-f(x0+ x)-x=f(x0+ x)-f(x0)x=f( )，则 limx 0-f(x0+ x)-f(x0)x= limx-0f( )=A=f-(x0)。即 f(x)在
5、 x0处的左右导数存在且相等，故 f(x)在 x0处可导，且 f(x0)=A 。此时 f(x)在 x0处连续 。（2）由（1）的证明知， limx x+0f(x)与 limx x-0f(x)都存在但不相等时，f(x)在 x0处的左 、右导数存在，但不相等，故 f(x)在 x0处不可导 。定理 2 设分段函数 f(x)=g(x), x x0a, x=x0 在 x 0 处连续，g(x)在 0 x-x 0 内可导，若 limx x 0g(x)存在，则 f(x)在分段点 x0处可导，且 f(x0)= limx x 0g(x) 。证明：因为 f+(x0)= limx x+0f(x)-f(x0)x-x0=
6、 limx x+0g(x)-ax-x0= limx x+0g(x)，f-(x0)= limx x-0f(x)-f(x0)x-x0= limx x-0g(x)-ax-x0= limx x-0g(x)，而 limx x 0g(x)存在，即 limx x+0g(x)=limx x-0g(x)= limx x 0g(x)，所以 f+(x0)=f-(x0)，故 f(x)在 x0处可导，且 f(x0)= limx x 0f(x) 。注意：定理 1 、2 的逆命题不成立 。即如果分段函数 f(x)在分段点 x0处连续，且在 x0的空心邻域内可导，但 limx x+0f(x)与分段函数在分段点处的导数的求法石
7、河子大学师范学院数学系 王快妮 西藏民族学院教育学院 丁小帅摘 要 分段函数在分段点处的可导性是高等数学学习的一个难点 。利用导数的定义是最常见的一种判断分段函数在分段点处可导性的方法 。本文总结了分段函数在分段点处求导的 3 种方法，并通过例题予以说明 。关键词 分段函数 分段点 导数（下转第 512 页）高校理科研究511 科 技 信 息limx x-0f(x)至少有一个不存在或 limx x 0f(x)不存在时，f(x0)可能存在，也可能不存在 。此时应该采用导数的定义判定 。现在我们利用定理 1 和定理 2 来分析以上列举的分段连续函数例2- 例 5 在分段点处的可导性 。例 2 、3
8、 和例 4 都是属于定理 1 的应用情形 。在例 2 中， limx 0f(x)=1；在例 4 中， limx 0f(x)=0，所以导函数 f(x)分段点 x0的极限值可看作是 f(x)在该点的导数 f(x0)。在例 3 中，由于 f-(0) f+(0)，故根据定理 1，可判定 f(x)在 x0不可导 。例 5 是属于定理 2 中 limx 0f(x)不存在的情形，此时应用导数的定义判断 。对于分段函数在分段点的求导问题，首先判定函数在分段点处的连续性，若不连续则不可导 。若分段函数在分段点处连续，可应用定理 1和定理 2 来判定 。定理 1 和定理 2 具有计算较为简便 、实用性强，且这种方
9、法易于被学生接受，对帮助学生开拓思维有一定益处 。在定理的使用中，要注意到定理的局限性，当导函数在分段点两侧左右极限不都存在时，必须用导数的定义来判断该点的可导性 。参考文献1同济大学应用数学系.高等数学(第五版)M.北京:高等教育出版社，2003.2姜海勤，曹瑞成.分段函数分段点可导性的一个定理及应用J.扬州职业大学学报，2008,6：42-44.3何彦力.分段函数分段点的有关讨论及证明J.江苏广播电视大学学报,1999,10(3)：86-87.（上接第 511 页）作为工科学生一门极其重要的技术基础课程 理论力学 ，里面的诸多的概念 、定理 、定律和灵活的解题技巧,使绝大部分学生感到难度较
10、大 。作者结合自身 理论力学 教学的实际情况以及聆听专家教授的讲课，从激发学生兴趣 、活跃课堂气氛 、拓宽教学渠道 、改革考评方式等方面对该门课程的教与学提出一些自己的初步想法, 望各位批评指正 。（一）兴趣是最大的老师，让学生喜欢上这门课古人云: “知之者不如好之者,好之者不如乐之者 。”兴趣对学习有着神奇的内驱动作用 。使学生明白自己学到的知识并不仅仅是简单的数学公式的推导以及定理的证明，更是自然社会问题的解决基础，很多生活中的力学问题的引入就会让学生不禁对这门课程产生浓厚的兴趣了 。采用结合工程实例启发式教学, 可以给学生留下思考的空间1。例如:慢速转动的大圆盘上快速运动的皮带变形以及在
11、北半球上由南向北流动的河水使右岸冲刷破坏严重的现象，都是由于科氏惯性力的影响造成的；利用质心运动定理进行工程上的定向爆破；利用相对于质心的动量矩定理实施花样滑冰的高速转动等 。让学生结合实例学习 、钻研 、理解基本理论的应用 。（二）教学应以学生为中心，活跃课堂气氛改变以往的满堂灌式的教学方式,让学生动脑的同时既要动嘴又要动手，真正把学习的主动权交给学生，教师只起到组织和领导的作用2。课上并不是教师一味地给学生每一个定理 、定律 、每道题的标准答案，而是让学生在教师的指引下自己去思考 。对于习题课上的每一道题，要给学生留出一定的思考时间，然后让学生将自己的解题思路讲给教师及其他学生，且变教师评
12、价为学生评价，让学生自己去发现问题 、解决问题 。针对某一问题学生均可自由发言，热烈讨论 。同时，老师的肢体语言也很重要，加上适当的幽默诙谐的语言，联系生活实际形象地讲解问题，不仅可以调节严肃的课堂气氛，而且可使学生在一笑之后提高精神，增强了记忆力，让学生在有限的学时内学到更多的新知识 。（三）不局限于课堂教学，拓宽更多的教学渠道除了每周的固定上课时间之外，应该拓宽更多的教学渠道加强教师与学生的沟通，笔者认为在条件允许的情况下，可以这样做：1 、充分利用网络来教学将教学大纲 、课件 、习题及参考答案 、参考资料等内容都上传到学院的网站上，并向学生免费开放，同时老师将自己的电子邮箱 、QQ 号码
13、等网络联系方式公布给学生，通过这些网络化的教学方式，方便学生在课外也能自主学习 。2 、每两周安排一次答疑课答疑课的时间不需要相对固定，可临时通知学生，把它作为习题课的补充，让学生对不懂的内容提出问题，然后大家可以一起讨论，然后教师采用启发式教学 、逐步把问题讲懂，这样可能会取得更好的效果 。3 、组织学生现场参观在课堂上学到的知识始终是抽象的，在实际条件允许的情况下，组织学生现场参观，分析工程实例, 是培养学生思维能力 、自学能力 、分析和解决实际问题能力的有效途径 。例如，带领学生到工厂进行现场教学, 仔细观察实际机构的工作状态, 动手测量有关数据, 然后根据所学知识进行设计计算, 课后写
14、出书面总结报告 。（四）改革考评方式，关于作业 、复习 、考核的一些小方法我们不需要像高中时那样去搞题海战术，只要能达到让学生掌握本节课内容的目的，只需要布置典型的练习题就行 。但是根据章节的不同，作业题的数量也应该有一点差别 。比如说静力学部分，这是后续几门力学的基础，因此作业数量可稍微多一些，一般每章 5 6 道比较合适；而运动学部分，每章的习题作业在 3 4 道为宜，只是点的合成运动以及刚体的合成运动两章的作业可以适当增加到 5 6 道；最后在动力学部分，每章的作业题则在 2 3 道就可以了 。但同时也可以多布置几道选做题，留给学有余力的学生 。对每次的作业需要认真评阅，如果学生人数过多
15、，可以采取分批次抽阅的方法，既能稍微减轻老师的负担，又能及时了解学生的作业情况，以便及时给予评讲 。对于作业工整，正确率高的学生在课堂上可公开表扬，而对于做作业态度不认真的学生采取不点名的方式予以批评 。平时考核方面，随堂做一个 10 15 分钟的小练习是一个检验学生学习效果的好方法,其实这也算是一次小测验 。随堂练习的题量一定要少，最好就是 1 2 道题，重点应放在学生掌握基本概念 、理论及培养他们创新思维和解决问题能力上 。而且每次练习之后，让学生用一张纸将答案写好后，附上自己的姓名和学号，交到老师手里 。教师一定要认真批改,成绩作为平时成绩之一记载 。利用课堂练习的手段,不仅把学生的学习
16、主动性和积极性调动起来,也把自主学习的潜能激发起来3。另外，还可以让学生在每学完一个篇章之后，用 A4 的纸，在限定的版面内，复习并总结该篇章的所有知识，培养学生自我复习的能力 。总之， 理论力学 对理工科专业具有承前启后的特殊性，教师应该通过自身的努力，尽可能的平衡好教与学之间的关系，调动学生的积极性，搞好课堂教学，更好的提高教学质量！参考文献1王瑾.理论力学课程教学改革与实践J.安徽工业大学学报(社会科学版),2006,23(4):117-1182崔玉洁，张祖立.谈理论力学课堂教学模式改革J.沈阳农业大学学报(社会科学版)，2006.06,8(2):345-3463潘逸兴,蒋学东.理论力学课程考核方法改革的实践与思考J.江苏工业学院学报,2003,4(1):57-58理论力学 的教学思考西南科技大学土木工程与建筑学院 张代全摘 要 理论力学是一门理论性很强的课程 。如何让学生喜欢上这门课并且能取得比较好的教学效果是一个非常值得研讨的问题 。本文结合作者自身 理论力学 教学的实际情况以及聆听专家教授的讲课，从激发学生兴趣 、活跃课堂气氛 、拓宽教学渠道 、改革考评方式等方面对该门课程的教学提出一些自己的初步想法 。关键词 理论力学 兴趣 启发教学高校理科研究512
