1、 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/例 谈 因 式 分 解 竞 赛 题610408 四 川 省 成 都 市 金 堂 县 五 凤 镇 九 年 制 学 校 徐 金 河 冯 皓 皎因 式 分 解 是 代 数 的 重 要 内 容 ,也 是 初 中 学 习 分 式 、一 元 二 次 方 程 等 知 识 的 基 础 . 它 是 整 式 乘 法 的 逆 变 形 ,也 是 数 学 竞 赛 中 经 常 涉 及 的 知 识 点 . 竞 赛 题 中 因 式 分 解的 考 法
2、 以 直 接 运 算 和 运 用 为 主 . 因 式 分 解 的 竞 赛 题 除 了应 掌 握 教 材 中 的 分 解 因 式 的 方 法 (提 公 因 式 法 、 公 式 法 )外 ,还 需 要 掌 握 十 字 相 乘 法 、 分 组 分 解 法 、 配 方 法 、 公 式法 中 的 立 方 和 (差 )公 式 即 a3 + b3 = ( a + b) ( a2 - ab +b2 ) a3 - b3 = ( a - b) ( a2 + ab + b2 ) . 本 文 例 析 几 道 因式 分 解 的 竞 赛 题 ,供 大 家 参 考 .1 直 接 进 行 因 式 分 解这 类 竞 赛 题 ,
3、主 要 是 考 因 式 分 解 的 几 种 方 法 ,试 题比 平 时 稍 难 一 点 而 已 . 只 要 认 真 观 察 ,勤 加 练 习 ,解 起 来问 题 不 会 很 大 .例 1 ( 2009年 台 湾 中 考 题 )已 知 ( 19x 31) ( 13x17) (13x 17) ( 11x 23)可 因 式 分 解 成 ( ax b) ( 8xc) ,其 中 a, b, c均 为 整 数 ,则 a b c =A. 12 B. 32 C. 38 D. 72分 析 将 给 出 的 多 项 式 运 用 提 公 因 式 法 进 行 因 式分 解 ,再 根 据 多 项 式 相 等 就 可 求
4、出 a, b, c的 值 .解 (19x 31) ( 13x 17) (13x 17) ( 11x 23)= (13x 17) ( 19x 31 - 11x + 23)= (13x 17) ( 8x - 8).所 以 a = 13, b = - 17, c = - 8. 所 以 a b c = - 12.故 选 A.例 2 ( 2004年 重 庆 市 初 中 数 学 竞 赛 初 二 试 题 )分解 因 式 x2 - 2x - 2y2 + 4y - xy = .分 析 此 题 没 有 公 因 式 ,而 且 超 过 了 三 项 ,所 以 应考 虑 分 组 分 解 法 . 像 这 种 五 项 的 ,
5、一 般 按 照 “ 三 、 二 ” 项 分组 即 可 ,如 果 不 成 ,再 考 虑 其 它 分 组 方 法 . 注 意 分 组 后 一定 要 考 虑 下 一 步 能 够 再 分 ,直 至 将 多 项 式 分 解 成 几 个 整式 的 乘 积 为 止 .解 x2 - 2x - 2y2 +4y - xy = ( x2 - xy - 2y2 ) - (2x - 4y)= ( x - 2y) ( x + y) - 2 ( x - 2y) = ( x - 2y) ( x + y - 2)例 3 (希 望 杯 第 九 届 )把 代 数 式 ( x + y - 2xy) ( x +y - 2) + ( x
6、y - 1) 2分 解 成 因 式 的 乘 积 ,应 当 是 .分 析 粗 看 这 个 多 项 式 ,采 用 哪 种 方 法 都 不 能 分 解因 式 . 怎 么 办 呢 ? 那 就 将 多 项 式 进 行 整 理 ,看 能 不 能 分解 . 对 于 这 类 题 一 般 都 如 此 处 理 .解 原 式= ( x + y) - 2xy ( x + y) - 2 + x2 y2 - 2xy + 1= ( x + y) 2 - 2 ( x + y) - 2xy ( x + y) + 4xy + x2 y2- 2xy + 1= ( x + y) 2 - 2 ( 1 + xy) ( x + y) +
7、( xy + 1) 2= ( x + y - xy - 1) 2= ( x - xy) - ( 1 - y) 2= ( x - 1) 2 ( y - 1) 2.2 因 式 分 解 的 运 用2. 1 利 用 因 式 分 解 判 断 三 角 形 、 四 边 形 的 形 状例 4 ( 2007年 四 川 初 中 联 )已 知 等 腰 ABC的 三边 长 a, b, c均 为 整 数 ,且 满 足 a + bc + b + ca = 24,则 这 样的 三 角 形 共 有 个 .分 析 等 腰 三 角 形 的 个 数 ,实 际 上 就 是 三 边 长 可 取的 范 围 . 将 已 知 进 行 因 式
8、 分 解 结 合 整 数 的 性 质 可 探 讨 出三 角 形 的 个 数 .解 因 为 a + bc + b + ca = 24,所 以 ( a + b) ( c + 1) =24. 因 为 a, b, c均 为 整 数 ,所 以 有( 1) a + b = 12, c + 1 = 2;( 2) a + b = 4, c + 1 = 6;( 3) a + b = 6, c + 1 = 4;( 4) a + b = 8, c + 1 = 3;( 5) a + b = 24, c + 1 = 1.分 别 解 得 : ( 1) a = 6, b = 6, c = 1; ( 2) a = 2, b
9、= 2, c =82 (2010年 第 1期 初 中 版 ) 解 题 研 究 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/2; ( 3) a = 3, b = 3, c = 3, (4) a = 4, b = 4, c = 2; ( 5) a = 12,b = 12, c = 0 (舍 去 )共 有 4组 . 所 以 填 4.例 5 ( 2004年 河 北 省 初 中 数 学 竞 赛 预 赛 )已 知 四边 形 的 四 条 边 的 长 分 别 是 m , n,
10、p, q,且 满 足 m 2 + n2 + p2+ q2 = 2m n + 2pq,则 四 边 形 是A. 平 行 四 边 形B. 对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形C. 平 行 四 边 形 或 对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形D. 对 角 线 相 等 的 四 边 形分 析 要 判 断 四 边 形 的 形 状 ,题 目 只 给 出 了 四 条 边间 的 关 系 ,因 此 想 办 法 从 给 出 的 四 条 边 入 手 判 断 .解 因 为 m 2 + n2 + p2 + q2 = 2m n + 2pq,所 以 移 项 分组 分 解 因 式 得 , (m - n) 2 + (
11、p - q) 2 = 0,由 此 得 到 , m = n且 p = q,所 以 当 , m , n, p, q互 为 一 组 对 边 时 ,四 边 形 是 平行 四 边 形 ,当 m , n, p, q互 为 一 组 邻 边 时 ,由 等 腰 三 角 形性 质 可 得 四 边 形 为 对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 . 故 选 C.2. 2 利 用 因 式 分 解 进 行 计 算例 6 (希 望 杯 第 六 届 )计 算 : 1995 19941994 +1996 19951995 - 1994 19951995 - 1995 19961996 =.分 析 此 题 看 似 很 复
12、杂 ,但 仔 细 观 察 结 合 整 数 的 表示 方 法 ,利 用 因 式 分 解 很 容 易 求 解 .解 1995 19941994 + 1996 19951995 - 1994 19951995 - 1995 1961996= 1995 1994 10001 + 1996 1995 10001 - 1994 1995 10001 - 1995 1996 10001 = 0.2. 3利 用 因 式 分 解 中 的 公 式 及 变 形 计 算 求 值 等例 7 ( 2006年 四 川 初 中 数 学 竞 赛 )若 a + b = 10,a3 + b3 = 100,则 a2 + b2 =A.
13、 20 B. 30 C. 40 D. 50分 析 此 题 要 求 a2 + b2 的 值 ,根 据 已 知 求 a, b的 值 很困 难 .所 以 利 用 立 方 和 公 式 进 行 变 形 可 求 出 a2 + b2 的 值 .解 因 为 a + b = 10, a3 + b3 = 100,所 以 a3 + b3 = ( a + b) ( a2 - ab + b2 )= ( a + b) ( a + b) 2 - 3ab = 100,即 ab = 30.a2 + b2 = ( a + b) 2 - 2ab = 102 - 2 30 = 40.所 以 选 C.例 8 (第 19届 “ 希 望
14、杯 ” )已 知 a是 方 程 x3 + 3x - 1= 0的 一 个 实 数 根 ,则 直 线 y = ax + 1 - a不 经 过A. 第 一 象 限 B. 第 二 象 限C. 第 三 象 限 D. 第 四 象 限分 析 要 判 断 直 线 不 经 过 哪 一 个 象 限 ,只 需 判 断 出一 次 函 数 中 的 k, b的 正 负 即 可 ,此 题 中 只 需 判 断 出 a与1 - a的 正 负 即 可 . 因 此 要 利 用 a是 方 程 x3 + 3x - 1 = 0的 一 个 实 数 根 这 一 条 件 ,代 入 根 据 因 式 分 解 变 形 就 可 判断 出 a的 正 负
15、 .解 因 为 a是 方 程 x3 + 3x - 1 = 0的 一 个 实 数 根 ,所以 a3 + 3a - 1 = 0,即 a ( a2 + 3) = 1.因 为 ( a2 + 3)大 于 或 等 于 3,所 以 a是 小 于 或 等 于 13的 正 数 . 所 以 a 0, 1 - a 0. 所 以 直 线 y = ax + 1 - a不经 过 第 四 象 限 . 故 选 D.例 9 (2009年 四 川 省 初 中 数 学 联 赛 ) 已 知 a, b, c满 足 2a - 4 + b + 2 + a - 3 b2 + a2 + c2 = 2 + 2ac,则 a - b + c的 值
16、为 分 析 此 题 已 知 左 边 为 含 非 负 数 性 质 的 形 式 ,因 此想 到 将 右 边 的 项 移 到 左 边 进 行 变 形 . 求 出 a, b, c的 值 .解 因 为 2a - 4 + b + 2 + a - 3 b2 + a2 + c2= 2 + 2ac,所 以 ( 2a - 4 - 2 ) + b + 2 + ( a - 3) b2 +( a - c) 2 = 0.可 得a - c = 0,2a - 4 - 2 = 0,b + 2 = 0,( a - 3) b2 = 0,解 得a = 3或 1 (舍 去 ) ,b = - 2或 0 (舍 去 ) ,c = a = 3或 1 (舍 去 ) .所 以 a - b + c值 为 8.(收 稿 日 期 : 20090907)92 解 题 研 究 (2010年 第 1期 初 中 版 )
