1、,从几何原理中的家丑谈起非欧几何简史,从一个地点出发向西10千米，再向北10千米，最后向南10千米，你会在哪里？会回到起点吗？,但在球面上就不一样。如果你在赤道某处向西行进4分之一个圆周长，再向北行进4分之一个圆周长（到达北极了），再向南行进同样长度，你就回到起点了。,当然，在欧氏平面上你是永远不会回到起点的,直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。,第五公设（平行公设）,第五公设：若一直线落在两直
2、线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。,对第五公设的证明,历史上第一个宣称证明了第五公设的是古希腊天文学家托勒密（约公元150），后来普洛克鲁斯指出托勒密的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。替代公设：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。,1、通过直线外一点只能引唯一直线和它平行2、 两条平行线被第三线所截，同位角相等3、在已知直线同侧与它有同样距离的点组成一直线4、从两平行线中一条上的点到另一线的距离都相等5、 三角形的内角和等于两直角6、 相似三角形存在7、 一直线的垂线和斜线总相交8、平面上存在一
3、个内角和为平角的三角形9、勾股定理成立.,平行公理的常见等价命题,1733年，意大利数学家萨凯里：欧几里得无懈可击,萨凯里四边形,锐角？直角？钝角？,锐角？三角形内角之和小于两直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交；等等,无逻辑矛盾，但不合乎情理。,有意义的进展：萨凯里四边形,1763年，德国数学家克吕格尔（G.S.Klugel）在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论。克吕格尔是第一位对平行公设是否可以由其它公设加以证明表示怀疑的数学家。,1766年，兰伯特:平行线理论,兰伯特四边形,锐角？直角？钝角？,兰伯特并不认为锐角假设
4、导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何。因此，兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。,C. F. Gauss, 1777-1855,高斯从1799年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来，并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。他起先称之为“反欧几里得几何”，后称“星空几何”，最后改称为“非欧几里得几何”，所以“非欧几何”这个名称正是来自高斯。,高斯建立非欧几何,高斯建立非欧几何,高斯最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以用来描述物质空间。但高斯没有发表过任何有关非欧几何的文章，只在跟朋友的一些
5、通信中提及，他在给一位朋友的信中说：“如果公布自己的这些发现，黄蜂就会围着耳朵飞，并会引起波哀提亚人的叫嚣”。,J. Bolyai1802-1860,1832年2月14日， 绝对空间的科学 其中论述的所谓“绝对几何”就是非欧几何。,F. Bolyai1775-1856,波约让他的父亲把他的论文寄给高斯，想通过高斯的评价将自己的研究结果公诸于世（当时高斯被称为“数学王子”）但是高斯在回信中说：“称赞你儿子，就等于称赞我自己。整篇文章的内容，所采取的思路和获得的结果，与我在三十几年前的思考不谋而合。” 波约大感失望，以为高斯想剽窃他的研究成果，特别是1840年罗巴切夫斯基关于非欧几何的德文著作出版
6、后，更使波约灰心丧气，从此不再发表一篇数学论文。,在非欧几何的三位发明人中，罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也最坚定地宣传和捍卫自己的新思想。“几何学中的哥白尼”,. . 1792-1856,罗氏几何满足如下公理过两点可连一直线直线可无限延长以一点为中心任意长为半径可做一个圆所有直角相等过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行,罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言： 通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线与已知直线不相交。作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理。罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包
7、含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这个理论就是一种新的几何学-非欧几里得几何学。,罗巴切夫斯基几何的其他结果,三角形三内角之和小于两直角，假如三角形变大，使它的所有三条高都无限增长，则它的三个内角全部趋向于零；如果两个三角形的三个角相等，它们就全等；不存在面积任意大的三角形；圆周长p不于半径r成正比，而是更迅速地增长，并符合下面的公式：罗巴切夫斯基的非欧三角公式:,当罗巴切夫斯基一开始公布他的这些新几何学的定理时，的确遭到了高斯所预料的“波哀提亚人的叫嚣”，面对种种攻击，罗巴切夫斯基表现出比高斯更有勇气他坚信自己是正确的，他同时还坚信这种新的几何终有一天“可以像别的物
8、理规律一样用实验来验证”,罗巴切夫斯基,关于勇气、坚持和人性的故事,1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文几何学原理及平行线定理严格证明的摘要。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。然而，这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对。参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家，其中著名的数学家、天文学家西蒙诺夫,有后来成为科学院院士的古普费尔以及后来在数学界颇有声望的博拉斯曼。在这些人的心目中，罗巴切夫斯基是一位很有才华的青年数学家。可是，出乎他们的意料，这位年轻的教授在简短的开场白之后，接着说的全是一些令人莫明其
9、妙的话，诸如三角形的内角和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另一边不相交，等等。这些命题不仅离奇古怪，与欧几里得几何相冲突，而且还与人们的日常经验相背离。然而，报告者却认真地、充满信心地指出，它们属于一种逻辑严谨的新几何，和欧几里得向何有着同等的存在权利。这些古怪的语言，竟然出自一个头脑清楚、治学严谨的数家教授之口，不能不使与会者们感到意外。他们先是表现现一种疑惑和惊呆，不多一会儿，便流露出各种否定的表情。,宣讲论文后，罗巴切夫斯基诚恳地请与会者讨论，提出修改意见。可是，谁也不肯作任何公开评论，会场上一片冷漠。一个具有独创性的重大发现作出了，那些最先聆听到
10、发现者本人讲述发现内容的同行专家，却因思想上的守旧，不仅没能理解这一发现的重要意义，反而采取了冷谈和轻慢的态度，这实在是一件令人遗憾的事情。会后，系学术委员会委托西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼组成三人鉴定小组，对罗巴切夫斯基的论文作出书面鉴定。他们的态度无疑是否定的，但又迟迟不肯写出书面意见，以致最后连文稿也给弄丢了。,罗巴切夫斯基的首创性论文没能引起学术界的注意和重视，论文本身也似石沉大海，不知被遗弃何处。但他并没有因此灰心丧气，而是顽强地继续独自探索新几何的奥秘。1829年，他又撰写出一篇题为几何学原理的论文。这篇论文重现了第一篇论文的基本思想，并且有所补充和发展。此时，罗巴切夫斯基已被推选
11、为喀山大学校长，可能出自对校长的“尊敬”，喀山大学通报全文发表了这篇论文。,高斯的态度,在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯（Gauss，17771855）也不肯公开支持他的工作。高斯是当时数学界首屈一指的学学巨匠，负有“欧洲数学之王”的盛名，但是，高斯由于害怕新几何会激起学术界的不满和社会的反对，会由此影响他的尊严和荣誉，生前一直没敢把自己的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果写在日记和与朋友的往来书信中。,当高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著作平行线理论的几何研究（1840年）后，内心是矛盾的，他一方面私下在
12、朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家之一”，并下决心学习俄语，以便直接阅读罗巴切夫斯基的全部非欧几何著作；另一方面，却又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关告白，也从不以任何形式对罗巴切夫斯基的非欧几何研究工作加以公开评论。他积极推选罗巴切夫斯基为哥延根皇家科学院通讯院士，可是，在评选会上和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中，他对罗巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献创立非欧几何却避而不谈。高斯凭任在数学界的声望和影响，完全有可能减少罗巴切夫斯基的压力，促进学术界对非欧几何的公认。然而，在顽固的保守势力面前他却丧失了斗争的勇气。,晚年的罗巴切夫斯基心情更加沉重，他不仅在学术上受到压制
13、，而且在工作上还受到限制。按照当时俄国大学委员会的条例，教授任职的最高期限是30年，依照这个条例，1846年罗巴切夫斯基向人民教育部提出呈文，请求免去他在数学教研室的工作，并推荐让位给他的学生A.波波夫。人民教育部早就对不顺从他们意志办事的罗巴切夫斯基抱有成见，但又找不到合适的机会免去他在喀山大学的校长职务。罗巴切夫斯基辞去教授职务的申请正好被他们用以作为借口，不仅免去了他主持教研室的工作，而且还违背他本人的意愿，免去了他在喀山大学的所有职务。被迫离开终生热爱的大学工作，使罗巴切夫斯基在精神上遭到严重打击。他对人民教育部的这项无理决定，表示了极大的愤慨。,家庭的不幸格外增加了他的苦恼。他最喜欢
14、的、很有才华的大儿子因患肺结核医治无效死去，这使他十分伤感。他的身体也变得越来越多病，眼睛逐渐失明，最后终于什么也看不见了。1856年2月12日，伟大的学者罗巴切夫斯基在苦闷和抑郁中走完了他生命的最后一段路程。喀山大学师生为他举行了隆重的追悼会。在追悼会上，他的许多同事和学生高度赞扬他在建设喀山大学、提高民族教育水平和培养数学人材等方面的卓越功绩，可是谁也不提他的非欧几何研究工作，因为此时，人们还普遍认为非欧几何纯属“无稽之谈”。,历史是最公允的，因为它终将会对各种思想、观点和见解作出正确的评价。1868年，意大利数学家贝特拉米（18351899）发表了一篇著名论文非欧几何解释的尝试，证明非欧
15、几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。人们既然承认欧几里是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。,1846年进入哥廷根大学专修语言和神学 1847-1848年到柏林大学, 进入数学领域 1849-1851年在哥廷根大学, 取得博士学位, 学位论文“单复变函数一般理论基础” 1854年讲师
16、职位讲演: 关于几何基础的假设, 1857年副教授, 1859年教授 1862年得肺结核, 1866年在意大利逝世 1876年出版黎曼全集(发表论文18篇, 遗稿12篇) 伟大的分析学家：复变函数论、阿贝尔函数论、超几何级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数学物理、物理学,黎曼(德, 1826-1866),“ 黎曼是一个富有想象的天才, 他的想法即使没有证明, 也鼓舞了整整一个世纪的数学家.”,1854年，黎曼发表论文关于几何基础的假设,B. Riemann, 1826-1866,发展了罗巴切夫斯基等人的思想，并建立了一种更广泛的几何。即现在所称的黎曼几何。罗巴切夫斯基几何以及欧几里得
17、几何都只不过是这种几何的特例。 黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的。,公设（1） （2）（5）变为：两个不同的点至少确定一条直线直线是无界的 （无限）平面上任何两条直线都相交,在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：曲率为正常数；曲率为负常数；曲率恒等于零。黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧几里得几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于已知直线的直线。这实际上是以前面提到的萨凯里等人的钝角假设为基础而展开的非欧几何学。,黎曼几何与相对论,
18、相对论应用的几何学并不是普通的欧几里得几何，而是黎曼几何。在非欧几何里，有很多奇怪的结论。三角形内角和不是180度，圆周率也不是314等等。因此在刚出台时，倍受嘲讽，被认为是最无用的理论。直到在球面几何中发现了它的应用才受到重视。黎曼几何是一个庞大的几何公理体系，专门用于研究弯曲空间的各种性质。球面几何只是它极小的一个分支。它不仅可用于研究球面，椭圆面，双曲面等二维曲面，还可用于高维弯曲空间的研究。它是广义相对论最重要的数学工具。黎曼在建立黎曼几何时曾预言，真实的宇宙可能是弯曲的，物质的存在就是空间弯曲的原因。这实际上就是广义相对论的核心内容。只是当时黎曼没有像爱因斯坦那样丰富的物理学知识，因
19、此无法建立广义相对论。,1909年，爱因斯坦考虑把他的狭义相对论推广到广义相对论的时候，在数学表达形式方面遇到了严重的困难，经过好友的介绍，他才找到了最有力的数学工具，即非欧几何。1915年，爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛仑兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。对广义相对论所进行的实验和观测检验，实际上是对非欧几何的间接证明，这些实验和观测，加深了人们对非欧几何真实意义的理解。,黎曼几何与相对论,非欧几何的发展与确认,19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先后在欧几
20、里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。,球面二角形（月形）,球面三角形,球面上的全等三角形,克莱因的几何模型：在普通欧几里得平面上取一个圆，并且只考虑整个圆的内部。他约定把圆的内部叫“平面”，圆的弦叫“直线”（端点除外）。这种圆内部的普通几何事实就变成罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何中的每个定理都可以解释成圆内部的普通几何事实。,1871年克莱因(德, 1849-1925),克莱因-庞加莱圆,庞加莱也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧几里得模型。这就使非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的真实性。因为我们可以设想
21、，如果罗巴切夫斯基几何中存在任何矛盾的话，那么这种矛盾也必然会在欧几里得几何中表现出来，也就是说，只要欧几里得几何没有矛盾，那么罗巴切夫斯基几何也不会有矛盾。至此，非欧几何作为一种几何的合法地位才充分建立起来。,1882年庞加莱(法, 1854-1912),受一位数学家在一本书中绘画的启发, 埃舍尔创造了许多美丽的双曲线空间的作品，例如木版画圆形限制III。这是非欧几里德几何学的二种空间之一，在埃舍尔的作品中它的原型实际上源自法国数学家Poincar。要得到这个空间的感觉，必须想象你实际上是在图像的内部。当你从它的中心走向图像的边缘，你会象图像里的鱼一样缩小, 从而到达你移动后实际的位置，这似
22、乎是无限度的，而实际上你仍然在这个双曲线空间的内部，你必须走无限的距离才能到达欧几里德空间的边缘，这一点确实不是显而易见的。,圆形限制III,非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命。,首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响。在此之前，占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念。非欧几何的创始人无一例外的都对这种传统观念提出了挑战。,其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。19世纪中叶以后，通过否定欧几里得几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新而又新的几何学。,非欧几何的意义
23、,非欧几何在一般思想史中的重要影响 （1）非欧几何的创立使人们开始认识到，数学空间与物理空间之间有着本质的区别 （2）真理性的丧失，解决了关于数学自身本质这一古老问题。 （3）非欧几何的创立使数学丧失了真理性，但却使数学获得了自由。,非欧几何的意义,非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物，而不是对客观现实的直接临摹，这样就使数学获得了极大的自由，同时也使数学丧失了对现实的确定性数学从自然界和科学中解脱出来，继续着它自己的行程M.克莱茵说：“ 数学史的这一阶段，使数学摆脱了与现实的紧密联系，并使数学本身从科学中分离出来了，就如同科学从哲学中分离出来，哲学从宗教中分离出来，宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样现在可以利用乔治.康托的话了： 数学的本质在于它的充分自由 ” ,非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的欧氏几何变成了某种特例。实际上，如果将欧几里得几何限制于其原先的涵义三维、平直、刚性空间的几何学，那么，19世纪的几何学就可以理解为一场广义的“非欧化”运动：从三维到高维，从平直到弯曲，而射影几何的发展又从另一个方向使“神圣”的欧几里得几何再度“降格”为其他几何的特例。,非欧几何的意义,
