1、主要内容： 一、微元法 二、定积分在几何中的应用 三、定积分在物理中的应用,定积分魅力的显示 在若干学科中的应用,第四节,一、 微元法,在定积分的应用中，微元法是核心，所有的应用问题都是在微元法的思想下解决的.,2) Q 在区间 a , b 上具有可加性,可以表示成,1) 所求的变量Q是与区间a , b上的某分布f (x) 有关的整体量;,用微元法可以解决的问题:,等变量均可用微元法解决,面积、,体积、,平面曲线的弧长、,利润、成本、收益,积分的所有应用问题,一般总可按“分割,近似求和,取极限”三个步骤把所求量表示为定积分的形式,常简称为“微元法”.,这就是微元法.,应用方向,平面图形的面积、
2、体积；平面曲线的弧长；由边际函数求总函数等,曲边梯形求面积的问题,a,b,用矩形面积近似小曲边梯形面积,典型小区域面积,1、分割；,2、近似求和；,3、取极限.,表示由y = f(x) , x = a , x = b,由定积分的几何意义知: 当,二、在几何学中的应用,x轴所围的曲边梯形的面积.,1. 平面图形的面积,时,A,A=,更一般地，,曲边梯形的面积,上曲边,下曲边,左直边,右直边,解,利用积分区间的可加性,例如,利用几何意义可以大大简化运算,由定积分的几何意义可直接得：,通常我们在求两个以上曲线围成的面积时,我们首先要将这些函数两两联立,找出交点,从而决定积分上下限.,先画出图形，确定
3、所围面积；再联立方程求出交点，得出积分区域.,提示与分析：,解一,若选x为积分变量需分块,可以不分块吗？,选y为积分变量,解二,2. 由截面面积求立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),所以,所求立体体积为,小区间,A(x),底面积,用柱体体积近似代替小立体体积,特别地,体积 V =?,采用微元法,用圆柱体体积近似代替小立体体积,由对称性可得，椭球体的体积可由第一象限的图形绕x轴旋转而成半椭圆的2倍.,提示与分析：,解,三、在物理学中的应用变力作功,设物体在连续变力 y=f (x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到x = b ,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功W.,在位移变化dx过程中，可看作恒力做功.,解,
