1、教学目标 1、 相似三角形的判定定理2、利用相似三角形的性质及判定解题重点、难点 1、相似三角形的判定定理2、平行线分线段成比例定理考点及考试要求 1、相似三角形的性质及判定2、利用相似三角形的性质及判定解题教 学 内 容第一课时 相似三角形知识梳理课前检测若 AB=1m，CD=25cm，则 ABCD= ；若线段 AB=m, CD=n，则 ABCD= .若 MNPQ=47，则 PQMN= ， MN= PQ，PQ= MN。3.已知 4x5y=0，则（xy）（xy）的值为 4.若 xyz=275，且 x2y3z=6，则 x= ，y= ，z= ；5.已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点,且 ACB
2、C,则 ACAB= .知识梳理1 预备定理一平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）二如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。三如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。四如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似五（定义）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形六两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。七两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。八由角度
3、比转化为线段比：h1/h2=Sabc九（易失误）比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：12 一定相似1.两个全等的三角形全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为 1：12.任意一个顶角或底角相等的两个等腰三角形两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。3.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是 60 度，且边边相等，所以相似)4.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形3 判定定理基本判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成
4、比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。直角三角形判定(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。性质定理(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线
5、的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。4 定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。5 性质1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。2.相似三角
6、形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。3.相似三角形周长的比等于相似比。4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方6.若 a/b =b/c，即 b=ac，b 叫做 a,c 的比例中项7.c/d=a/b 等同于 ad=bc.8.不必是在同一平面内的三角形里（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例.（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.（3）相似三角形周长的比等于相似比6 全等三角形（1）.1.相似比为 1：1 2.对应角
7、相等 3.对应边相等 4.对应高相等 5.对应中线相等 6.对应角平分线相等 7.周长相等 8.面积相等 9 完全重合(等角对等边）（2）.1.三边对应相等的两个三角形全等(简称 SSS 或“边边边”)，这一条是三角形具有稳定性的原因。2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称 SAS 或“边角边”)。3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称 ASA 或“角边角”)。4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简称 AAS 或“角角边”)。5直角三角形全等条件有：斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称 HL 或“斜边，直角边”)。SSS，SAS，ASA，AAS
8、，HL 均可作为判定三角形全等的定理。（3）全等与相似的比较：三角形全等 三角形相似两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS)直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL)相似判定的预备定理两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例第二课时 相似三角形典型例题典型例题一一类型一、相似三角形的概念例 1判断对错： (1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？(5)两个全等三
9、角形一定相似吗？为什么？思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.【变式 1】两个相似比为 1 的相似三角形全等吗？【变式 2】下列能够相似的一组三角形为( )A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形类型二、相似三角形的判定例 2如图所示，已知 中，E 为 AB 延长线上的一点，AB=3BE，DE 与 BC 相交于 F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 思路点拨：由 可知 ABCD，ADBC，再根据平行线找相似三角形.解： 四边形 ABCD 是平行四
10、边形， ABCD，ADBC， BEFCDF，BEFAED. BEFCDFAED. 当BEFCDF 时，相似比 ；当BEFAED 时，相似比 ；当CDFAED 时，相似比 .例 3已知在 RtABC 中，C=90，AB=10，BC=6.在 RtEDF 中，F=90，DF=3，EF=4，则ABC 和EDF 相似吗？为什么？ 思路点拨：已知ABC 和EDF 都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边 AC 和 DE，再看三边是否对应成比例.解：在 RtABC 中，AB=10，BC=6，C=90.由勾股定理得 .在 RtDEF 中，DF=3，EF=4，F=90.由勾股定理，得 .在
11、ABC 和EDF 中， ， ， ， ， ABCEDF(三边对应成比例，两三角形相似).例 4如图所示，点 D 在ABC 的边 AB 上，满足怎样的条件时，ACD 与ABC 相似？试分别加以列举. 思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，ACD 与ABC 已有公共角A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时，ACDABC.条件一：1=B.条件二：2=ACB.条件三： ，即 .【变式 1】已知：如图正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP=3PC，Q 是 CD 的中点求证：ADQQCP思路点拨：因ADQ 与QCP
12、是直角三角形，虽有相等的直角，但不知 AQ 与 PQ 是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定而四边形 ABCD 是正方形，Q 是 CD 中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定具体证明过程如下：【变式 2】已知：如图，AD 是ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点求证：DFEABC思路点拨：EF 为ABC 的中位线，EF= BC，又 DE 和 DF 都是直角三角形斜边上的中线，DE= AB，DF= AC因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似师生小结 1.本节课我们学习了：2.你学到了什么？第三课时 相似三角形课堂检测课堂检测 1(2010 年广西桂林)如图 X
13、641，已知 ADE 与 ABC 的相似比为 12，则 ADE 与 ABC 的面积比为( )A12 B14 C21 D412若两个相似三角形的面积之比为 116，则它们的周长之比为( )A12 B14 C15 D1163下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的为( )A1,2,3,4 B1,2,2,4 C3,5,9,13 D1,2,2,34(2011 年湖南怀化)如图 1，在 ABC 中， DE BC， AD5， BD10， AE3，则 CE 的值为( )A9 B6 C3 D45若 ABC DEF，它们的周长分别为 6 cm 和 8 cm，那么下式中一定成立的是( )A3 AB4 DE B
14、4 AC3 DE C3 A4 D D4( AB BC AC)3( DE EF DF) 图 16如果 ABC A B C， BC3， B C1.8，则 A B C与 ABC 的相似比为( )A53 B32 C23 D357下列说法中：所有的等腰三角形都相似；所有的正三角形都相似；所有的正方形都相似；所有的矩形都相似其中说法正确的序号是_8如果两个相似三角形的相似比是 35，周长的差为 4 cm，那么较小三角形的周长为_cm.9如图 2，在矩形 ABCD 中， AB6， BC8，沿直线 MN 对折，使 A， C 重合，直线MN 交 AC 于点 O.(1)求证： COM CBA； 图 2(2)求线段 OM 的长度10如图 3，已知四边形 ABCD 是平行四边形(1)求证： MEF MBA；(2)若 AF， BE 分别是 DAB， CBA 的平分线，求证： DF EC.图 311已知如图 4，在矩形 ABCD 中， E 是 BC 上一点， F 是 BC 的延长线上一点，且 BE CF， BD与 AE 相交于点 G.求证：(1) ABE DCF；(2)CFAE BFGE.图 412如图 5，已知在 ABC 中， AD DB，12.求证： ABC EAD.
