1、试卷第 1 页，总 3 页双曲线题型一双曲线的定义和几何性质1设双曲线 的左、右焦点分别为 . 若点 P 在双曲线上，且 为锐角三角形，则|PF 1|+|PF2|的取值范围是A B C D 2已知双曲线 的一条渐近线截椭圆 所得弦长为 ，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D 3已知直线 与双曲线 交于 ， 两点，且线段 的中点的横坐标为 1，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 变式：4已知点 为双曲线 的左右焦点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足 ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 5已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则双曲线的标准方程为（ ）A B C D 6已知
2、双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点坐标为，则双曲线方程为（ ）试卷第 2 页，总 3 页A B C D 7在下列双曲线方程中，表示焦点在 y 轴上且渐近线方程为 的是A B C D 题型二双曲线的离心率问题8 已知点 为双曲线 右支上一点，点 分别为双曲线的左右焦点，点 是 的内心（三角形内切圆的圆心） ，若恒有 成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A B C D 9设 、 是双曲线 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使（ 为坐标原点）且 则 的值为（ ）A B 2 C D 310已知双曲线 的离心率为 ，焦点到渐近线的距离为 ，则此双曲线的焦距等于（ ）A B C D
3、11设 F1，F2 是双曲线 (a0，b0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使( ) 0( O 为坐标原点) ，且| PF1| |PF2|，则双曲线的离心率为 （ ）A B 1 C D 1变式：试卷第 3 页，总 3 页12已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于 、 两点，且 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 13若双曲线 的离心率大于 ，则 的取值范围为（ ）A B C D 今日作业14若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 的渐近线方程为_15设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，若， 的面积为 ，且 ，
4、则该双曲线的离心率为 _.10椭圆 的离心率为 ，其右焦点到椭圆 外一点 的距离为 ，不过原点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，且线段 的长度为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）求 面积 的最大值.试卷第 4 页，总 1 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 1 页，总 10 页参考答案1 A【解析】【分析】由题意画出图形，不妨设 P 在第一象限，P 点在 P1 与 P2 之间运动，求出PF 2F1 和F 1PF2 为直角时|PF 1|+|PF2|的值，可得 F1PF2 为锐角三角形时|PF 1|+|PF2|的取值范围【详解】F1PF2 为锐角三角形，不妨设 P 在第
5、一象限，P 点在 P1 与 P2 之间运动，如图，当 P 在 P1 处，F 1P1F2 为=90，S = |F1F2|y |= |P1F1|P1F2|，由|P 1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2，|P1F1|P1F2|=2，可得|P 1F1|P1F2|=6，此时|P 1F1|+|P1F2|=2 ，当 P 在 P2 处，P 2F1F2 为=90，x =2，易知 y =3，此时|P 2F1|+|P2F2|=2|P2F2|+2=8，F1PF2 为锐角三角形，则|PF 1|+|PF2|的取值范围是（2 ，8），故选：A【点睛】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 2 页，
6、总 10 页本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查等价转化思想方法，属于中档题2 B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程与椭圆的方程联立，利用弦长转化求解即可【详解】双曲线 的一条渐近线不妨设为： ，则： ，可得：一条渐近线截椭圆 所得弦长为 ，可得： ，可得 ，解得 故选：B【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力属中档题.3 B【解析】【分析】设 ,则有 ，利用点差法可得 ，从而可得结果.【详解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 3 页，总 10 页因为直线 与双曲线 交于 ， 两点，且线段 的中点 的横坐标为 ，所
7、以 ， ，设 ,则有 ，两式相减可化为，可得 ，双曲线的离心率为 ，故选 B.【点睛】本题主要考查待定系数法求双曲线的方程与离心率及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法” ，其解题步骤为：设点（即设出弦的两端点坐标） ；代入（即代入圆锥曲线方程） ；作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式） ；整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式） ，然后求解.4 A【解析】【分析】由特殊角等腰三角形的三边关系以及双曲线的定义可表示出 a、c 的关系，对关系式化简，通过离心率公式，对关系式变型，解方程求出离心率.【详解】由题意知： ，因为等腰三角形的顶角为 ，所以根据三角形的性质可本卷
8、由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 4 页，总 10 页求出 ，由双曲线定义可得： ，由离心率公式可得： .故选 A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，求离心率有两种方式，一种是由题目中条件求出参数值，根据离心率公式得离心率，另一种是根据条件求得 a、c 的齐次式，等号两侧同时除以 a 或 等，构造离心率.5 D【解析】【分析】利用双曲线方程求出实轴与虚轴长，列出方程求解即可【详解】双曲线 =1（m0）的虚轴长是实轴长的 2 倍，可得 = ，解得 m=2，则双曲线的标准方程是： =1故选：D【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题 6 C【解析】【分析
9、】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出 、 ，即可得到双曲线方程.【详解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 5 页，总 10 页双曲线 的一条渐近线方程是 ，可得 ，它的一个焦点坐标为 ，可得 ，即 ，解得 ，所求双曲线方程为： .故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.7 C【解析】 由题意，该双曲线的焦点在 轴上，排除 A、B 项；又方程 的渐近线方程为 ，而方程 的渐近线方程为 ，故选 C.8 D【解析】分析：设 的内切圆半径为 ，由 ，用 的边长和 表示出等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到
10、与 的不等式，可求出离心率取值范围.详解：设 的内切圆半径为 ，由双曲线的定义得 ，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 6 页，总 10 页，由题意得 ，故 ，故 ，又 ，所以，双曲线的离心率取值范围是 ，故选 D.点睛：本题主要考查利用双曲线的定义、简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 的不等式，从而求
11、出 的范围.9 B【解析】【分析】由已知中 ，可得 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 是以 直角的直角三角形，进而根据 是双曲线右支上的点，及双曲线的性质结合勾股定理构造方程可得 的值， 进而求出 的值.【详解】由双曲线方程 ，可得 ， ，又 ， ， ，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 7 页，总 10 页故 是以 直角的直角三角形，又 是双曲线右支上的点，由勾股定理可得 ，解得 ，故 ，故选 B.【点睛】本题主要平面向量的几何运算，考查双曲线的标准方程，双曲线的定义与简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形
12、，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.10 D【解析】分析：运用离心率公式和渐近线方程，结合点到直线的距离公式可得 的值，再由的关系即可求得 的值，然后求得焦距详解： 双曲线 的离心率为双曲线的渐近线方程为不妨设 ，即 ，则焦点到渐近线的距离为 ，解得则焦距为故选点睛：本题考查了双曲线的几何性质，根据题意运用点到线的距离公式进行求解，本题较为基础。本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 8 页，总 10 页11 D【解析】分析：利用向量的加减法可得 ，故有 ，可得 ，由条件可得 ，由
13、求出离心率.详解： ， ， ， ，在 中， ，|PF1| |PF2|， ，由双曲线的定义得 ， ，.故选：D.点睛：本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中，判断 是直角三角形是解题的关键.12 A【解析】分析：利用双曲线的对称性以及圆的对称性，求出 A 的坐标，代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可.详解： 、 分别为双曲线 的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于 、 两点，且 为等边三角形，则 ，代入双曲线方程可得： ，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 9 页，总 10 页即： ，可得 ，即 ，可得 ，.故选：A.点睛：本题考查双
14、曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力.13 D【解析】分析：先根据双曲线标准方程得 ，再根据离心率大于 ，得 ，解得 的取值范围 .详解：因为 ，所以 ,因为离心率大于 ，所以 ,选 D.点睛：本题考查双曲线离心率，考查基本求解能力.14【解析】【分析】先求出渐近线的方程，利用圆心到渐近线的距离为半径计算 即可.【详解】渐近线方程为： .因为渐近线与圆相切，故 ，所以 ，故渐近线方程为 .填 .本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 10 页，总 10 页【点睛】一般地，求双曲线 的渐近线的方程，可以把等号右边的常数变为 即可，同理共渐近线 的双曲线的标准方程可假设为 .15【解析】分析：设 ，由 的面积为 9 算出 ，结合勾股定理得到 ，再用双曲线定义可得 ，进而得到 ，利用平方关系得到 ，最后可得该双曲线的离心率的值.详解：设 ， 的面积为 ，即 ，在 中，根据勾股定理得 ，结合双曲线的定义，得 ，化简整理得 ，即 ，可得 ，结合 得 ，该双曲线的离心率为 .故答案为： .点睛：本题给出双曲线满足的条件，求它的离心率，着重考查了向量数量积性质、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，解题时请注意整体代换与配方思想的运用.
