1、文华课堂 综合训练 趣味数学故事题（1）小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟，每敲响一下延时 3 秒，间隔 1 秒后再敲第二下。假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨 6 点，前后共经过了几秒钟？分析与解 从第一下钟声响起，到敲响第 6 下共有 5 个“延时”、 5 个“间隔”，共计（3+1）5=20 秒。当第 6 下敲响后，小明要判断是否清晨 6 点，他一定要等到“延时 3 秒”和“间隔 1 秒”都结束后而没有第 7 下敲响，才能判断出确是清晨 6 点。因此，答案应是：（31）6=24（秒）。2一筐苹果入冬前，妈妈买来了一筐苹果，清理时
2、，发现这筐苹果 2 个、2 个地数，余 1 个；3 个、3 个地数，余 2 个；4 个、4 个地数，余 3 个；5个、5 个地数，余 4 个；6 个、6 个地数，余 5 个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？分析与解 根据题目条件，可以知道，这筐苹果的个数加 1，就恰好是 2、3、4、5、6 的公倍数。而题目要求“至少有多少个”，所以，苹果的个数应该是 2、3、4、5、6 的最小公倍数减去 1。2，3，4，5，6=6060-1=59即这筐苹果至少有 59 个。怎样分？有 44 枚棋子，要分装在 1O 个小盒中，要求每个小盒中的棋子数互不相同，应该怎样分？分析与解 无法分。不要急于动手左图是一个正方
3、形，被分成 6 横行，6 纵列。在每个方格中，可任意填入 1、2、3 中的一个数字，但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各不相同，这可能吗？为什么？分析与解 不可能。这是因为每行、每列和两条对角线都是由 6 个方格组成的，那么数字之和最小是 16=6，数字之和最大是 36=18。要想使各行、各列及对角线上的数字之和各不相同，只能出现 6、7、8、9、17、18这 13 种数字和，但实际却需要 6（行）6（列）2（对角线）=14 种不同的数字和。由此可知，要达到每行、每列及两条对角线上的数字和各不相同是不可能的。数字小魔术新年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微笑着走到
4、讲台前说：“我给你们表演一个数字魔术吧！”说完，王老师拿出一叠纸条，发给每人一张，并神秘地说：“由于我教你们数学，所以你们脑子里的数也听我的话。不信，你们每人独立地在纸条上写上任意 4 个自然数（不重复写），我保证能从你们写的 4 个数中，找出两个数，它们的差能被 3 整除。”王老师的话音一落，同学们就活跃起来。有的同学还说：“我写的数最调皮，就不听王老师的话。”不一会儿，同学们都把数写好了，但是当同学们一个个念起自己写的 4 个数时，奇怪的事果真发生了。同学们写的数还真听王老师的话，竟没有一个同学写的数例外，都让王老师找出了差能被 3 整除的两个数。同学们，你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？
5、分析与解 其实，同学们写在纸条上的数字并不是听王老师的话，而是听数学规律的话。因为任意一个自然数被 3 除，余数只能有 3 种可能，即余 0、余 1、余 2。如果把自然数按被 3 除后的余数分类，只能分为 3 类，而王老师让同学们在纸条上写的却是 4 个数，那么必有两个数的余数相同。余数相同的两个数相减（以大减小）所得的差，当然能被 3 整除。王老师是根据数学基本性质设计小魔术的。所以，只要我们刻苦学习数学，掌握规律，也会在数学王国中创造出魔术般的奇迹。应该怎样称？有 9 个外观完全相同的小球，其中只有一个重量轻一点儿。现在要求你用一架天平去称，问你至少称几次，才能找出较轻的球？如果是 27
6、个球、81 个球中只有一个较轻的球，你知道至少称几次才能找出那个较轻的球吗？这里有规律吗？分析与解 9 个球，至少称两次就可以找到那个较轻的球。第一次：天平两侧各放 3 个球。如果天平平衡，说明较轻的球在下面；如果不平衡，那么抬起一侧的 3 个球中必有轻球。第二次：从含有轻球的 3 个球中任选两个，分别放在天平两侧。如果平衡，下面的球是轻的；如果不平衡，抬起一侧的球是轻的。如果是 27 个球，至少需要称 3 次。第一次：天平两侧各放 9 个球。如果平衡，说明轻球在下面 9 个中；如果不平衡，抬起一侧的 9 个球中含有轻球。第二次、第三次与前面所说 9 个球的称法相同。在这种用天平确定轻球（或重
7、球）的智力题中，球的总个数与至少称的次数之间的关系是：若 3n球的总个数3n+1，则（n+1）即为至少称的次数。例如，设有 25 个球，因为 322533，所以至少称 3 次；设有 81 个球，因为 3381=34，所以至少称 4 次。最少拿几次？ 晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子前，爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说：“小红，爸爸给你出一道跳棋子的题，看你会不会做？”小红毫不犹豫地说：“行，您出吧？”“好，你听着：这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各 15 个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿 1 个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有 3个是同一颜色的？”听完题后，小红
8、陷入了沉思。同学们，你们会做这道题吗？分析与解 至少拿 7 次，才能保证其中有 3 个棋子同一颜色。我们可以这样想：按最坏的情况，小红每次拿出的棋子颜色都不一样，但从第 4 次开始，将有 2 个棋子是同一颜色。到第 6 次，三种颜色的棋子各有 2 个。当第 7 次取出棋子时，不管是什么颜色，先取出的 6个棋子中必有 2 个与它同色，即出现 3 个棋子同一颜色的现象。同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗？如果要求有 4个棋子同一颜色，至少要拿几次？如果要求 5 个棋子的颜色相同呢？算算这笔账小明哥哥的个体商店里，同时放着甲、乙两种收录机，售价都是990 元。但是甲种收录机是紧俏商品，赚了
9、 10；乙种收录机是滞销品，赔了 10。假如今天两种收录机各售出一台，小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了？若赚了，则赚了多少？若赔了，则赔了多少？你会算这笔账吗？分析与解 赚了 10后是 990 元，原价是：990（110）=900（元）赔了 10%后是 990 元，原价是：990（1-10%）=1100（元）那么两台收录机，原来进价为 9001100=2000 元，现在卖了9902=1980 元。因此，这个商店卖出甲、乙两种收录机各一台，赔了 2000-1980=20元。谁得优秀？六年级同学毕业前，凡报考重点中学的同学，都要参加体育加试。加试后，甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩：甲说：“如
10、果我得优，那么乙也得优。”乙说：“如果我得优，那么丙也得优。”丙说：“如果我得优，那么丁也得优。”以上三名同学说的都是真话，但这四人中得优的却只有两名。问这四人中谁得优秀？分析与解 我们可以这样想：如果甲得优秀，那么乙、丙、丁都得优秀，这与实际不符；如果乙得优秀，则丙、丁也得优秀，也与实际不符。因此，只能丙、丁得优秀，才符合实际情况。判断结果是：丙、丁得优秀。排名次学校举办排球比赛，进入决赛的是五（1）班、五（2）班、六（1）班、六（2）班的代表队，到底谁得第一，谁得第二，谁得第三，谁得第四呢？甲、乙、丙三人做如下的猜测：甲说：“五（1）班第一，五（2）班第二。”乙说：“六（1）班第二，六（2
11、）班第四。”丙说：“六（2）班第三，五（1）班第二。”比赛结束后，发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对，但他们都猜对了一半。你能根据上面情况排出 14 名的名次吗？分析：假设甲说的“五（1）班第一 ”是错的， “五（2 ）班第二 ”是对的；由此推向乙、丙，因为“五（2）班第二 ”是对的，则乙说的“ 六（1 ）班第二”就是错的，丙说的“五（1）班第二”也是错的，那么乙说的 “六（ 2）班第四”与丙说的“六（2 ）班第三都是对的，这显然矛盾。因此可以断定，甲说的“五（2 ）班第二”是错的，而甲说“五（1）班第一 ”是对的。进而我们用下表可推出正确结论来：甲说“五（1）班第一”是对的，丙说“五（1）班
12、第二”是错的；那么，丙说“六（2）班第三”是对的。由此又推出，乙说“六（2）班第四”是错的，当然乙说“六（1）班第二”是对的。前三名已有了，第四名只能是五（2）班了。要赛多少盘？六年级举行中国象棋比赛，共有 12 人报名参加比赛。根据比赛规则，每个人都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？分析与解 一共要赛 66 盘。要想得出正确答案，我们可以从简单的想起，看看有什么规律。假如 2 个人（A、B）参赛，那只赛 1 盘就可以了；假如 3 个人（A、B、C）参赛，那么 AB、AC、BC 要赛 3 盘；假如 4 个人参赛，要赛 6 盘，于是我们可以发现：2 人参赛，要赛 1 盘，即 1
13、；3 人参赛，要赛 3 盘，即 1+2；4 个参赛，要赛 6 盘，即 1+2+3；5 人参赛，要赛 10 盘，即 1+2+3+4；那么，12 人参赛就要赛 1+2+3+11=66 盘。我们还可以这样想：这 12 个人，每个人都要与另外 11 个人各赛 1 盘，共1112=132（盘），但计算这总盘数时把每人的参赛盘数都重复算了一次，（如 AB 赛一盘，BA 又算了一盘）,所以实际一共要赛1322=66（盘)。获第三名的得几分？A、B、C、D、E 五名学生参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘。规定胜者得 2 分，负者得 0 分。现在知道比赛结果是：A 和 B 并列第一名，C 是第三名
14、，D 和 E 并列第四名。那么 C 得几分？分析与解 获第三名的学生 C 得 4 分。因为每盘得分不是 2 分就是 0 分，所以每个人的得分一定是偶数，根据比赛规则，五个学生一共要赛 10 盘，每盘胜者得 2 分，共得了 20分。每名学生只赛 4 盘，最多得 8 分。我们知道，并列第一名的两个学生不能都得 8 分，因为他们两人之间比赛的负者最多只能得 6 分，由此可知，并列第一的两个学生每人最多各得 6 分。同样道理，并列第四的两个学生也不可能都得 0 分，因此他们两人最少各得 2 分。这样，我们可得出获第三名的学生 C 不可能得 6 分或 2 分，只能得 4 分。五个好朋友A、B、C、D、E
15、 五个学生是同班的好朋友，其中有四人做课代表工作，这四科是语文、数学、地理、历史。另一个人是中队长。请你根据下列条件，判断出这五位同学各做什么工作。（1）语文课代表不是 C，也不是 D；（2）历史课代表不是 D，也不是 A；（3）C 和 E 住在同一楼里，中队长和他们是邻居；（4）C 问数学课代表问题时，B 也在一旁听着；（5）A、C、地理课代表、语文课代表常在一起讨论问题；（6）D、E 常到数学课代表家去玩，而中队长去的次数不多。分析与解 A 是数学课代表，B 是中队长，C 是历史课代表，D 是地理课代表，E 是语文课代表。题中（1）、（2）是直接条件，而（3）（6）就不像（1）、（2）那样
16、将条件直接写明。只要我们把（3）（6）转换成直接条件，再把这些条件填入下表，就会得到正确的判断。条件（3）中，“C 和 E 住在同一楼里，中队长和他们是邻居”，这就是说，中队长不是 C，也不是 E。条件（4）就是说，数学课代表不是C 也不是 B。条件（5）就是说，地理课代表、语文课代表不是 A，也不是 C。条件（6）就是说，数学课代表、中队长不是 D 或 E。由上表纵着看到数学课代表是 A，画上“” ； A 就不可能是中队长了，在相应位置上画上“” ；那么中队长一定是 B，画上“” 。既然 B 是中队长，他就不是语文课代表了，在相应位置上画上“” 。再挨着看，C 是历史课代表，D 是地理课代表
17、。最后得出 E 是语文课代表。过队日六（1）中队共 43 名队员，他们到龙潭游乐园过中队日。中队长宣布，大家只能参加“激流勇进”、“观览车”和“单轨火车”三种游乐活动。活动结束时，中队长说：“根据今天参加游乐活动的情况我编了一道数学题：“全中队至少有多少人参加的活动完全相同？”你能替六（1）中队的同学找到正确答案吗？分析与解 全中队至少有 7 人参加的活动相同。这是一道根据实际活动编得很有趣的数学题。解答这道题首先要弄明白同学们参加游乐活动共有几种可能情况。我们把各种情况分别列出如下：（1）只参加“激流勇进”；（2）只参加“观览车”；（3）只参加“单轨火车”；（4）既参加“激流勇进”，又参加“
18、观览车”；（5）既参加“激流勇进”，又参加“单轨火车”；（6）既参加“观览车”，又参加“单轨火车”；（7）三种活动都参加。由于可能的情况共有 7 种，去游乐场的有 43 名少先队员， 437=61（人），即如果每种可能的情况有 6 名队员参加的话，那么还余 1 名队员，不管这 1 名队员参加活动属于哪种“情况”，则至少有 7 人参加的活动相同。放硬币游戏参加人：2 人，也可以有裁判 1 人。用具：一张纸（方形、圆形都可以），1 分硬币若干枚。游戏规则：2 人轮流把硬币放在纸上，每人每次只放一枚；放在桌上的硬币不能重叠；最后在纸上无处可放者为负。同学们，要想在这个小游戏中取胜，只需应用几何中一个
19、很简单的原理。你知道怎样放才能保证在游戏中稳操胜券吗?分析与解 这个游戏对参加的两个人来说是不平等的，如果知道了游戏的奥妙，那么先放硬币的一方会稳操胜券。游戏的奥妙是利用平面几何中的中心对称原理。先放者，首先抢占“对称中心”，即纸的中心。然后，不论对方把硬币放在什么位置，你每次都根据中心对称原理，把硬币放到对方硬币的对称位置上。这样，只要对方有地方放，你就必定有放的地方，直到你占满最后一处空白，逼得对方无处可放，你就获胜了。一本书的页数我们知道印刷厂的排版工人在排版时，一个数字要用一个铅字。例如 15，就要用 2 个铅字；158，就要用 3 个铅字。现在知道有一本书在排版时，光是排出所有的页数
20、就用了 6869 个铅字，你知道这本书共有多少页吗？（封面、封底、扉页不算在内）分析与解 仔细分析一下，页数可分为一位数、两位数、三位数、。一位数有 9 个，使用 19=9 个铅字；两位数有（99-9）个，使用 290=180 个铅字；三位数有（999-90-9）个，使用 3900=2700 个铅字；依此类推。我们再判断一下这本书的页数用到了几位数。因为从 1 到 999 共需用 9290+3900=2889 个铅字，从 1 到 9999 共需用9290390049000=38889 个铅字，而 2889686938889，所以这本书的页数用到四位数。排满三位数的页数共用了 2889 个铅字，排四位数使用的铅字应有6869-2889=3980（个），那么四位数的页数共有 39804=995（页）。因此这本书共有 999+995=1994（页）。
