1、31第十章 重积分练习结论 1：如果积分区域 关于 对称， 则Dy 0,),(1 xDyxDD yffdfdxf1 ),(),(),(20),( 时当 时当结论 2：如果积分区域 关于 轴对称， 则x 0,1 DxyDD yffdyf xdyxf1 ),(),(),(20),( 时当 时当结论 3：如果积分区域 关于坐标原点 对称，则ODD yxffdyxfdyxf1 ),(),(),(20),( 时当 时当其中 0,)(1 结论 4：如果积分区域 关于直线 对称，则=yxDDdxyfdf ),(),(练习 11.求 ，其中dxyID2 20,x1:2.证明 （ 连续）xabab dyfdyf
2、 )()( f3. 设 在区间 上连续，且 ，试证明)(xf,ba0)(xf baba adxfxf 2)()1)(324.计算 ，其中 由 ， ， 围成。Ddxyyfx)(12D3xy1x5.计算 ， 是由 平面上曲线 绕 轴旋转所得平面 vdvyxI)(2yOzzy2， 所围区域。z86. 设函数 连续， ，其中)(xfdvyxfztFv)()(22，试求 和HtyzV0,2（ tF20)(limtt7. 求曲面 在点 的切平面与曲面 所围立体的体积 21yxz)3,1(0M2yxzV8.设半径为 的球面 的球心在定球面 上，问当 取何值 R)0(22azyxR时， 在定球面内部的那部分
3、的面积最大？133练习 21 计算 ，其中区域 是由抛物线 及直线 所围成的区域 DxydD1xyxy8272 计算 ，其中 是由 所确定的区域 Dyxde1yx e13 计算 ，其中 为正方形区域： Ddxy)sin(Dyx0, )2(4 更换积分次序 21),(xdyf0sin2),(xdyfd5计算由平面 及 所围成的立体的体积 0,6yxzyx 42yx 364346. 球体 与 的公共部分为一立体，求其体积 22+xyzRRzyx223157. 计算三重积分 ，其中 为由圆锥面的 及平面 所围成zdxy 2yxz1z区域 48. 分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分 ，其中
4、 是由球面zdvxI2及圆锥面 所围成（含 轴部分） 22zyx 2yxz 129. 求球面 含在圆柱面 内部的那部分面积（ ） 22azyxaxy2 0a)(35重积分练习一参考答案1.求 ，其中dxyID2 2y0,1x:解： 如图，曲线 把区域 分为 和 ，其中 ， ；2D121xD1： 2xy0yx,1:2 dxddxyI 21DD2D 102 153xyy2.证明 （ 连续）xabab dfdf )()( f证： 左端= ， ，作出积分域交换积分顺序，xabyfbxaDbyaxD左端= 右端，证毕！xadyf)(byadxf)(badyf)(注： 本题还可这样证明：令 ，证明taxt
5、affF)()()( 0)()(tFt3.设 在区间 上连续，且 ，试证明xf,b0xf baba adxfxf 2)(1证： 设平面区域 ， 关于直线 对称,),(ybayDDyaababa dfxfdxff )(1)()(1)222)( )(211)()(abdxy dxyfdxyffyfxyffDDDD4.计算 ，其中 由 ， ， 围成。f12 3xy1x36解： 作曲线 ，则积分区域被分为 和 ， 关于 轴对称， 关于 轴对称。3xy1D21x2Dy由于被积函数是 的奇函数，故有 ，由于 的0)(2 Ddyxyf )(2xf奇函数，故有 1 )(2Ddxyyfx 01401 52)(2
6、31 dxdyxdD5.计算 ， 是由 平面上曲线 绕 轴旋转所得平面 vvI2Ozz， 所围区域。2z8解： 旋转面方程为 ，积分区域zyx282,),(2zyxzVv DzdxydvI8222)()( 36828203rdzz注： 本题若采用先一后二法，将较麻烦!6.设函数 连续， ，其中)(xfdvyxfztFv)()(2，试求 和HtyzV0,22（ tF20)(limtt解： 在 平面上投影 为圆 ，于是xOD2tyxvdvyxfztF)()(2ttHDdftdzf022320322)(1当 时有： 0t tHftdtF当 时有： )(232且 时，有 ，所以t tt0lim)( 2
7、3tftt37从而 ttfHtFtt 2)(3lim)(li 2020 )0(3)(li0fft 7. 求曲面 在点 的切平面与曲面 所围立体的体积 21yxz)3,1(0M2yxzV解： 不难想象，该立体的上、下底曲面一个是曲面 的一块，一个是切平面的2一块，首先确定立体在 平面上投影区域xOyyxD,由于切平面的法向量是 ，切平面方程：121,0Myxzn，即)3(12)(yxz yx从而切平面与曲面 的交线是 ，消去 ，可得投影2yxz12zz，注意到在 上， ，所以1)()1(:22xDy D2yxyxD ddyxyV 22 )()(2012)(rd8. 设半径为 的球面 的球心在定球面 上，问当 取何值 R)0(22azyxR时， 在定球面内部的那部分 的面积最大？1解： 可设 的方程为 ，从而两球面的交线是22)Razyx（，于是 的方程为aRzyx24222 122yxRaz在 在投影为1xy2224:aRyxD的面积为 1 DDyx dxyRdzS 2221)(aRrdRdaR 3220422 38，得驻点 ，234)(RaS01aR342，S64)( 0)(S当 时， 的面积最大。31
