1、等差数列,高斯，(17771855） 德国著名数学家。,得到数列 1，2，3，4， ，100,引例一,得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000,引例二,匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）,引例三,姚明罚球个数的数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000,发现？,观察：以上数列有什么共同特点？,从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。,高斯计算的数列：1，2，3，4， ，100,观察归纳,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的数列的公差，通常用字母d表示。差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差
2、数列。这个常数叫做等差,递推公式anan1=d （d是常数，n2，nN*）,等差数列定义,6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000,公差d=1,公差d=500,公差d=,1，2，3,100；,2、常数列a，a，a，是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由,想一想,公差是0,3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由,不是,1、数列6，4，2，0,-2,-4是否为等差数列？若是，则公差是多少?若不是，说明理由,公差是-2,小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：an+1-an是不是同一个常数？,已知等
3、差数列an的首项是a1，公差是d,a2-a1=d,an-an-1=d,(1)式+(2)式+(n-1)式得：,a3-a2=d,a4-a3=d,an-a1=（n-1）d，,（1）,（2）,（3）,（n-1）,通项公式,an=a1+（n-1）d,即,等差数列的图象1,（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，,等差数列的图象2,（2）数列：7，4，1，-2，,等差数列的图象3,（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，,等差数列各项对应的点都在同一条直线上,通项公式中含有a1，d，n，an四个量，从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求四）,通项公
4、式的应用：可以由首项和公差求出等差数列中的任意一项；已知等差数列的任意两项，可以确定数列的任意一项。,例1已知等差数列的首项 a1是3 ，公差 d 是2，求它 的通项公式。,分析：知道a1,d ,求an .代入通项公式。,解： a1=3 , d=2 an=a1+(n-1)d =3+(n-1) 2 =2n+1,例题讲解,例2 求等差数列 10 ，8 ， 6 ，的第20项。,解： a1=10, d=8-10= -2 ， n=20 由an=a1+(n-1)d 得 a20 =a1+(n-1)d =10+(20-1)(-2) = -28,例题讲解,分析： 根据a1=10，d= -2，先求出通项公式an
5、，再求出a20,1.100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由,试一试,分析：先求出数列的通项公式，然后假设100是等差数列中的项，求出n,解： a1=2 , d=7 an=a1+(n-1)7 =2+(n-1) 7=7n-5 令100=7n-5 n=15 100是等差数列的第15项,解： 由题意可得 a1+5d=12，a1+17d=36, d = 2 ，a1 =2, an = 2+(n-1) 2 = 2n,例3 在等差数列an中 ，已知a6=12 ，a18=36 ,求通项公式an,分析：此题已知a6=12 ，n=6 ；a18=36, n=18分别代入通 项公
6、式an = a1+(n-1)d中，可得两个方程，都含a1与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d 。,例题讲解,试一试,2.在等差数列an中,已知a5=10 ，a12=31 ,求通项公式an,分析： 此题已知a5=10，n=5 ；a12=31, n=12分别代入通项公式an = a1+(n-1)d中，可得两个方程，都含a1与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d 。,解：设an=a1+(n-1)d，则有 a1+4d=10 ,a1+11d=31,a1 =-2，d = 3， an =-2+(n-1) 3 = 3n-5,我国古代算书孙子算经卷中第25题记有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗
7、。问：五人各得几何？”,古题今解,分析： 此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3， a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60, a1=6, a2=9, a3=12, a4=15, a5=18 即为五等诸侯分到橘子的颗数。,如果在 a 和 b 之间插入一个数A，使 a、A、b 成等差数列，则 A 叫做 a、b 的_ _。,有 _ 反之 _,即若 a + b = 2A，则a、A、b 成,也成立,等差中项,等差中项,等差数列,一般地，在等差数列中，从第二项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。即,2a n = a n 1 +
8、 a n + 1 ( n 2 ),例1 (1 )已知数列 an 的通项公式是an =3n-1，求证：an为等差数列； (2) 已知数列an是等差数列，求证：数列an+an+1 也是等差数列.,【小结】 数列 an 为等差数 ； 证明一个数列为等差数列的方法是 ： .,an=kn+b,k、b是常数.,证明： an+1 an为一个常数.,例题分析,例2 (1)等差数列11，8，5，的第19项是 ；(2)等差数列-5，-9，-13，的第 项是-307；(3)已知an为等差数列，若a1=3，d= ，an=21， 则n = ；(4)已知an为等差数列，若a17= ，d= ，则 a10= .,-49,99
9、,13,【说明】在等差数列an的通项公式中a1、d、an、n 任知 个，可求 .,三,另外一个,【说明】 3.更一般的情形，an= ，d=,等差数列的性质1,1. an为等差数列 ,2. a、b、c成等差数列 ,an+1- an=d,an+1=an+d,an= a1+(n-1) d,an= kn + b,（k、b为常数）,am+(n - m) d,b为a、c 的等差中项,2b= a+c,4.在等差数列an中，由 m+n=p+q,am+an=ap+aq,例3 .在等差数列an中(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20,例题分析,(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7
10、+a8,分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10,分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=15,三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.,已知an为等差数列且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.,结论归纳1:,数列an是公差为d 的等差数列。,数列a1,a3,a5,a7,是公差为 等差数列,数列a2,a4,a6,a8,是公差为 等差数列,数列ma2,ma4,ma6,ma8,是公差为 等差数列,数列a1+a2, a2+a3, a3+a4, a3+a4,是公差为 等差数列,2d,2d,2md,2d,等差数列中有关项的设法 当等差数列an的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项; 当等差数列an的项数为偶数时，可设中间两项分别为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项 对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列利用对称项设出这个数列，则其各项和为na,结论归纳2:,谢谢大家！再见！,
