1、第 4 章 刚体力学 (Dynamics of a rigid body),（1）描述刚体位置的独立变量,1. 刚体:是特殊质点组 , 注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体. 2. 描述刚体位置的独立变数描述一个质点需三个坐标 ，对刚体是否用 个?否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置, 需9个变量.但由于 需6个变量即可, 9-3=6,4.1 刚体运动 (motion of rigid body ),3. 描述刚体位置的欧拉方法刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动描述质心可用 , 描述转轴可由 。,但 ， 仅有两个独立, 还有转角 欧
2、拉方法: 1776年欧拉建义, 三个描述质心，两个独立描 述转向，一个描述绕轴的转角, 三个独立的角度称欧拉角。,（2）刚体运动的分类,1. 平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行. A, B 两点的位移相 等, 即有任意两点的运动情况相同。,任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独 立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动),2. 定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需 要一个独立变量 3. 平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动.可以用平行于固定平面的截面代表刚体. 需要三个独立变量4. 定点运动: 刚
3、体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动.需三个独立的欧拉 角. 5.一般运动: 平动+转动,1. 定轴转动时: 角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.,2. 有限转动的角位移不是矢量先绕 后绕 先绕 后绕可见，有限转动角将不满足矢量加法对易律，故不是矢量。,（3）有限转动和无限小转动,3. 无限小的转动角位移是矢量：,有方向的量：,是否为矢量？,再转动 后,转动前,转动 后,位矢分别为,验证对易率：,（4）角速度矢量,1. 为刚体 时间内的角位移,矢量 就是刚体在瞬时 绕 点转动的角速度。,2. 定点转
4、动时,转轴随时间而变,某一时刻的转轴叫该时刻的瞬时转轴,沿该时刻的瞬轴.,3. 线速度 与角速度 的关系 欧拉公式,4. 推论: 当Oxyz固连于刚体, 取r=i, j, k -泊松公式,对刚体运动最有意义的处理：,刚体整体随质心的平动；,刚体各质元绕质心的转动。,刚体上任意一条直线在各时刻的空间位置保持平行，通常以质心为基点。3个自由度，可看成质点,刚体的平动,基点不变，刚体上质元的空间位置变化，3个自由度（两个形容转轴的变量，一个转角）,绕基点的转动,研究最多的是刚体的定轴转动,L为角动量,4.2 刚体的转动 (rotation of a rigid body),刚体的转动用角动量描述：,
5、如果矢径与角速度垂直，则L(mr2) = J(r) ；J(r) = mr2 称为转动质点对原点的转动惯量。如果矢径与角速度不垂直，那么角动量L与角速度 的方向并不一致。绕基点的转动与绕固定轴的转动是不同的运动形式,转动惯量的计算,J 反映刚体转动惯性的大小,与刚体的质量有关。,在质量相同的情况下，与质量的 分布有关，如：圆盘与圆环。,与转轴的位置有关。,一、转动惯量的特点,角动量与角速度的关系写成：,通常，角速度与矢径不垂直，转动惯量不是一个简单的数值，而是一个张量。,对于定轴转动，转动惯量是一个标量。,二、 关于J 的几条规律,1. 对同一轴，J 具有可叠加性,在各平行的转轴之中，通过质心转
6、动惯量最小,两个都不通过质心的平行转轴之间不存在类似关系。,仅对薄片刚体成立,例1：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量,三、几种典型刚体的转动惯量,相当于质量为 m 的质点对轴的 J,如果在 R 处有一质量为 M 的均匀圆环与此圆环轻质杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为：,例2：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量,dJ = r2 dm,解：在圆盘上取 r 处 dr 宽的一圆环，其 转动惯量为：,思路： , 圆盘对中轴转动惯量可看 成圆盘上分割出的无数圆环对中轴 转动惯量的代数和。,比 R 处质量为 m 的均匀圆环中轴的转动惯量小,如果在圆盘上离中心周距离为 R 处放一质量为 M 的物体，此系统
7、对中心轴的转动惯量为：,例3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量,对质心轴，建立如图坐标系， 取 x 处 dx 小段：,利用平行轴定理：,例： 求均匀圆盘对于通过其边缘一点 O 的平行轴 的转动惯量:,利用平行轴定理：,得：,问题：一质点相对于一转轴有无转动惯量？,问题：转动系统的转动贯量是否会变？,刚体上任意点都在通过该点并与转轴垂直的平面内作圆周运动,其 、 (角加速度)相同，,4.3 刚体的定轴转动,线量：,特别地，对匀加速转动 = 常数,类似于直线运动,刚体定轴转动的图像,刚体绕惯性系中一定轴以角速度 做定轴转动时，刚体同时也绕固定在刚体上且与此定轴平行的任意轴以相同的角速度 转动。
8、,由运动的相对性原理，B 相对于 A 的速度,方向：垂直于,因此，B 相对于 A 轴做角速度为 的圆周运动。,刚体绕惯性系中一定轴以角速度 做定轴转动时，刚体同时也绕固定在刚体上且与此定轴平行的任意轴以相同的角速度 转动。,刚体的定轴转动定律,问题：为什么质心绕轴上一点的角动 量沿轴向的分量就代表质心绕 轴转动的角动量？,刚体的定轴转动定律刚体所受的对于某固定转轴的合外力矩等于刚体对 同一转轴的转动惯量与它所获得的角加速度的乘积。,a M，方向相同，瞬时关系，对同一轴。,适用于惯性系，用于求解刚体定轴转动的瞬时问 题，与用牛顿第二定律求解质点运动学问题相似。,Mz 是对 z 轴的合外力矩，各力
9、对 z 轴的力矩等于 此力在作用点运动方向上的分量乘以作用点到轴 的距离。与 方向相同的力矩取正。,刚体定轴转动的角动量是质点系总角动量在转轴 方向分量一种变形。,用于求解刚体转动中力矩的时间积累效果问题。,对定轴的角动量守恒定律 若一质点系所受的对某一固定轴的合外力矩为零，则它对于此固定轴的角动量保持不变。,若所研究的质点系中既包含刚体又包含质点、物体等，则M、L 应理解为所有物体所受力矩和所有物体的角动量。,不做定轴转动的质点或物体对定轴的角动量等于 其对定轴上任一点的角动量沿轴向分量。,用于求解刚体与质点或物体的碰撞问题。,W外 + W内 = Ek,刚体的定轴转动动能定理,对于刚体，内力
10、的功为零 ；,外力的功,刚体定轴转动动能定理 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体做的功等于它的转动动能的增量。,刚体的转动动能及力矩做功只是物体的平动动能 及力做功在刚体定轴转动这种特有运动形式下的 一种变形,刚体的各质元间没有相对运动，所以内力功为零。,刚体的重力势能：刚体各质元重力势能的总和,刚体的重力势能等于其质量集中在质心时所具有的重力势能,若体系是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时,机械能守恒定律 对于包括刚体在内的体系，若只有保守内力作功则系统机械能守恒。若 ， 则,4.4 刚体的平面平行运动,含义：刚体所有点的运动都平行于某个平面刚体角速度（转轴）垂直于该平面是特殊的定轴转动，轴
11、本身可以横向运动,运动的描述：,基点的选择：质心、刚体上的点、或其他点,平动：与基点的选择有关； 转动角速度：与基点的选择无关 。,选定基点A后，刚体上或外任一点P的速度为：,以质心C为基点,P点的速度：,刚体的动能：,瞬心：速度为0的点P：,基点A的速度：,以瞬心为基点，刚体的运动是怎样的？,应用举例,明确转动轴位置；,选定转动的正方向, 注意力矩、角速度、角加 速度的正负；,同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。,例：某飞轮直径 d=50 cm, 绕中心垂直轴转动，转动惯量 J=2.4 千克米2, 转速 n0 = 1000 转/分，若制动时闸瓦对轮的压力为 N = 50千克力，闸瓦与轮间的
12、滑动摩擦系数 = 0.4。问：制动后飞轮转过多少圈停止？,解：(1) 求 ,（2）求圈数,例 2：如图，设滑块 A，重物 B及滑轮 C 的质量分别为 MA，MB，MC。滑轮 C 是半径为 r 的均匀圆板。滑块 A 与桌面之间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间无滑动。求:（1）滑块 A 的加速度 a （2）滑块 A 与滑轮 C 之间绳的张力 T1， （3）滑轮 C 与重物 B 之间绳的张力 T2。,解：,解方程得：,例3:己知：质量为 m、径为 R 的均匀圆盘。初角速度 ,绕中心轴逆时针转动。空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比其线速度,即 。不计轴承处的摩擦。 求：圆盘在停止转动时所转过的
13、圈数 N=?,解：,用积分法求力矩：在圆盘上选取半径为 r、宽度为 dr 的圆环，圆环上的质元具有相同的线速度 v。,则作用到圆环上的元阻力大小为:,思路：变力矩问题，应用转动定理，积分求解；力在圆盘上有一分布，积分法求合力矩。,考虑盘的上下表面，故元阻力矩大小为：,总阻力矩,利用刚体定轴转动定律,分离变量，并积分：,例 4：均匀直杆 M ，长为 l，其一端挂在一个水平光滑 轴上而静止在竖直位置。一子弹质量为 m，以水 平速度 v0 射入杆下端而不复出。求子弹和杆一起 运动时的角速度。,解: 考虑以子弹和杆组成的系统，所受外力 （重力和轴支持力）对转轴的力矩为零， 角动量守恒:,问题：如果不是
14、杆，而是用绳悬挂一重物 M， 碰撞过程中是什么守恒？为什么？,注意质点对轴的角动量的表达方式:,例5：质量为M，半径为 R 的水平放置的均匀园盘，以角速度 1 绕垂直于园盘并通过盘心的光滑轴，在水平面内转动时，有一质量为 m 的小物块以速度 v 垂直落在园盘的边沿上，并粘在盘上，求：（1）小物块粘在盘上后，盘的角速度 2 = ？（2）小物块在碰撞过程中受到的冲量 I 的方向及大小。,m,v,R,M,解: (1) 以 m, M为一个系统，过程中其 所受合外力矩为零，角动量守恒,碰前m对轴的角动量为零，但其动量不为零。,（2）求 I 应用动量定理,碰撞前后 m 动量方向不同，分方向讨论。,讨论：
15、1）碰撞过程中动能是否守恒？,2）角动量守恒时，动量不一定守恒。,方向向上,方向沿切线,初始： Ek1=0， 令 Ep1=0,末态：,则：,由平行轴定理,解得：,应用质心运动定理：,解得：,解：,例 7：如图，一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为m 的粘土块从 h 高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一起，之后一起转动。已知：M = 2m , = 600 求： (1) 碰撞后瞬间盘的 0 = ? (2) P 转到 x 轴时的 = ? = ?,（1） m 自由下落,碰撞 t 极小，对 m + 盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：,例
16、8：匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转，轻绳跨过圆盘一端与弹簧相连，另一端与质量为 m 的物体相连，弹簧另一端固定在地面上，轻绳与盘无滑动，系统处于静止状态，此时一质量为 m1 的小物块从 h 高度处自由落下，与 m 碰撞后粘在一起。求：m 下降的最大位移 s 。,解： 自由落体，碰时角动量守恒， 碰后机械能守恒,方向与 方向相同,进动：高速自旋的物体的转轴在空间转动的现象,重力矩： M=mgr,角动量定理:,4.5 进动和章动,dt 时间内轴 沿 方向转过 角,俯视,J为转动惯量,dsin,进动实例：陀螺进动,陀螺转的越快进动越慢,陀螺在进动时，其重心并不是总是在一个水平的圆形轨道上。除非一开始，重
17、力矩就满足,A总 = Ek,A总C = Eint,刚体定轴转动,守恒定律,力学总结,参考系转化,例 1：一光滑水平面上静放一长为 l，质量为 m 的细直杆，今有一质量也为 m 的质点，在与杆垂直的方向上以 v0 运动，并在杆的一端和杆发生完全非弹性碰撞，求(1) 碰后质心的速度和转动的角速度；(2) 碰撞过程中损失多少机械能。,解 (1) 碰前后动量守恒，,思路：考虑质点和杆组成的系统（质点系）,碰撞时水平方向有无外力？,水平方向无外力，故质点系动量守恒。,质点系转动过程中转动方向上有无外力矩？,无，惯性系中一定点或质心角动量守恒。,碰前后角动量守恒，,对质心：,或对碰前杆的上端点所在位置：,
18、(2) 碰前后损失机械能为：,例 2： 半径为 R 质量为 m 的均匀实心圆柱体，沿倾角为 的斜面 无滑动滚下，求圆柱体的受力大小及质心的加速度。,解: 对质心的平动，,刚体的滚动可看作随质心平动和刚体绕质心轴转动的两运动的叠加。平动满足质心运动定理，转动满足转动定律。 对纯滚动，满足 vc = R， ac = R，即滚动的刚体与支撑面接触线上的各点的瞬时速度为零，该线为瞬时转轴。,对绕质心的转动，,在纯滚动中，除对质心外，还能对哪条轴应用转动定律？,刚体的纯滚动可以看做是绕瞬时轴的转动，如果支撑面是固定在惯性系上的，也可以对瞬时轴应用转动定律。,刚体的滚动可看作刚体随质心平动和绕质心轴转动的
19、两运动的叠加。平动满足质心运动定理，转动满足转动定律。,力学总结,滚动中的摩擦力：滑动、静摩擦力；向前、向后？,此题滚动过程中，机械能是否守恒？其滚动动能怎么表达？,纯滚动中刚体与支撑面接触处的速度为零，作用于刚体的为静摩擦力，不做功，机械能守恒。滚动动能为：,解： 轮与 m 为联结体，轮为定轴 转动、m 为平动，二者用绳联系起来。m 的速度大小与轮边缘线速度大小相等。,例 2.己知：定滑轮为均匀圆盘，其上绕一细绳，绳一端固定在盘上，另一端挂重物 m。绳与轮无相对滑动，绳不可伸长。轮半径 R = 0.2m，m = 1kg, m 下落时间 t = 3 s，v0 = 0, h = 1.5 m。求：
20、轮对 O 轴 J = ?,求解,例5：转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为 0 , 转台对此轴的转动惯量 J = 5 10-5( kgm2 ), 今有砂粒以每秒 1 g 速率垂直落在转台上, 砂粒落点距轴 r = 0.1m, 求砂粒落在转台上, 使转台角速度减为 0/ 2 所需时间?,解：,例7：已知圆盘半径为 R，质量为 M，在垂直平面内可绕过中心水平轴转动，将跨在圆盘上的轻绳分别联接倔强系数为k的弹簧和质量为 m 的物体，设轮轴光滑，绳不伸长，绳与轮间无相对滑动，今用手托住 m 使弹簧保持原长，然后静止释放。求（1）m 下落 h 距离时的速度。（2）弹簧的最大伸长量。,解： 取 m + M + 绳 + 弹簧 + 地 球为一系统,外力： 轴承支承力和地面对弹 簧的支承力功为零。,内力：重力，弹性力为保守力 绳不伸长，张力功为零。 绳与轮间无相对滑动，摩擦力功为零。,系统机械能守恒,作业,思考题 7.2 7.9 作业题 7.3.1 7.3.2 7.3.3,
