1、1 复模态分析基础 1. 引言1粘性阻尼单自由度系统自由振动 2. 引言2对称阻尼矩阵 3. 物理空间的复模态 4. 状态空间的复模态 5. 复模态叠加法 董兴建 上海交通大学 振动，冲击，噪声研究所 机械大楼 A832 1. 引言1粘性阻尼单自由度系统自由振动 粘性阻尼单自由度系统自由振动方程 2 c n m = 进一步令 0 mx cx kx += 定义： 2 n k m w = 那么有： 2 20 n xn xx w += n n z w = 从而有 ( ) 12 (c o s s i n) cos n n t dd t d xec tc t eAt zw zw ww wq - - =+
2、 =- 衰减系数 n 相对阻尼系数 z 特征根： 2 1,2 1 nn si zw w z =- - 阻尼固有频率 2 1 dn wwz =- 欠阻尼自由振动解： ( ) 12 cos sin cos nn n xc tc t At ww wq =+ =- 无阻尼自由振动解： 2 20 nn xxx zw w += 2 2. 引言2对称阻尼矩阵 实际机械系统中不可避免地存在着阻尼: 材料的结构阻尼，介质 的粘性阻尼等. 阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达 在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略阻 尼力的存在，近似地当作无阻尼系统 当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是
3、很短暂的 情况下，阻尼的影响是不能忽略的。 一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼 有阻尼的 n 自由度系统： () xxxt += MCKP n xR 2. 引言2对称阻尼矩阵 假定已经得到无阻尼系统下的模态矩阵 及 谱矩阵 作坐标变换 x h = TTTT () t hhh += M C K P () ppp t hhh += MCKQ T p = C C 模态阻尼矩阵 虽然主质量矩阵与主刚度矩阵是对角阵，但阻尼矩阵一般非 对角阵，因而主坐标 下的强迫振动方程仍然存在耦合。 h3 111 201 111 - =- 00 000 000 c = C 00 00 00 m m m =
4、M T 600 020 003 m m m = M 30 2 03 kk kkk kk - =- - - K T 600 060 001 2 k k k = K 非对角 例如：三自由度系统 c 2k m m m k 2k k x 1 x 2 x 3 T P ccc ccc ccc - = - - C C 2. 引言2对称阻尼矩阵 若 非对角，则在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或正则坐标 方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂 P C 为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列 近似处理方法 1 p P pn c c = C (1) 忽略 矩阵中的全部非对角元素 P C 第 i 阶主振型的
5、阻尼系数 Pi c 第 i 阶振型阻尼或模态阻尼 () xxxt += MCKP n xR (), 1 Pi Pi Pi i mckQ tin hhh += = 做变换： x h = n 自由度系统： /2 Pi Pi i i cm zw = 令： 2 1 2( ) ii i ii i i i Pi Qt m hz w hw h += i z 第 i 阶振型阻尼比或模态阻尼比 2. 引言2对称阻尼矩阵4 7 （2） 将矩阵 假设为比例阻尼 假定 有下列形式： ab =+ CMK a, b：为常数 代入 T p = C C 中 T () pp p abab =+=+ C MK MK 对角阵 )
6、( 2 1 2 2 i i pi i pi pi pi i pi i b a m bk am m c 相对阻尼系数： （3）由实验测定n 阶振型阻尼系数 i ) 1 ( n i C C 2. 引言2对称阻尼矩阵 一般粘性阻尼系统的响应 当阻尼矩阵C 不允许忽略非对角元素，以上近似方法不成立 须用复模态进行求解 () xxxt += MCKP n xR n 自由度系统： 对于特征值问题，设 t xe l f = 得到： 2 () llf += 0 MCK f 有非零解的充要条件 ： 2 0 ll += MCK 一般粘性阻尼系统的特征方程 n 2 2 1 ， ， ， 2n 个特征值： 实数或复数
7、3. 物理空间的复模态5 2 0 ll += MCK 一般粘性阻尼系统的特征方程: n 2 2 1 ， ， ， 2n 个特征值： 实数或复数 因为特征方程的系数都是实的 所以特征值为复数时，必定以共轭形式成对出现 相应地，特征向量也是共轭成对的复向量 复模态 或 复振型 这是一种具有相位关系的振型，不再具有原来主振型的意义 当特征值为具有负实部的复数时，每一对这样的共轭特征值 对应系统中具有特定的频率和衰减系数的自由衰减振动 相对应，2n 个特征向量: 12 2 n ff f , 1 () n i R f 3. 物理空间的复模态 11 2 n ff f = 复模态矩阵： xx -= 0 MM
8、那么有 ： yy += AB0 = 0 M A MC = 0 0 -M B K () () t t = 0 Q P 讨论自由振动 () yyt += ABQ 设其特征解为 t ye l y = 得特征值问题：() ly += AB0 4. 状态空间的复模态 系统在物理空间中的坐标只有n 个，而复模态却有 2n 个，所 以不能用 上述的复模态矩阵 对前面的物理坐标下的振动方程 进行解偶。为此，引入状态空间方程。 () xxxt += MCKP 补充方程： x y x = 与物理空间的特征值问题相比： 特征值相同 lf y f = d ni lw =- 6 4. 状态空间的复模态 复模态的正交性及
9、其归一化 TT 0 ij ij yy yy = AB 0 正交性： yy += AB0 t ye l y = TT iiiiii ab yy yy = AB i i i b a l -= 定义 阶方阵 2n 22 2 n yy y = T 12 2 T 12 2 diag , , diag , , pn pn aa a bb b = = A A B B = 11 2 n ff f = 12 2 diag , , n ll l = 归一化 TT 1 ii iii b yy yy = AB ii b l -= 5. 复模态叠加法 状态空间方程 T () pp zzt += AB P = 对状态向量
10、进行模态坐标变换 () yyt += ABQ x y x = () () t t = 0 Q P t ye l y = 设其特征解为 阶 复模态矩阵 2n 22 2 n yy y = yz = 在复模态空间已经完全解耦，第 i 个方程写为 T () ii ii i az bz t f += P i i i b a l -= 或者 T 1 () ii i i i zz t a lf -= P 得到复模态空间的解 () T 0 1 () (0) () d ii tt ii i i zt z e e a t ll t ft t - =+ P7 5. 复模态叠加法 T 1 () ii i i i zz
11、 t a lf -= P 复模态空间的初始条件为 () T 0 1 () (0) () d ii tt ii i i zt z e e a t ll t ft t - =+ P -1 (0) (0) zy = x y x = 其中第 i 个方程为 () T 1 (0) (0) (0) (0) ii i i zx x x a fl =+ + MMC 最后，由复模态空间返回到物理空间 yz = = () 2 1 2 T 1 2 () T 0 1 () () () (0) (0) (0) 1 () d i i n ii i n t ii i i i n t t ii i i xt zt zt e x
12、xx a e a l lt f ff l ff t t = = - = = =+ + + MC P 例题 如图，三个阻尼器的阻尼系 数相同，为 已知始条件为： 用复模态方法求系统的自由振动。 12 1 2 (0) (0) 0 (0) 0 (0) xx x xv = = = 0.5 ck m = 1. 系统的自由振动方程为 111 222 022 0 02 2 3 0 mxcc xkk x mx ccx k kx - += - 28 例题 2. 求解复模态 11 22 e t e x e x l f f = 假设 得到矩阵特征值问题 2 1 2 2 22() 0 0 ()223 e e mckc
13、k ck mck ll l f f ll l +-+ = -+ + 得到归一化 的复模态 0.1495 1,2 0.9458 1 i e f = 2.9144 3,4 2.2429 1 i e f = 1,2 1 1 ( 0.1657 0.9904) d k ni i m lw =- = - 3,4 2 2 (0 . 5 8 4 3 1 . 4 6 2 2 ) d k ni i m lw =- = - 复特征值为 例题 3. 系统对初始条件的响应 () () 4 T 1 T 4 1 ( ) (0) (0) (0) (0) i i t ii i i i i t i i i e xt x x x
14、a x e a l l ff l f f = = =+ + = MC M 代入初始条件及复模态 11 11 22 22 12 12 1 ()()()() 11 22 33 44 2 11 1 11 12 2 12 21 1 21 22 2 22 2c o s () 2c o s () 2c o s () 2c o s () dddd nit nit nit nit nt nt dd nt nt dd x eTeTeTeT x re t re t re t re t wwww ffff wq wq wq wq -+ - -+ - - - =+ -+ - = -+ - ( ) T (0) i i i x T a f = M 令复常数为
