1、小 学 奥 数 博 弈 问 题 解 题 技巧我国民间一直流传着一个名叫“抢十八”的数学游戏：参与游戏的两人从1 开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，谁先报到 18，谁就获胜。本讲就是研究类似于这类游戏的取胜策略。这类问题要用倒推法进行研究。以“抢十八”游戏为例，最后要抢到 18，此前必须抢到 15，只留给对方 3 个数，无论对方报一个数或两个连续的数，己方都能抢到 18；同理要抢到 15，此前必须抢到 12。如此倒推回去，可得到一系列关键数：18、15、12、9、6、3。这个游戏的取胜策略就是：每一步都抢到关键数，直到最后抢到 18。这个游戏是一个不公平的游戏，报数顺序决定了最后的
2、结果：只有后报数者才能抢到这一系列关键数，后报数者才有必胜策略。根据以上分析，确立取胜策略重要的是抢到关键数。游戏者所能用到的最大数和最小数之和称为关键因子，关键数要根据关键因子确定。如“抢十八”游戏中关键因子就是 3，我们从最后一个数依次减 3，通过倒推可以找出游戏中所有关键数。在“抢十八”游戏中，最后数 18 是关键因子 3 的整数倍，也就是关键因子能被最后报数整除，这样的游戏称为平衡游戏，后报数者必胜。如果最后报数与关键因子相除有余数，这样的游戏称为不平衡游戏，余数就是不平衡因子。不平衡抢数游戏也是不公平的游戏，先报数者有必胜策略：先消除不平衡因子，使其变成一个平衡游戏，先报数者随后就成
3、为平衡游戏的后报数者。【题目】：有 1996 个球，甲、乙两人进行取球比赛，规则是两人轮流取，每人每次最少取1 个，最多取 4 个，取到最后一个球的人为胜。如果甲先取，如果取法才能保证取胜？【解析】：这题的关键因子是：1+4=5。19965=3991，这是个不均衡的游戏，不均衡因子是 1。甲取胜策略为：甲先取 1 个球，剩下 1995 个球是 5 的 399 倍，使游戏变成了均衡游戏。然后每次乙取完之后，甲总是取出适量的球，保持与乙取出球的个数和为 5，那么剩下的球始终是 5 的倍数。直到最后只剩下 5 个球，无论乙取几个球，甲都能取到最后一个球。【题目】：甲乙两人轮流地往一张圆桌面上放一枚五
4、分硬币不能重叠。谁放完一枚之后而使得对方无法在往桌面上放硬币时，谁就是胜利者。如果甲先放，甲有没有稳超胜券的策略？【解析】：甲有稳超胜券的策略！圆是中心对称图形，如下图一，甲先在圆桌正中心放一枚硬币（红色），然后无论乙把硬币（蓝色）放在何处，甲就在乙所放位置关于中心点对称的位置上放另一枚硬币（如下图二），这样只要乙能找到位置放硬币，甲总能找到对应的位置，直到结束，甲一定获胜。将本题桌面的形状，由圆形改为其他轴对称图形，甲同样有必胜策略，道理同上。【题目】：在 44 的方格纸上有一粒棋子，现在甲、乙两人玩游戏。由甲从左下角的方格开始为第一步，乙接着移动这粒棋子，每次只能向上、向右或右上方移动一格
5、，两人就这样交替移动这粒棋子。谁把棋子移到右上角谁获胜，问谁将获胜，获胜的策略是什么？如下图，要想最后把棋子下到 A 点所在的格子里，必须迫使对方把棋子下到 A点周围的 3 个灰色格子里。因为移动这粒棋子，每次只能向上、向右或右上方移动一格，如果某一方能把棋子下到 B、D 这两个格子里，则对方只能进入灰色格子，这方必胜。由甲先下第一步，在左下角放入棋子，乙有必胜策略：乙接着把棋子下到 C 格，这样向右上方，甲只能把棋子移入某个绿色格子，乙再接着肯定可以把棋子移入 A、B、D 三个中的某个格子，从而取得最后的胜利。A、B、C、D 四个格子是制胜点，谁抢到谁获胜。【提高训练】1、 甲、乙两人抓棋子
6、，规定最多可以抓 3 个，最少抓 1 个，谁取到最后一个棋子就算输。若甲先去抓，棋子数为 2001 个，问乙是否有必胜的策略？2、 在 90 张卡片的两面各写一个数，第一张写上 1 与 2，第二张写上 2 和 3，第三张写上 3 和 4，第 89 张写 89 与 90，第90 张写 90 与 91，打乱卡片的排列顺序，小华看的最后一张卡片上的数是 73.试讨论说明在什么情况下，小华可以马上猜出73 的反面是什么数？3、 有这么一个游戏，报数的规则是：（1） 两人轮流报数；（2）每次报的数只能是 110 中的某一个数；（3）谁报数后两人所报的全部数的和为 2003，就算谁获胜。如果让你先报，你有必胜的策略吗？4、 有两堆纽扣，一堆 50 颗，一堆 43 颗。规则为甲、乙两人轮流从中拿走一颗或几颗，甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿纽扣，谁拿走最后一颗纽扣，谁就获胜？请问，你如何取胜？5、 一个有 9 个格子的水果盘，贝贝和晶晶轮流在格子里放水果（每个格子里只能放一个水果） 。贝贝放的是香梨，晶晶放的是苹果。规定每人每次至少放 1 个，最多放 3 个，空格放满后，计算一下，哪一方的总数是偶数，哪一方就获胜。问如何确保获胜？
