1、1,1.5 平面标量场,在物理和工程上经常需要研究各种各样的场，如电场、声场、 温度场等，这些场随时间而变化，随空间而不同，如果场与时 间无关，则称为恒定场，例如静电场、流体中的定常流速场等。 如果研究的场在空间某方向上是均匀的，只需要在垂直于该方 向的平面上研究它，这样的场叫做平面场。,首先来看平面静电场，在没有电荷的区域，静电场的电势满足二 维拉普拉斯方程，这样，电场所处区域的某一解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部或者虚部就可以被用来表示该区域上静 电场的电势,把这一解析函数叫做该平面静电场的复势. 它的实部或虚部就是电势.,2,U(x,y)是电势,曲线族u(x,y)=
2、常数是 等势线族,由前面的知识可知,曲线族 V(x,y)=常数垂直于等势曲线族 U(x,y)=常数,因此,v(x,y)=常数正是 电场线族,并且v的值本身具有物理意义,取两点A(x1,y1)和B(x1,y1),任作一曲线连接A和B,如图,计算穿过曲线AB的电通量,曲线AB的切线方程余弦是,所以法线n的方向余弦是,这样,3,则,V(x,y)在A和B两点所取的值之差就是A和B两点之间穿过的电通 量,函数v(x,y)叫做通量函数,由以上可知,只要给出了复势,就不仅 给出了电势分布,而且还直接给出电场线族的方程、电通量密度 并给出了电荷密度。,同理，在液体的无旋流动中，有所谓平面无旋液流，由于没有 涡
3、旋，速度矢量可以表为某个标量的梯度，这个标量叫做速度势 借助于速度势就可把平面无旋液流问题表为平面标量场问题，在 没有源和汇的区域上，速度势满足拉普拉斯方程，某个区域上,4,解析函数,f(z)=u(x,y)+iv(x,y),实部或虚部总可以表示该区域,上某种平面无旋流的速度势，解析函数f(z)就叫做该平面无旋液 流的复势，为确定，设v(x,y)是速度势，则曲线族u(x,y)常数 就是流线族，u(x,y)是流量函数，它在A和B两点所取的值之差 就是A和B两点之间穿过的流量。,同理，在物体的稳定分布中，有所谓平面温度场，均匀物体 中的稳定温度分布满足拉普拉斯方程，因此某个区域上的解析 函数f(z)
4、u(x,y)iv(x,y)的实部或虚部总可以表示该区域上某 种平面温度场的温度分布，为确定设u(x,y)是温度分布，则曲线 族v(x,y)常数就是热流线族，v(x,y)是热流量函数，它在A和B 两点所取的值之差正比于A和B两点之间穿过的热流量。,5,借用平面温度场的词汇把曲线族u(x,y)常数和v(x,y)常数 叫做等温网,例1,开平面上的解析函数,的实部和虚部分别是,如图，虚线描述曲线族u(x,y)常数 实线描述曲线族v(x,y)常数，后者 包括实轴和虚轴在内,作为平面静电场，是两块互相垂直的很大的带电导体平面的静 电场，实线是等势线，虚线是电场线。作为平面无旋液流来看， 这是液体从虚轴的 方向流来，被x轴阻挡分流的情形，实线 是流线，虚线是等速度势线。,
