随机变量及分布列习题.doc

1、1随机变量及分布列1 已知随机变量 ，若 ，则 的值为（ ）20,XN(2)PXa(2)PXA. B. C. D. 2a1a2 已知随机变量 ，若 ，则 的值为（ ）(3,2) (1)= (11)=0.57 A【解析】 次独立重复实验，恰好发生一次的概率为 .3 1313(113)2=49点睛：本题主要考查独立重复试验和二项分布的知识.独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的二项分布在 次独立重复试验中，设事件 发生的次数为 ，在每次试验中事件 发 生的概率

2、为 ，那么在 次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率为 ( )， (=)=(1) =0,1,2,此时称随机变量 服从二项分布，记作 ，并称 为成功概率 (,) 8 C【解析】事件 “取到的两个数之和为偶数” 所包含的基本事件有：(1,3)、 (1,5)、 (1,7)、 (3,5)、 (3,7)、 (5,7)、 (2,4)、 (2,6)、 (4,6)()=927=37事件 “取到的两个数均为奇数”所包含的基本事件有 (1,3)、 (1,5)、 (1,7)、 (3,5)、 (3,7)、 (5,7)()=627=27，故选 C.(|)=()()=239 （ ）5,3；（）详见解析 .【解析】试题

3、分析：（）利用分层抽样的特点（等比例抽样）进行求解；（）写出随机变量的所有可能取值，7利用排列组合知识求出每个变量所对应的概率，列表得到分布列，进而求出期望值.试题解析：（）抽取女生数 人，男生数 258=40158340（II） 的所有可能取值为 1， ， ， 26580AP162358CAP26385AP的分布列为012p25630566520331564E10 （ 1） ;（2）所以随机变量 的分布列为5 6 7p0.3 0.4 0.3 （万元）.50.36.47036E【解析】 【试题分析】 （1）依据题设运用二项分布公式求解；（2）借助题设求出随机变量的分布列，再依据数学期望公式分析

4、求解：（1）由题意， ， ，.a102402b则表中分 6期付款购车的顾客频率 ，5p所以 .321PApC（2）按分层抽样的方式抽取的 5人中，有 1位分 3期付款，有 3位分 6期或 9期付款，有 1位分 12期付款.随机变量 可能取的值是 5，6，7，则 ， ， ，13250PC13250CP415710PP所以随机变量 的分布列为5 6 7p0.3 0.4 0.38 （万元）即为所求.50.36.47036E11 （ 1） ；（2）见解析89【解析】试题分析：（1）记事件 “该公司在星期一至少有 辆车出车” ，利用独立重复试验的概率的乘法，转A2化求解即可；（2） 的可能取值为 ，求出

5、概率，得到分布列，然后求解期望即可.X0,1234,5试题解析：（1）记事件 “该公司在星期一至少有 2辆车出车” ，a则 ；32323111348729pAC（2） 的可能取值为 0，1，2，3，4，5X 的分布列为0 1 2 3 4 5P727219725716724721195640372EX12 （ ）的分布列为：0 1 2P51452838;5302148EX（） .【解析】试题分析:（）分层从 “无有明显拖延症”里抽 人无明显拖延症的问卷的份数为 ，随81024X机变量 X=0，1，2利用“ 超几何分布 ”即可得出分布列及其数学期望；（）根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可

6、得 的观测值 ，即可得出2Kk试题解析:（）女生中从“有明显拖延症”里抽 人， “无有明显拖延症”里抽83064人81024则随机变量 ，0,1X ， ， 368C54P21638C5PX12638CPX的分布列为：X0 1 29P51415283285302148EX（）由题设条件得 ，210530.964K由临界值表可知： ， 2.7.93.81P点晴：本题考查的是超几何分布和独立性检验问题.（）要注意区分是超几何分布还是二项分布，分层从 “无有明显拖延症”里抽 人无明显拖延症的问卷的份数为 =0，1，2利用“超几何分布”即可得出8104X分布列及其数学期望；（）根据“独立性检验的基本思想

7、的应用”计算公式可得 的观测值 ，即可得出Kk13 （ ） ，分布列见解析（ ）()=13875【解析】试题分析：（）先确定随机变量所有可能取值,再分别求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望,（）按 2016年时用过的题库分类讨论: 2016年期末考试时取到 0个新题库时,2017年期末考试时恰好到 1个新题库的概率 ; 2016年期末考试时取到 1个新题库时,2017 年期末考试C13C13C26时恰好到 1个新题库的概率 ; 2016年期末考试时取到 2个新题库时,2017 年期末考试时恰好到 1个新C12C14C26题库的概率 ;再根据 2016年期末考试时取到 个新题库

8、对应概率可得所求概率为C15C26 .15C13C13C26+35C12C14C26+15C15C26=3875试题解析：（） 的所有可能取值为 0，1，2， 设“2016 年期末考试时取到 个新题库（即 ） ”为事件 = (=0， 1， 2)又因为 6个题库中，其中 3个是新题库，3 个是旧题库，所以 ；(0)=(=0)=C23C26=15；(1)=(=1)=C13C13C26=35，(2)=(=2)=C23C26=15所以 的分布列为 0 1 2P15 35 15的数学期望为 ()=015+135+215=1（）设“从 6个题库中任意取出 2个题库，恰好取到一个新题库”为事件 ，10则“2

9、017 年时恰好取到一个新题库”就是事件 ，而事件 互斥，0+1+2 0， 1， 2所以 (0+1+2)=(0)+(1)+(2) =15C13C13C26+35C12C14C26+15C15C26=3875所以 2017年时恰好取到一个新题库的概率为 3875点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布

10、列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.14 （ 1） ；（2）详见解析 .=3【解析】试题分析：（1）运用古典概型的计算公式及对立事件的概率公式求解；（2）依据题设条件借助随机变量的分布列与数学期望公式进行计算求解：试题解析：解：（1）设印有“美丽绿城

11、行”的球有 个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件 ， 则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是 ，()=226由对立事件的概率： .()=1()=45即 ，解得 .()=226=15 =3（2）由已知，两种球各三个，故 可能取值分别为 1,2,3， ，(=1)=2326=15 (=2)=23262324+1313262224=15.(=3)=1(=1)(=2)=35则 的分布列为：所以 .=115+215+335=12515 （ ） ， 人；（）见解析.=0.06390【解析】试题分析：（I）根据频率分布直方图中矩形面积和为 ，求得 ，然后利用相应公式计算相应组中1 =0.06抽取

12、人数；（II）先确定各组人数，根据题意可得 的所有可能取值为 0，1，2，3，依次求出概率即可.试题解析：（）因为小矩形的面积等于频率.所以 ，求得 . (0.01+0.02+0.04+0.07)5=1 =0.06所以这 600名志愿者中，年龄在30,40人数为 （人）.600(0.07+0.06)5=390（）用分层抽取的方法从中抽取 10名志愿者，则年龄低于 35岁的人数有11（人） ，年龄不低于 35岁的人数有 （人）.100（ 0.01+0.04+0.07） 5=6 100（ 0.06+0.02） 5=4依题意， 的所有可能取值为 0，1，2，3，则 ,(=0)=34310=16,(=

13、1)=2426310=12.(=2)=2436310=310,(=3)=14310=130所以 X 的分布列为P 0 1 2 3X数学期望为 .()=016+112+2310+3130=6516 （ 1） ；（ 2）详见解析 .49【解析】试题分析：（1）依据题设条件运用分类计数原理求解；（2）求出随机变量的分布列，再运用随机变量的数学期望公式求解：试题解析：解：（1）设 表示事件“ 一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有 人” ， ； =0,1,2表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有 人” ， . =0,1,2依题意有 ， ， ， ，(1)=21212=12 (2)=1212

14、=14 (0)=2323=49 (1)=21323=49所求的概率为 .=(01)+(02)+(12)=49（2） 的可能值为 0,1,2,3，其分布列为 ，(3,49)数学期望 .=4317 （ I） ；（II） （i） ；（ii）分布列见解析，期望为 .50710 1【解析】试题分析：（1）借助频率分布直方图中的有效信息进行求解：（2）依据题设条件运用古典概型的计算公式及数学期望的求解公式进行求解：试题解析：解：（）落在区间 的频率是 ，80,90) (10.16)27=0.24所以人数 =120.24=50（）由（）知，参加决赛的选手共 6人，（i）设“甲不在第一位，乙不在最后一位”为事

15、件 ，则 ，()=55+14144466 =71012所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率为 710（ii）随机变量的可能取值为 0,1,2， ， ，(=0)=234466=15 (=1)=1213134466 =35 (=2)=234466=15随机变量 的分布列为： 0 1 2 15 35 15因为 ，()=015+135+215=1所以随机变量的数学期望为 118 （ 1）见解析;（2） X的分布列为：0 1 2P1436916216EX.【解析】试题分析：（1）根据比例确定人数，填入对应表格，再根据卡方公式计算 26.593.K，最后对照数据判断结论不成立， （2）先确定随机变量可能

16、取法 0，1，2，再分别计算对应概率（可利用对立事件概率求法求较复杂事件的概率） ，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）愿意 不愿意 总计男生 15 45 60女生 20 20 40总计 35 65 1002 22 1050456.5936.361nadbcKd，则不能认为在犯错误的概率不超过 1%的情况下愿意接受挑战与性别有关.（2）记男生甲第 i13次通过第一关为 1,2iA，第 i次通过第二关为 ,iB， X的可能取值为 0，1，2.24PA， 112121296XBPABPAB， 9346P， X的分布列为：0 1 2P1436916 13921046EX.19

17、 （ 1） ；（2）见解析.3100【解析】试题分析：（1）先分别求出甲班前 位选手的总分和乙班前 位选手的总分，由此利用列举法能求出乙5 5班总分超过甲班的概率（2 ） 分别求出甲、乙两班平均分和方差，由此能求出甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大 的可能取值为 ， ， ， ， ，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 0 1 2 3 4 ()试题解析：（1 ）甲班前 5 位选手的总分为 ，88+89+90+91+92=450乙班前 5 位选手的总分为 ，82+84+92+91+94=443若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为 ， ， 三种(9

18、0,98) (90,99) (91,99)所以，乙班总分超过甲班的概率为 =31010=3100（2 ） 甲班平均分为 ，甲 =88+89+90+91+92+906 =90乙班平均分为 ，乙 =82+84+92+91+94+976 =9014， 甲2=16(22+12+12+22)=53 2=16(82+62+22+12+42+72)=853两班的平均分相同，但甲班选手的方差小于乙班，所以甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大 的可能取值为 ， ， ， ， ， 0 1 2 3 4； ； ；(=0)=24222626=6225(=1)=121422+2414122626 =

19、56225(=2)=12141412+2222+24242626 =101225； (=3)=221412+1214242626 =56225(=4)=22242626=6225 的分布列为： 0 1 2 3 4 6225 56225 101225 56225 6225 . ()=06225+156225+2101225+356225+46225=220 （ 1） ；（2） .1625 369125【解析】试题分析（1）有放回取，可看作独立重复试验，即每次取出是红球概率一样，都为 ，再根据概率乘法45公式得连续取两次都是红球的概率；（2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表可得分布列，最

20、后根据期望公式求数学期望.试题解析：（1）连续取两次都是红球的概率 .=4545=1625（2） 的可能取值为 1,2,3,4， ，(=1)=15 (=2)=4515=425， .(=3)=(45)215=16125(=4)=(45)3=64125的概率分布列为 1 2 3 4 15 425 16125 64125.=115+2425+316125+464125=369125点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、

21、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布15的期望公式(E(X)np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.21 （ 1） ；（ 2） ；（3） .49 2081 32243【解析】试题分析：（1）根

22、据独立事件同时发生的概率公式求解；（2 ）前两局甲乙各胜一局，最后两局甲胜或最后两局乙胜分两种情况求概率和即可；（3）求出各种情况下甲获胜的概率，然后求和即可 .试题解析：（1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，概率为 ；=2323=49（2 ）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，其概率为 ；=12(23)(13)(23)2+(13)2)=2081（3 ）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四比赛两人也为平手，第五、第六局都为甲获胜，或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人也为平手，第五、第六局比赛为平手但

23、第一局是甲获胜.其概率为 .=12(23)(13)2(23)2+(23)(13)12(23)(13)2=32243考点：概率的综合应用.22 1620【解析】因为随机变量 ，且 ，所以 ， 2,XN1PXa2,3a，展开式只有 中含 的项与55223xaxx23x中含 的项的积合题意，展开式中 项的系数是 ，故答案为 .513x2 32356160C162023 0.6【解析】由题设可知 是对称轴，依据正太分布概型的对称性质可得 ，应填=1 (0120)=0.5(100110)=0.50.36=0.14120分以上的人数为 500.14=4（人）.故填 7.【答案】 (24.94,25.06)

24、【解析】正态总体 N(25,0.032)在区间(2520.03，2520.03)取值的概率在 95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值的范围为(24.94,25.06)考点：正态分布.261【解析】正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等另外，因为区间(3，1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的区间(3，1)和区间(3,5)关于直线 x1 对称，所以正态分布的数学期望是 1.考点：正态分布.270.49【解析】由分布列性质得： ，E（）0 1 x 1.1，13502p152310解得 x2，D（）（01.1） 2 （11.1） 2 （21.1） 2 0.49.考点：期望与方差的运算.1628 ；132【解析】E（X）0 1p2 p1，0 p ，0p ，E（X） ，D（X）12p2121232（p1） 2 p 2p（p1） 2 p 21p 1.54考点：期望与方差的运算.29 2【解析】取出次品的个数可能为 0、1、2， ， ，0321C6()P1203C()P92，则 = .2103C()P()E69考点：超几何分布的期望.