1、1系泊系统的设计摘 要本文通过建立数学模型，对系泊系统的传输节点示意图进行受力分析，建立了静力学模型，并通过增加风力、水流力等对系泊系统进行更优化的设计。对于问题一，在海平面处于静止状态下，对风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标吃水深度和浮标游动区域的计算，首先对锚链运用微元法对其中一节进行分析，再对其他物体进行受力分析和力矩平衡，得到静力学平衡的方程组，使用 对其求解，可得锚链形状（见MATLB图 1 和图 2）其它求解结果：风速 12m/s 时，钢桶的倾斜角度为 1.1023，从上到下的倾斜角度为 1.07461.08141.08821.0953，
2、吃水深度为0.7045（ ）,游动区域为 14.785（ ）。风速 24m/s 时，钢桶的倾斜角度为mm4.0641，从上到下的倾斜角度为 3.9683.99164.01554.0397，吃水深度为 0.7287（ ）,游动区域为 17.9502（ ）。对于问题二，在风速为 36m/s 时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、和浮标游动区域的计算问题，首先利用问题 1 中的算法求解出结果，发现在风速为 36m/s 时，钢桶的倾斜角度超过了 5 度，锚链在锚点与海床的夹角超过了16 度，调节重物球的质量为 3000 ，其调节前和调节后 36m/s 的求解结果，kg调节前：钢桶的倾斜角度为 8.0
3、293从上到下的倾斜角度为 2.10082.10612.11142.1168，游动区域为 15.5842（ ）。调节后：钢桶的倾斜角度为m2.1222从上到下的倾斜角度为 7.85757.89987.94257.9856，游动区域为 16.7009（ ）。m对于问题三，在考虑风力和水流力的情况下，本文基于风力和水流力为一对阻力的基础上，在布放点水的深度变化下，首先分别对浮标、钢管、钢桶及重物球系统进行受力分析，重新建立静力学模型，再利用 软件进行求解出在水深为 下，钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域（结果见文中），同时推出更合理的系泊系统的设计。 关键词：系泊系统的设计
4、静力学模型 单目标优化 力学方程组21 问题重述1.1 问题背景近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图 1 所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径 2m、高 2m 的圆柱体，浮标的质量为 1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为 600kg，锚链选用无档普通链（链环中间没有档撑的0 型环）环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共 4 节，每节长度 1m，直径为 50mm，每节钢管的质量为 10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过 16 度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通
5、讯系统安装在一个长 1m、外径 30cm 的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为 100kg。钢桶上接第 4 节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过 5 度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。1.2 问题提出问题一：假设海水静止时，在题中所给的浮标、钢管、钢桶、重物球、锚链、锚的相关数据，分别别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题二：在问题 1 的假设下，计算海面风速为 36m
6、/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过 5 度，锚链在锚点与海床的夹角不超过 16 度。问题三：由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于 16m20m 之间。布放点的海水速度最大可达到 1.5m/s、风速最大可达到 36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。2 问题分析问题要求锚链末端与锚的连接处的切线方向与海床的夹角不超过 16 度，否则锚会被拖行，且对于钢桶的倾斜角度超过 5 度时，设备的工作效果较差，为此，我们要通过确定锚链的型
7、号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度与游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。32.1 问题 1 的分析问题要求在海水静止时，分别计算海面为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。为此，首先对传输节点示意图进行整体分析进而分析浮标的受力情况，由立体几何中的相关知识平面直角坐标系，对浮标、钢管、锚链、钢桶及重物球系统进行局部受力分析，然后通过牛顿第一定律保持平衡静止，进而建立了静力学模型。对于吃水深度，通过水的深度来计算，而浮标的游动区域，通过各个物体在水平方向的投影长度求解出游动区域半径，然后利用 软件，求解出风速为 12m/s 时钢桶MA
8、TLB和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域，风速为24m/s 以此类推。2.2 问题 2 的分析问题 2 是在问题 1 的假设下，求出风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域；首先利用问题 1 的模型进行求解，发现钢桶的倾斜角度超过 5 度，锚链在锚点与海床的夹角超过 16 度，为此，可将问题2 建立一个优化模型，并对所建立的模型，在满足钢桶的倾斜角度不超过 5 度、锚链在锚点与海床的夹角不超过 16 度的情况下，利用 软件求解MATLB出尽可能小的浮标吃水深度、钢桶倾斜角度及游动区域所对应的的重物球质量。2.3 问题 3 的分析对于问题三，
9、因为受到潮汐等因素的影响，布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到 36m/s，为此，在考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统的设计，本文将在第一问的基础上，加上风力、水流力和水深情况，再对各个物体进行受力分析，重新建立静力学模型。然后，以此模型为背景，设计出更加合理的系泊系统。3 模型假设1. 假设海水的密度是分布均匀的。2. 假设各个深度的水流的流速近似相等。3. 假设不考虑锚链自身的弹性伸长。4. 假设所用的重力加速度为 9.8kg/m。5. 假设一切阻力忽略不计。44 定义与符号说明符号 符号说明海水的密度0G浮标的重力l钢管的长度s物体在风向法平面的投影面积(m 2)吃
10、h浮标的吃水深度g重力加速度球G重物球的质量桶钢桶的重力钢桶与竖直方向的角度单位长度锚链的质量R浮标游动区域半径S浮标游动区域球m重物球的质量5 模型的建立与求解5.1 问题一的解答5.1.1 模型一的建立稳定后的系泊系统可以分为锚、 锚链、 钢桶和重物球、 钢管、 浮标五个部分标五个部分 ，如图为系泊系统的结构图：5、图 1 系泊系统结构图下面对浮标、钢管、钢桶和重物球、锚链依次进行分析（一） 浮标的受力分析如图 1 所示，浮力在风速为 的情况下处于平衡状态，且对于浮力收到 4v个力作用。GF风F浮F1图 2 浮力的受力图其中， 为风速引起的力， 为在水中的浮力，其方向竖直向上， 为风F浮
11、1F钢管对浮标的作用力，G 为浮标的重力， 为物体在风向法平面的投影面积(m 2)，s为浮标的高度，假设浮标的吃水深度为 ，由阿基米德原理可知，有如下关h 吃h系： 吃2浮 rgF针对浮标而言，当其处于受力平衡时，其受力方程如下所示：6)(625.0625.0sinco吃风 1风浮 hdvFFG（二） 四根钢管的受力分析GF浮F2 2 1 1 2F1图 3 钢管的受力分析由图 2 可知，对于第一节钢管的受力平衡为： 12211221 222浮1 cos)sinsin(sin)cocos( colFlFGF其中， 为钢管的长度, 为第二节钢管对第一节钢管的作用力。l而对于其他钢管的受力分析以及力
12、矩平衡，可以以此类推：第二节钢管的受力和力矩平衡分析： 233223322 333浮22 cos1)sinsin(sin1)cocos( colFlFGF第三节钢管的受力和力矩平衡分析： 344334433 444浮33 cos21)sinsin(sin21)cocos( colFlFGF第四节钢管的受力和力矩平衡分析：7 455445544 555浮44 cos21)sinsin(sin21)cocos( colFlFGF（三） 对钢桶的受力分析F5G桶G球T1 5 4 4F球 浮F桶 浮图 4 钢桶与重物球的受力分析图 3 的受力和力矩平衡状态如下： 455445544 555浮44 co
13、s21)sinsin(sin21)cocos( colFlFF其中， 为重物球（铁球，密度为 7900 ）的质量， 为钢桶的质量，球Gmkg/桶G为锚链对钢桶的作用力， 为钢管对钢桶的作用力， 为钢桶与竖直方向的5F4 角度。（四） 对锚链的受力分析：利用微元法对锚链其中一节进行分析8mgT2 2TT1BAC 1yx图 5 锚链的受力分析图其中， 为锚对锚链的作用力， 为作用力与水平面的夹角， 为 AB 这一2T2 mg节的重力。则对于 B 点的受力分析如下：（1）sin2Tmg（2）co2T利用 可得： （3）)2(12stan由坐标系可知： （4）dxy联合（3）、（4）可知： 2cosi
14、nTmg对于锚链， 其中， 为单位长度锚链的质量， 为 AB 的长度。alm al则有： （5）2cosinTgdxy有弧长公式： 22)()(dyxL9得： 对其进行积分可得： 代入（5）可dxydL2)(1 dxyL2)(1得： xdyglTdxya 222sinco令 则有：kdxy dxkgT222 1sinco对 进行求导： 22dxk然后对 和 进行分离：xkdxTgk22cos1求解可得：（6）122)ln(Cxk又因为 代入（6）中得：1arcsi2xhx )cosinh(12xTgdy对上式变量分离并积分得到锚链的曲线方程为： 2122cosCxgTy基于以上对各物体的受力分
15、析，便可得出所求问题的方程。1.吃水深度的计算：对于吃水深度，我们利用整个系统在水中的深度减去除浮标以外的各物体在竖直方向的高度，其公式如下： ）coscoscos（- 54321吃 cylllllHh 其中， 为锚链的高度， 为水的深度。cy102.游动区域的计算针对浮标的游动区域，可以把浮标行走的区域看成圆形区域，在风力达到最大且方向保持不变时，游动区域半径达到最大，而半径的长度就为各个物体在水平方向的投影区域，其中锚链在水平方向的距离为 ，则浮标的游动区域x半径 如下：R 54321 sinsin(sin llxb再利用圆的面积公式 便可得出浮标的游动区域。2rS5.1.2 模型一的求解
16、与结果分析为求解当选用 II 型电焊锚链 22.05m，选用的重物球的质量为 1200kg。现将该型传输节点布放在水深 18m、海床平坦、海水密度为 1.025103kg/m3的海域。在海平面静止时，海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域，利用所建立的静力学模型，通过软件便可求解。MATLB针对 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度和游动区域如表 1 所示表 1 倾斜角度、吃水深度和游动区域风速（m/s） 12 24第一节钢管倾斜角度 1.0746 3.968第二节钢管倾斜角度 1.0814 3.
17、9916第三节钢管倾斜角度 1.0882 4.0155第四节钢管倾斜角度 1.0958 4.0397钢桶倾斜角度 1.1023 4.0641吃水深度 0.7045 0.7287游动区域 14.785 17.9502锚链末端与锚的切线方向与海床的角度 0 4.611当 为 12m/s 时，锚链的形状由图 4 可见：v0 5 10 15024681012与 与 与 m与与与m与 与 与 12m/s 与 与 与 与 与 与图 6 12m/s 的锚链形状由图 4 可知，当风速为 12m/s 时，锚链有一部分拖地，其拖地长度为 6.3m，故锚链与锚的倾斜角度为 0 度。当风速为 24m/s 时的锚链形状
18、（锚链不拖地）为：0 2 4 6 8 10 12 14 16 18024681012与与与m与与与m与与与24m/s 与与与与与与图 7 24m/s 时锚链的形状125.2 问题二的解答5.2.1 模型二的建立由题目可知，当锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角超过 16 度，锚就会被拖行，钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳，若钢桶倾斜则影响设备的工作效果。当钢桶与竖直方向的夹角即倾斜角超过 5 度时，设备工作效 果较差，为此，我们建立以钢桶的倾斜角度尽可能小为目标函数，并以重物球的质量范围、钢桶的倾斜角度不超过 5 度为约束条件的优化模型如下：min504012.球ts其中， 为钢桶
19、的倾斜角度， 为重物球的质量，对所选取得变量进行球无量钢化处理，再利用 软件进行求解并对结果进行比较和分析。MATLB5.2.2 模型二的求解与结果分析首先，利用问题 1 的模型和算法求解出风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。发现使得钢桶的倾斜角度超过了 5 度，锚链在锚点与海床的夹角超过了 16 度，为此必须调节重物球的质量，所得调节重物球质量后，铁桶与竖直方向的角度、锚链低端与海床的角度的变化如图：1000 1500 2000 2500 3000 3500 400005101620与 与 与 与 与 与 (kg)与与(degree)与 与 与 与 与
20、与 与 与 与 与与 与 与 与 与 与 与 与 与 与图 8 角度与重物球的质量变化131. 当重物球的质量为 1200 时的分析结果kg针对 36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、游动区域如表 2 所示：表 2 风速 36m/s 的各倾斜角度、游动区域风速（m/s） 36第一节钢管倾斜角度 7.8575第二节钢管倾斜角度 7.8998第三节钢管倾斜角度 7.945第四节钢管倾斜角度 7.9856钢桶倾斜角度 8.0293游动区域 16.7009其风速为 36m/s 时，锚链的形状如图：0 2 4 6 8 10 12 14024681012与 与 与 m与与与m与 与 与 36m/s 与
21、与 与 与 与 与 与 与 与图 9 36m/s 前的锚链形状142.调节重物球质量后，其质量为 3000 风速为 36m/s 的分析结果kg当风速为 36m/s 时，调节后各钢管的倾斜角度、游动区域如表 3：表 3 各钢管的倾斜角度、游动区域风速（m/s） 36第一节钢管倾斜角度 2.1008第二节钢管倾斜角度 2.1061第三节钢管倾斜角度 2.1114第四节钢管倾斜角度 2.1168钢桶倾斜角度 2.122游动区域 15.5842其调节重物球质量后锚链的形状如图：0 2 4 6 8 10 12 14 16024681012与 与 与 m与与与m与 与 与 36m/s 与 与 与 与 与
22、与 与 与 与图 10 调节后的锚链形状155.3 问题三的解答5.3.1 模型三的建立问题三在潮汐因素的影响下，在考虑到风力、水流力和水深情况下的系泊系统的设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。为此，基于问题 1 的基础上，增加水流力和风力对其每一个物体进行局部受力分析如下：对于浮标的受力分析： 1水风 1浮 sincoFG对于第一节钢管的受力分析： 122112211水 1浮12 cos)sinsin(sin)cocos(in lFlFG对于其它钢管的受力分析，可以以此类推，这里不做重述。对于钢桶及重物球系统的受力分析： 561556155 桶 水球
23、 水4455 61桶球球 浮浮 cos2)sin(sin2)cos( colTFlTFFG5.3.2 模型三的求解与结果分析最后，通过 MATLAB 工具分别分析出在水深为 16m20m 下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域，如图：表 6 不同水深情况下各变量的求解结果水深（m） 16 18 20吃水深度 0.9521 0.9968 1.0053第一节钢管倾斜角 4.8098 4.3038 4.2149第二节钢管倾斜角 4.7635 4.2683 4.1812第三节钢管倾斜角 4.7800 4.2823 4.1947第四节钢管倾斜角 4.7965 4.2962 4.208
24、3钢桶倾斜角 4.8131 4.3103 4.221916度锚链角度 11.8898 9.9830 6.1905游动半径 25.73 22.00 22.15对于在风速为 36m/s 时，处于水深 18 、16 、20 时锚链的形状如下图：m0 5 10 15 20 25 30 35051015与与与m与与与m与与与36m/s 与与与16m 与与与与1200kg 与与与与与与0 5 10 15 20 2502468101214与与与m与与与m与与与36m/s 与与与18m 与与与与1200kg与与与与与与图 11 水深 16m 时锚链形状 图 12 水深 18m 时锚链形状0 5 10 15 2
25、0 25051015与与与m与与与m与与与36m/s 与与与20m 与与与与1200kg 与与与与与与图 13 水深 20m 时锚链形状6 模型评价与推广模型的优点：1.本文模型运用初级的力学知识，通俗易懂，便于推广。 2.利用 软件进行求解，操作性强、MATLB17模型的缺点：1.本文模型为计算锚链、重物球和钢管的浮力。2.问题二中未考虑多个决策变量对系泊系统的影响。3.问题二中利用单目标优化模型，是一种比较机械的模型，具有一定的局限性。4.未考虑浮标在倾斜情况下的受力情况。模型的推广：本文研究的是系泊系统的设计问题，本质上是最优化问题，在综合考虑受力约束和情况下，给出局部最优解。对于锚链运
26、用悬链线原理进行建立模型，而悬链线模型可以运用到多个地方，比如：悬索桥、双曲拱桥、架空电缆、双曲拱坝都用到悬链线的原理 。 7.模型的改进本文只是基于浮标处于平衡状态时进行受力分析，但实际上浮标可能处于倾斜状态下，故对于倾斜时的浮标进行受力分析如下：虽然考虑倾斜的浮标，更符合实际情况，但其受力分析更复杂了，求解也就更难了。8 参考文献1 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京；高等教育出版社，2010 年。2 唐友刚等。深海系泊系统动力学特性研究，中国知网。3 吴剑锋，王斌。基于悬链线法的锚链长度的计算，中国水运；第 13 卷第 1 期；2013 年。4 唐军，胡灵斌；悬链线方程的求解及其应用，船舶，第 1 期，2004 年2 月。2017.8.25.14:005王丹，刘嘉新，一般状态下悬链线方程的应用J,2007 年，2017.8.25.14:35189 附录
