1、热传导方程的模型一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热能就要向温度较低的点处流动，称为热传导。由于热能的传导过程总是表现为温度随时间和点的位置的变化，故问题归结为求物体内温度的分布。在三维直角坐标系下，假设在时刻 点t的温度为 ，考虑一个区域的),(zyxM),(tzyxu温度，为此，在物体中任取一闭曲面 ，S它所包围的区域记作 （如图） ， 为曲面Vn的法向（从 内指向 外） 。S由热传学中的 Fourier 实验定律可知：物体在无穷小时间段 内流过一个无穷小dt面积 的热量 与时间段 、曲面面积 ，dSQt dS以及物体温度 沿法线方向的方向导数u三者成正比 ,
2、即nudStnukdQdStugran)(tdk其中 称为物体的热传导系数(),(zyxk)，当物体均匀且各向同性时， 为常0 k数。式中负号出现是由于热量的流向与温度梯度的正向相反。从时刻 到时刻 ，通过曲面 流入区1t2t S域 的全部热量为V21ttSdtnukQ21ttSdtSugrak利 用 奥 高 公 式 dxyztzkykxuktt 21 )()()(流入的热量使 内温度发生了变化，V在时间间隔 内区域 内各点温度,21tV变化到 ，则在时间间隔),(1tzyxu ),(2tzyxu内 内温度升高所需的热量为：21tVdxyztzyxutzyxucQ ),(),( 1221ttdtz其中 为物体的比热， 为物体的密度，对c均匀且各向同性的物体来说，它们都是常数。由于热量守恒，故 ，即 。21Q021Q交换积分次序,得0)()()(21 dxyztzukyukxuktuct由于时间间隔 及区域 是任意取的，,21t并且被积函数是连续的，得到 )()()( zukyukxukctu 如果物体是均匀的,即 为常数，得c,到方程： )(222zuyxuatu其中 。该方程称为三维的热传导方cka2程。
