1、2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,1,第 9 章,自相关,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,2,第9章 自相关性,一、自相关的概念 二、自相关产生的背景与原因 三、自相关性的后果 四、自相关性的检验 五、自相关问题的处理方法,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,3,9.1 问题的性质,9 .1.1 自相关的概念 在回归模型中我们总假定不同时点的随机误差项之间是不相关的，即,如果一个回归模型不满足上述假设，即,则我们称随机误差项之间存在自相关现象。,2019/8/23,Copyr
2、ight By Shujian Xiang,4,如果仅存在,称为一阶自相关，这是最常见的一种自相关问题。 自相关不是指两个或两个以上的变量之间的相关关系，而是指一个变量前后期数值之间存在的相关关系。自相关又称自相关。 本章主要讨论自相关现象产生的背景和原因，自相关现象对回归分析带来的影响，诊断自相关是否存在的方法，以及如何克服自相关现象带来的影响。,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,5,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,6,9 .1.2自相关产生的背景与原因,1.经济变量的惯性 2.设定偏误：遗漏关键变量 3.设定
3、偏误：采用错误的回归函数形式 4.蛛网现象可能带来序列的自相关性： 5.滞后效应：如当期收入和前期消费影响当期消费支出 6.对数据加工整理：如根据季度数据计算月平均值以烫平波动；数据的内插或外推。虽然自相关问题经常出现在时间序列数据中，有时也会出现的横截面数据中。,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,7,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,8,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,9,9.2 出现自相关时的OLS估计量,如果存在自相关，假设有下式成立：,(9.2.1)被称为马尔可夫一
4、阶自回归模式,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,10,如果存在自相关，如AR(1)，2的OLS估计量：,2的方差则为：,如果没有自相关，2的OLS估计量：,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,11,9.3 出现自相关时的BLUE估计量,如果存在类似AR(1)的自相关，可以证明2的BLUE估计量和方差分别为：,存在自相关时，GLS估计量是BLUE，而OLS则不是。,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,12,9.4 出现自相关时的BLUE估计量,9.4.1 考虑到自相关的OLS估计,
5、如前所述， 不是BLUE，即使我们使用 由此得到的回归系数的估计区间也可能比根据GLS方法得到的要宽一些。因此，尽管OLS估计量仍具有无偏性和一致性，但不是有效估计量（方差最小性），为了建立良好的置信区间并检验假设，建议使用GLS而不用OLS. 置信区间如图12.4所示。,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,13,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,14,9.4.2 忽略自相关的OLS估计的后果,1、残差方差 很可能低估真实的,2、有可能高估判定系数R2.,4、通常的t和F显著性检验可能无效。,如果满足经典假设，则有：
6、,若出现类似AR(1)的自相关，则有,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,15,9.4.3 蒙特卡罗实验说明方差被低估的情况,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,16,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,17,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,18,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,19,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,20,2019/8/23,Copyrigh
7、t By Shujian Xiang,21,补充：对于时间序列数据构造回归模型,其一般线性回归模型可表示为：,式中随机误差项往往前后期相关，即自相关。自相关的表现形式有多种，对于多数经济现象而言，其现期数值受过去近期的数值影响较大，而受过去远期的数值影响较小，并且时间的间隔越远，其影响就越小。,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,22,一阶自回归形式,这种形式的自相关可用一阶自回归形式来描述，且系数要限制为： 且假设：,在 假定下，一阶自回归过程是平稳的，即随机误差项ut的均值、方差和各阶协方差都为常数，并不随时间的改变而改变。,2019/8/23,Cop
8、yright By Shujian Xiang,23,平稳序列随机误差项的特征,将随机误差项ut的各期滞后值,代入一阶自回归模型得到：,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,24,随机误差的期望与方差,这表明回归模型的随机误差项可表示为独立同分布的随机误差序列的加权和，权数分别为1,，2,。当01时，这些权数随时间推移而几何衰减；而当-10时，这些权数是随时间推移而交错振荡衰减。 可以得到ut的期望和方差分别为：,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,25,由于现期的随机误差vt并不影响回归模型中随机误差项ut的以前各期值
9、ut-k，所以有：,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,26,可得模型随机误差项ut与其以前各期ut-k的协方差：,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,27,递推这一过程，可得间隔任意k期的协方差为：,由这些自协方差和方差，可得ut与其以前各期ut-k的相关系数为：,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,28,此相关系数称为模型随机误差项的k阶自相关系数，为一阶自相关系数。,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,29,回归模型的随机误差向量的协方差
10、矩阵,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,30,式中为对称正定矩阵，有,在自相关情形下，虽然随机误差的协方差矩阵的主对角线元素相同，满足同方差假设，但其非主对角线的元素非零，不能满足 的经典假设。最小二乘估计量是无偏的，但非有效。,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,31,9.5 侦察自相关性,常用的自相关检验法有三种： （一）图示检验法 （二）回归检验法 （三）自相关系数法 （四）D.W.检验,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,32,9.5.1 图示检验法,图示法是一种直观的诊
11、断方法，它是把给定的回归模型直接用普通最小二乘法估计参数，求出残差项，再描绘残差的散点图，根据残差的相关性来判断随机误差项的自相关性。残差的散点图通常有两种绘制方式。,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,33,1.绘制et(Y轴),et-1(X轴)的散点图。如果大部分点落在第一、三象限，表明随机误差项存在着正的自相关；如果大部分点落在第二、四象限，那么随机误差项存在负的相关。 2.按照时间顺序绘制残差的图形，t是x轴，et表示y轴。如果随机误差项随着t的变化逐次有规律地变化，呈现锯齿形或循环形状的变化，就可断言存在相关，表明残差存在自相关。,2019/8/
12、23,Copyright By Shujian Xiang,34,相关的方向则根据残差变化的符号来判断：如果残差随时间不断地改变符号，则存在负相关，此现象称为蛛网现象；如果残差随时间变化逐次变化但并不频繁地改变符号，即几个正的残差后面跟着几个负的残差，则表明随机误差项存在正的自相关。,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,35,9.5.2回归检验法,首先以普通最小二乘法估计模型的参数，计算随机误差项的近似估计量残差估计量；以残差估计量为被解释变量，以各种可能相关量，如滞后一阶残差、滞后二阶残差、残差平方等为解释变量，建立各种回归方程：,2019/8/23,C
13、opyright By Shujian Xiang,36,对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数关系，使得方程显著成立，则说明原模型存在自相关性。 回归检验法的优点是一旦确定了模型存在自相关性，也就同时知道了相关的形式，而且它适用于任何类型的自相关性问题的检验。,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,37,9.5.3自相关系数法,用误差的估计值残差计算其自相关系数的估计值：,由于自相关系数的估计值与样本量有关，需要进行统计显著性检验才能确定自相关性的存在，通常采用DW检验来代替对自相关系数估计值的检验。,2019/8/23,Copyright B
14、y Shujian Xiang,38,9.5.4 D.W.检验,它是J.Durbin和G.S.Watson 于1951年提出的一种适用于小样本的一种检验方法。DW检验只能用于检验随机误差项具有一阶自回归形式的自相关问题。它是建立经济计量学模型中最常用的方法，一般计算机软件都可以计算出DW值。,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,39,DW统计量,随机误差项的一阶自回归形式为：,为了检验自相关性，构造的假设是：H0：=0 构造的统计量为：,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,40,下面推导出DW值的取值范围。,利用了,2
15、019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,41,DW与自相关系数的对应关系表,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,42,根据样本容量和解释变量的数目（含常数项）查DW分布表，得到临界值dL和dU，然后依下列准则考察计算得到的DW值，以决定模型的自相关状态。,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,43,DW=2的左右有一个较大的无自相关区域，所以，通常当DW的值在2左右时，无需查表，即可放心地认为模型不存在序列的自相关性。 但DW也存在明显的缺点和局限性： 1.DW有两个不能确定的区域，一旦D
16、W值落在这两个区域，就无法判断，这时，只有增大样本容量或选取其他方法； 2.DW统计量的上、下界表要求n15,这是因为样本再小，利用残差很难对自相关的存在性作出比较正确的诊断； 3.DW检验不适应随机项具有高阶自相关的检验。,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,44,（一）广义一阶差分法 （二）一阶差分法 （三）柯-奥迭代法 （四）杜宾两步法 （五）广义最小二乘法,9.6 、自相关的补救措施,9.6 自相关的补救措施,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,45,9.6.1 广义差分法,设线性回归模型为 已知 有一阶自相关
17、性，即 把滞后一期的观测值代入变量关系，得方程：可得使 根据 可得,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,46,9.6.2 一阶差分法,设线性回归模型为 已知 有很强的一阶自相关性，即 把滞后一期的观测值代入变量关系，得方程：可得由于 令 可得,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,47,9.6.3,一、根据德宾沃森d统计量估计,二、科克伦奥克特迭代法估计,1、先用OLS对原模型做回归并得到残差,2、再利用估计的残差做如下回归：,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,48,3、用估计的
18、，对原模型进行广义差分可得,5、根据新残差求第二轮估计值，回归方程,这样求出的 就是 的第二轮估计值 这种将一直持续下去，知道连续两次求出的 的估 计值前后相差不大，例如小于0.01或0.005,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,49,三、科克伦奥克特两步法,1、根据 估计 2、利用的这个估计值作广义差分方程的回归,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,50,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,51,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,52,从
19、两变量模型的广义差分式整理后可得将上述多元线性回归中Yt-1的回归系数作为的估计值 ，利用广义差分变换， ，得到对它进行最小二乘估计，并把估计回归结果计算的 ，作为原模型参数的估计。,四、德宾两步法,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,53,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,54,说明性例题,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,55,关于ARCH模型简要介绍,Engle(1982)在研究外汇和股票市场的波动时，发现有些时间序列模型其扰动项在较大的波动之后伴随着较大的波动，在较小幅
20、度的波动之后伴随着较小幅度的波动即随机扰动项的无条件方差是常量，而条件方差却是变量对此他提出了条件异方差模型，即ARCH模型,Robert.F.Engle,2003年诺贝尔经济学奖得主在金融计量模型方面关于ARCH开创性的研究享誉世界,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,56,ARCH模型的主要思想是：时刻t的u的方差 依赖与时刻(t-1)的平方误差的大小，及依赖于 。,如果误差方差中没有自相关，则有。,从而表明误差方差具有同方差性,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,57,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,58,2019/8/23,Copyright By Shujian Xiang,59,
