1、解三角形测试题一、选择题：1(2014沈阳二中期中 )ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，asinBcos Cc sinBcosA b，且 ab，则B( )12A B C D6 3 23 56答案 A解析 因为 asinBcosC csinBcosA b，12所以 sinAsinBcosCsinC sinBcosA sinB，12即 sin(AC) ，ab，所以 AC ，B ，故选 A12 56 62(文 )(2013呼和浩特第一次统考 )在ABC 中，如果 sinA sinC，B 30 ，3角 B 所对的边长 b2，则ABC 的面积为( )A4 B1 C D23答案 C
2、解析 据正弦定理将角化边得 a c，再由余弦定理得 c2( c)3 322 c2cos304，解得 c2，故 SABC 22 sin30 .312 3 33(文 )(2013合肥二检) ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若0，于是有 cosBb 得 AB，B30.故 C 90，由勾股定理得 c2，选 B解法 2：由余弦定理知，3c 212c cos ，3即 c2c20，c2 或1(舍去)5(2014新课标全国卷 )钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB1，BC ，则12 2AC( )A5 B. 5C2 D1解析 由题意知 SABC ABBCsinB，12即 1 sinB，解
3、得 sinB .12 12 2 22B45 或 B135.当 B45时，AC 2AB 2BC 22ABBCcos B1 2( )221 1.2 222此时 AC2AB 2BC 2，ABC 为直角三角形，不符合题意；当 B135时，AC 2AB 2BC 22ABBCcos B1 2( )2221 5，解得 AC .符合题意故选 B.2 ( 22) 5答案 B6ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知b2，B ，C ，则 ABC 的面积为( )6 4A2 2 B. 13 3C2 2 D. 13 3解析 A(BC) ，(6 4) 712由正弦定理得 ，asinA bsinB则 a
4、 ，bsinAsinB2sin712sin6 6 2S ABC absinC 2( ) 1.12 12 6 2 22 3答案：B7在三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且abc，a 2 b2c 2，则角 A 的取值范围是( )A. B.(2，) (4，2)C. D.(3，2) (0，2)解析 因为 a2b 2c 2，所以 cosA 0，所以A 为锐角，又因b2 c2 a22bc为 abc，所以 A 为最大角，所以角 A 的取值范围是 .(3，2)答案 C8(文 )(2013东北三省四市二联 )若满足条件 AB ，C 的三角形 ABC 有33两个，则边长 BC 的取值范
5、围是( )A(1， ) B( ， )2 2 3C( ，2) D( ，2)3 2答案 C解析 解法一：若满足条件的三角形有两个，则 sinCsinA 1，又因为32 2，故 BC2sin A，BCsinA ABsinC所以 BC2，故选 C3解法二：由条件知，BCsin BC， BC2.3 3 39(2014长春市调研 )ABC 各角的对应边分别为 a，b，c，满足 1，则角 A 的取值范围是( )ba c ca bA(0， B(0， C ，) D ，)3 6 3 6答案 A解析 由 1 得：b(ab)c(ac ) (ac)(ab)，化简得：ba c ca bb2c 2a 2 bc ，同除以 2
6、bc 得， ，即 cosA ，因为 0A，所以b2 c2 a22bc 12 120A ，故选 A310在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且满足csinA acosC，则 sinAsinB 的最大值是( )3A1 B. 2C. D33解析 由 csinA acosC，3所以 sinCsinA sinAcosC，即 sinC cosC，3 3所以 tanC ，C ，A B，33 23所以 sinAsinBsin sin B(23 B) sin ，3 (B 6)0B ， B ，当 B ，23 6 656 6 2即 B 时，sinAsinB 的最大值为 .故选 C.3 3答案
7、 C二、填空题11(文 )(2014河南名校联考) 若ABC 的内角 A，B ，C 所对的边 a，b，c 满足(a b)2c 24，且 C 60，则 ab 的值为_答案 43解析 (ab) 2c 24，a 2b 2c 242ab2abcos60 ，ab .4312(文 )在 ABC 中，C 60，a、b、c 分别为 A、B 、C 的对边，则 ab c_.bc a答案 1解析 C 60，a 2b 2c 2ab，(a 2 ac)(b 2bc)(bc )(ac)， 1.ab c ba c13.(理)(2014吉林九校联合体联考) 在ABC 中，C60 ，AB ，AB 边上3的高为 ，则 ACBC_.
8、43答案 11解析 由条件 ACBCsin60，12 3 43 12ACBC ，83由余弦定理知 AC2BC 232ACBCcos60，AC 2BC 23ACBC，(ACBC) 2AC 2BC 22ACBC33ACBC11，ACBC .1114设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，若bc2a,3sinA5sinB，则角 C_.解析 3sinA 5sin B，3a5b.又 bc2a， 由可得，a b，c b，53 73cosC b2 a2 c22abb2 (53b)2 (73b)2253b2 .12C .23答案 23三、解答题15 (2014安徽理)设ABC 的内角 A、
9、B、C 所对边的长分别是 a、b、c 且b3，c1，A 2B (1)求 a 的值；(2)求 sin(A )的值4解析 (1)因为 A2B，所以 sinAsin2B2sinBcosB，由正、余弦定理得 a2b ，a2 c2 b22ac因为 b3，c1，所以 a212，a2 .3(2)由余弦定理得 cosA ，b2 c2 a22bc 9 1 126 13由于 0A，所以 sinA ，1 cos2A1 19 223故 sin(A ) sinAcos cosAsin4 4 4 ( ) .223 22 13 22 4 2616.(理)(2014浙江理)在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a
10、，b，c.已知 ab，c ，cos 2A cos2B sinAcosA sinBcosB3 3 3(1)求角 C 的大小；(2)若 sinA ，求ABC 的面积45解析 (1)由已知 cos2Acos 2B sinAcosA sinBcosB 得3 3(1cos2A) (1cos2 B) sin2A sin2B，12 12 32 32 cos2A sin2A cos2B sin2B，12 32 12 32即 sin( 2A)sin( 2B)，6 6 2A 2B 或 2A 2B，6 6 6 6即 AB 或 AB ，23ab，AB ，C .23 3(2)由(1)知 sinC ，cosC ，32 1
11、2sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC33 410由正弦定理得： ，asinA csinC又c ，sinA .a .345 85S ABC acsinB .12 18 832517.如图，甲船在 A 处观察到乙船，在它的北偏东 60的方向，两船相距 10 海里，乙船正向北行驶若乙船速度不变，甲船是乙船速度的 倍，则甲船应朝什么方向3航行才能遇上乙船？此时甲船行驶了多少海里？解析 设到 C 点甲船遇上乙船，则 AC BC，B120 ，3由正弦定理，知 ，BCsinCAB ACsinB即 ，sinCAB .又CAB 为锐角，1sinCAB 3sin120 12CAB30.又 C
12、603 030，BCAB10，又 AC2AB 2BC 22AB BCcos120，AC10 (海里)，3因此甲船应取北 偏东 30方向航行才能遇上乙船，遇上乙船时甲船行驶了 10海里318已知 a(2cos x2 sinx,1)，b(y，cosx )，且 ab.3(1)将 y 表示成 x 的函数 f(x)，并求 f(x)的最小正周期；(2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 f(B)3， ，且 ac3 ，求边长 b.BA BC 92 3解：(1)由 a b 得 2cos2x2 sinxcosxy0，3即 y2cos 2x 2 sinxcosxcos2x sin2x12sin(2x )1，所以 f(x)3 362sin(2x )1，6又 T ，2 22所以函数 f(x)的最小正周期为 .(2)由 f(B)3 得 2sin(2B )13，解得 B .6 6又由 知 accosB ，所以 ac3 .BA BC 92 92 3b2a 2c 2 2accosB(ac) 22ac 2accosB(3 )223 23 3 3 33，所以 b .32 3
