1、一次函数与一元一次方程,自主探究1,(1)解方程2x+20=0,(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？,解：(1) 2x+20=0,(2) 当y=0时 ，即,从“函数值” 角度看,两个问题实际上是同一个问题,举一反三,当x为何值时，_的值为0?,解方程 - 7x+2=0,8x-5=0,y=8x-3,当x为何值时，_的值为0?,y=8x-5,下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这个方程进行解释吗？,(1)2x+1=3,(2)2x+1=0,(3)2x+1=-1,共同点：方程的左边相同,不同点：方程的右边不同,从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1
2、的函数值分别为3,0，-1时，求自变量x的值。或者说，在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3,0，-1的点，看它们的横坐标分别为多少,自主探究2,（3）画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点坐标.,（思考：直线y=2x+20与x轴交点坐标为（_,_），这说明方程2200的解是x=_）,从“函数图像”上看,-10,0,从“函数值”看，“解方程ax+b=0(a，b为常数， a0)”与“求自变量 x 为何值时，一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系？从图象上看呢？,合作交流,求一元一次方程ax+b=0(a，b是常数，a0)的解，从“函数值”看就是x为何值时函数y= ax+b的值为0,求一
3、元一次方程ax+b=0(a, b是常数，a0)的解，从“函数图象”看就是求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标,求ax+b=0（a0）的解,x为何值时，y=ax+b的值为0？,确定直线y=ax+b与x轴的横坐标,从形的角度看：,从数的 角度看:,求ax+b=0（a0）的解,1、根据下列图像，你能说出哪些一元一次 方程的解？并直接写出相应方程的解？,5x=0的解其解为X=0,X+2=0的解其解为X=-2,3x+6=0的解其解为X=2,X-1=0的解其解为X=1,2、已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b的是（ ）,A,B,C,D,B,求ax+b=0(a，b是常数，a
4、0)的解,归纳,一次函数与一元一次方程的关系,x为何值时函数y= ax+b的值为0,从“函数值”看,求ax+b=0(a, b是常数，a0)的解,求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标,从“函数图象”看,例题,例1一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？ （要求用两种方法解题）,解法1：设再过x秒物体的速度为17米/秒列方程2x+5=17 解得 x=6,解法2：速度 y( 单位：m/s)是时间 x ( 单位：s) 的函数y=2x+5 ,(6,0),由图看出直线y = 2x12 与x轴的交点为（6，0），得x=6,由 2x+5=17,得 2x12=0
5、,练一练,1根据图象你能直接说出一元一次方程x+3=0的解吗？,解：由图象可知x+3=0的解为x= 3,2利用函数图象解出x:,5x1= 2x+5,（1）,由图看出直线y = 3x6与x轴的交点为（，0），得x=,解法：画出两个函数y=5x1 和y=2x+5的图象,由图象知，两直线交于点 (2，9)，所以原方程的解为 x=2,O,y=5x1,y=2x+5,9,2,快乐升级,2利用函数图象解出x:,5x1= 2x+5,收获,解一元一次方程ax+b=0 (a ，b为常数)可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值,
6、做给你看,1、直线y=3x+9与x轴的交点是（ ） A（0，-3） B（-3，0） C（0，3） D（0，-3）,2、直线y=x+3与x轴的交点坐标为（ ， ），所以相应的方程x+3=0的解是x= .,B,-3 0,-3,3直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解，则a的值是_,4,4.已知一次函数y = 2x + 1，根据它的图象回答x 取什么值时，函数的值为1？为0？为3？,4.已知一次函数y = 2x + 1，根据它的图象回答x 取什么值时，函数的值为1？为0？为3？,解：由图像可知（1）当x=0时，函数值为1,（2）当x=-0.5时，函数值为0,（3）当x= -
7、 2时，函数值为- 3,-3,-2,1,-1,0,你认为利用图象怎样求方程2x + 1 = 3的解？你有几种方法？,5.画出函数y=-x+2的图象，利用图象回答问题： （1）求x=-1当时， y的值； （2）求当y=-1，对应的的值； （3）求方程-x+2=0的解； （4）求方程-x+2=3的解,一次函数,与,一元一次不等式,下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这些不等式进行解释吗？,(1)x+12,(2)x+10,(3)x+1-1,共同点：不等式的左边相同,不同点：不等号和不等号的右边不同,从函数的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数y=x+1的函数值分别大于2,小于0
8、，小于-1时，求自变量x的取值范围。或者说，在直线y=x+1上取纵坐标分别满足大于2,小于0，小于-1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件,画出y=x+1的函数图象,1,-1,x,0,y,y=x+1,x+12 x+11 x+10,2,1,从图象上看不等式的解,x1,x0,x-1,作直线,观察图象：,时，,时，,时，,作直线,观察图象：,时，,时，,时，,作直线y = ,已知一次函数 y = x,根据它的图象回答下列问题.(1) x 取什么值时,函数值 y 为4?(2) x 取什么值是,函数值 y 大于4?(3) x 取什么值时,函数值 y 小于4?,及直线y = （如图）,y = x ,y=
9、,从图中可知：,解：作出函数 y =x的图象,（1）当 x = 时，函数值 y 为。,（2）当x 时，函数值 y 。,（3）当x 时，函数值 y 。,例题:用画函数图象的方法解不等式5x+42x+10,解法1:原不等式化为:3x -60,画出直线 y = 3x -6 (如图),即这时y = 3x -6 0,所以不等式的解集为:x2,x2,解法二：画出函数 y = 2x+10和y = 5x+4图象,从图中看出：,即直线 y = 5x +4 在 y = 2x +10 的_方,不等式5x+4 2x +10, 不等式 5x+4 2 x +10 的解集是x 2,x 2,思路：不等式5x+42x+10可以
10、看成是两个函数值 y之间的大小比较，具体在图象上是两条直线间的位置关系。,下,y1,y2,当y1= y2时，x_,观察图象得出结论,当y1 y2时，x_,当y1 y2时，x_,看两直线的交点,y1在y2的上方,y1在y2的下方,1,1,=1,y1,y2,1,1,一次函数,与,二元一次方程组,你知道 y=2x-1 是什么？,ax+by+c=0 (a 0,b 0),二元一次方程的一般式:,一次函数的解析式:,y=kx+b (k 0),转化,过(0, ),( ,0) 点的直线。,b,直线,一次函数,二元一次 方程,直 线,图像是 .,知识园,1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升。与
11、此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升。两个气球都上升了1h。 （1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y关于上升时间x的函数关系 （2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？,解：（1）对于1号气球，y关于x的函数解析式为：y=x+5,对于2号气球，y关于x的函数解析式为：y=0.5x+15,0x60,（2）在某时刻两个气球位于同一高度，即两个气球对应的函数值相等。在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图。由图可知，两条直线的交点坐标为（20,25），说明当气球上升20分钟时，两个气球都位于海拔25米的高度。,25,20
12、,0,x,y,y=x+5,y=0.5x+15,用图象法解方程组:,把方程组化为:,即：两直线无交点,方程组无解,在直角坐标系中画出这两条直线的图像,由图得，两直线平行,探究园,巩固练习:,用图象法解:,解:原方程组可转化为两个函数:,两个函数图象的交点就是原方程组的解.,y,如图:两函数图象的交点是(3,0) 所以原方程组的解是,(2,1),对应关系:,图象法解方程组的步骤:,(1)转化,(2)画图,(3)找交点,画出两个函数图象,交点坐标为（2，1）即x=2,交点,归纳,直线y1=k1x1+b1和直线y2=k2x2+b2的交点（m,n),一、二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点对应。,二
13、、因为函数和方程有以上关系，所以我们就可以用图象法解决方程问题，也可以用方程的方法解决图象问题。,三、用图象法解二元一次方程组的一般步骤: 1.把两个方程都化成函数表达式的形式。 2.画出两个函数的图象。 3.找出交点坐标，交点坐标即为方程组的解。,你一定能行的！,随堂练习,1,2,3,4,2,3,4,1,-1,0,-1,l1,l2,思考题： 2.已知方程组 ，所对应的一次函数的图象表示如图，试求出a-b的值。,0,1/2,-1,X,Y,小明和小慧在长为50m的游泳池内练习游泳,小明每分游50m,小慧每分游20m,他们同时从一边出发游向对面,并且到达对面后立即转身返回(转身时间不计)。,问：小
14、慧游完一个来回与小明在途中共相遇几次?,由图象得小慧与小明在途中共相遇4次,实践题,2.5,“数形结合”思想,探究园,小东从A地出发以某一速度向B地前进，同时小明从B地出发以另一速度向A地前进(见下图)，图中的线段y1,y2分别表示小东、小明离B地的距离(km)与所用时间(h)的关系.,(1)试用文字说明： 交点P所表示的实际意义.,(2)试求出A,B两地之间的距离.,(小东),解：（1）小东和小明出发2.5小时相遇，并且离B地7.5千米,解：（2）设直线y1=kx+b (k0）,过（2.5，7.5），（4，0）, y1=5x+20,当x=0时，y1=20,A，B两地的距离为20千米,综合题,
15、(小明),探究园,基础练习，提高能力,（4，0）,x4,x4,x6,4x6,y=2,y=-1,基础练习，提高能力,x-2,X-2,X-2,议一议：A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数.1 时后乙距A地120千米,2 时后甲距A地 40千米. 问：经过多长时间两人相遇 ?,议一议：A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数.1 时后乙距A地120
16、千米,2 时后甲距A地 40千米. 问：经过多长时间两人相遇 ?,直线型图表示,A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1 时后乙距A地120千米,2 时后甲距A地 40千米. 问 经过多长时间两人相遇 ?,用图象法 解 行程问题,图象表示,可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象， 找出交点的横坐标就行了！,你明白他的想法吗？用他的方法做一做，看看和你的结果一致吗？,小明的方法求出的结果准确吗？,1,2,3,A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地
17、同时相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1 时后乙距A地120千米,2 时后甲距A地 40千米. 问 经过多长时间两人相遇 ?,用方程 解 行程问题,小彬,1 时后乙距A地120千米,即乙的,速度是 30千米/时,2 时后甲距A 地 40千米,故甲的速度是 20千米/时,你明白他的想法吗？用他的方法做一做，看看和你的结果一致吗？,t=3,A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A 地的距离s (千米) 都是骑车时间 t (时) 的一次函数.1 时后乙距A地120千
18、米,2 时后甲距A地 40千米. 问 经过多长时间两人相遇 ?,求出s与t之间的关系式，联立解方程组,你明白他的想法吗？用他的方法做一做，看看和你的结果一致吗？,对于乙，s 是t的一次函数，可设 s=kt+b。当t=0时，s=150； 当t=1时，s=120。将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k、b的值，也即可以求出乙 s 与t 之间的函数表达式。 同样可求出甲s与t之间的函数表达式。 再联立这两个表达式，求解方程组就行了。,小颖,提示,用一元一次方程的方法可以解决问题,用图象法可以解决问题,用方程组的方法可以解决问题,小明,小彬,小颖,用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以
19、准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法。,在以上的解题过程中你受到什么启发？,思考题： 1.某区中学生足球赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。在这次足球联赛中，猛虎队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，试问该队胜了几场？（要求用图象法求解）,解：设：胜x场，负y场，则平2y场。,根据题意得：,0,3,5,1,8/3,4,2,2,x,y,17/2,3x+2y=17,x+3y=8,变形后得到两个函数：,思考题,2.如图，L1和L2分别表示甲走路和乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，观察图象，回答下列问题： （1）途中乙发生了什么事， （2）他们是相遇还是追击； （3）他们几时相遇。,0,t,s,10,8,12,0.5,1,1.2,A,B,D,E,P,L1,L2,
