1、进一步要来研究函数项级数问题 , 对一般的函数项级数，只介绍一些基本概念，不作详细讨论，仅讨论一类特殊常见的最简单的函数项级数幂级数主要研究它的收敛问题(3)及怎样将一个函数用幂级数表示(4)问题。前面我们介绍了常数项级数的概念及审敛法 .函数项级数的有关概念幂级数及其收敛性幂级数的运算一、函数项级数的有关概念.1.定义:上的称为定义在区间则设IxuxuxuxunIxxunnnn)1()()()()(),2,1()(211+=nullnullnull.)(级数无穷函数项.1),(,1:13211132就是一个函数项级数则例如nullnullnullnull+=+=nnnnxxxxxxxxxx2
2、.收敛点与收敛域:如果数项级数=10)(nnxu 收敛, 则称0x 为级数 )(1xunn=的 收敛点, 否则称为发散点 .所有发散点的全体称为发散域 .函数项级数 )(1xunn=的所有收敛点的全体称为 收敛域 ,)2()()()()1(,002010nullnull + xuxuxuIxn级数取数项级数，级数发散。，级数收敛； 11 的一切 x处发散. ,0lim0=证明nnnxa,)1(00收敛=nnnxa),2,1,0(0null= nMxann使得,Mnnnnnnxxxaxa00=nnnxxxa00=nxxM0,10时当 0001011,1,nnnnnnxaxaxxx这与已知条件矛盾
3、 .xo R R发散区域发散区域几何说明收敛区域),(,)0(,1000000xxxxaxxannnnnn=收敛收敛若由定理,内能交错出现在同一区间即发散点与收敛点不可),(),(,)0(000000+=xUxxxaxxannnnnn散发发散若.敛点之间发散点不能在原点与收发散收敛使得分界点间一定收敛区间与发散区间之因此RxRRRx =,),(0,0如果幂级数=0nnnxa 不是仅在 0=x 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数 R存在,它具有下列性质:当 Rx 时 ,幂级数发散 ;当 RxRx = 与 时,幂级数可能收敛也可能发散.推论定义 : 正数 R称为幂级数的
4、收敛半径 .幂级数的收敛域称为幂级数的 收敛区间 .,0=R), RR ,( RR ., RR规定,+=R收敛区间 0=x ;收敛区间 ),( + .问题 如何求幂级数的收敛半径 ?),( RR(1) 幂级数只在 0=x 处收敛 ,(2) 幂级数对一切 x都收敛, 定理 2 如果幂级数=0nnnxa 的所有系数 0na ,设 =+nnnaa1lim (或 =nnnalim )(1) 则当 0 时 ,=1R ;(3) 当 += 时 , 0=R .(2) 当 0= 时 , +=R ;证明应用达朗贝尔判别法对级数=0nnnxannnnnxaxa11lim+xaannn1lim+=,x=1,11,11
5、0)1(00=+=Rxxaxxnnn收敛仅时当 例2 求下列幂级数的收敛区间 :解)1(nnnaa1lim+=1lim+=nnn1=1=R,1时当 =x,1时当 =x,)1(1=nnn级数为,11=nn级数为该级数收敛该级数发散;)1()1(1nxnnn=;)()2(1=nnnx;!)3(1=nnnx故收敛区间是 1,1( .nnna= lim nn = lim,+=,+=R级数只在 0=x 处收敛 ,nnnaa1lim+=11lim+=nn,0=,0=R收敛区间 ),( + .;)()2(1=nnnx;!)3(1=nnnxnnnaa1lim+=12lim+=nnn2= ,21=R,2121收
6、敛即 x当,2时即 x 级数发散 ,2时当 =x ,211=n级数为,2时当 =x ,211=n级数为级数发散 ,级数发散 ,原级数的收敛区间为).2,2(不能直接应用以上这二种情形定理 2注:1 代数运算),( )()( )(:000RRxgxfxbaxbxannnnnnnnnn=加减法),min(),()(),()(21220110RRRRRxgxbRRxxfxannnnnn=设三、幂级数的运算),(),()()()()(:002211000RRxxgxfxbabababaxbxannnnnnnnnnnn=+=至少乘法null)0(),()0(0)0(:2210000+=RRRxCxCxC
7、Cxbxabgnnnnnnnn小得多收敛域比则设除法nullnull=+=00110000)()()(:)2,1,0(nnnnnnnnnnnnnnixCbCbCbxbxCxaiC 的确定如下系数 null)3,2,1,0(:0110nullnull=+=nCbCbCbannnn比较系数nullnullnullnull210021120200110101101000000,)(1CCCCbCbCbabababCCbCbabaCCba+=+=求积分均有线性性质。求导数求极限对于有限项 ,逐项求极限即 =nnnxxnnnxxxaxa0000limlim:)()(lim00xsxsxx=?逐项求导=)
8、()()(00 nnnnnnxadxdxSdxdxadxd?:2 分析运算?,: 性质呢是否也具有相应的线性对于无穷项问题逐项求积分= 00)()(nbannbabannndxxadxxSdxxa?即内连续在设:),()()1()3(),()(00RRxaxSRRxxSxannnnnn=)4()(limlim)(lim00000000=xSxaxaxaxSnnnnnnxxnnnxxxx重要结论)(成立般的函数项级数未必能质可以成立对于幂级数分析运算性=11000)()()(,),()()2(nnnnnnnnnnnnxnaxaxaxSRRxaxS且内可导在=+=+=010000001)()(,),()()3(nnnnxnnxnnnxnnnnxadxxadxxadxxSRRxaxS且内可积在
