1、平行线分线段成比例定理教学后记刊于中学数学教学参考2001。09周 灵初中几何第二册“平行线分线段成比例定理”是平面几何的一个重要定理，它是研究相似形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成例，另一方面，当不能证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比。把平行线分线段成比例定理应用在三角形上，就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础。然而，关于平行线分线段成比例定理，教科书是通过平行线等分线段定理举例说明它的正确性，学生没有足够体验，很难达到对定理的理解，进而影响了后续知识的掌握。在这一课的教学中，笔者根据学习的认知理论，利用几何画
2、板软件和网络技术，精心创设教学情景，引入数学实验，引导学生运用类比推广、观察、归纳、猜想的思维方式以及运动的观点层层深入地自己动手动脑来探索知识，发现规律，取得了较好的教学效果。下面谈谈具体做法，供同行们参考。一、把学生认知结构中原有的知识作为数学教学的出发点数学学习过程，实质上是数学认知结构的发展变化过程。在任何情况下，已有的认知结构总是学习新知识的基础。数学学习的重要策略就在于建立新知识与原有认知结构之间的联系。我们知道，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广，而这两节课研究问题的思路基本相同。因而在本课的教学中笔者采用“以旧导新”的方法进行，即通过复习旧知识，探索完善旧知识结构
3、，类比推广导出新知。1学生 1 用如下的课件通过广播教学的形式主持复习:l2l5l4l3l1B FCAGE21生 1：前面我们学过平行线等分线段定理，哪位同学能叙述定理的内容？生 2：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。生 1：很好，请坐（点击“定理”按纽，屏幕呈现平行线等分线段定理内容） 。我们连结线段 AC、CG、GE、EA、和 BF，得到一个什么图形？（边问边在计算机上将上述线段用红线连结）生众：梯形。生 1：好，根据平行线等分线段定理，我们可以得出有关梯形的推论，哪位同学能叙述呢？生 3：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。生 1：对
4、。这就是推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。我们再移动直线 l5，使 E 点与 A 点重合，现在又是什么图形呢？（边问边操作）生众：三角形。生 1：根据平行线等分线段定理，我们可以得出有关三角形的推论 2，哪位同学能叙述呢？生 4：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。生 1：很好。推论 2 是：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。复习完毕，谢谢！2教师引导学生类比推广导入新课：师：我们知道（屏幕显示） ，如图 1，如果 l1 l2 l3，且 AB=BC，那么DE=EF，哪位同学能将这个命题改写成比例的形式？生 5：如果 l1 l2 l3，且
5、 ，那么 即BCA,EFD1EFBCAl5l4l3l2l1FEDCBA图 图 l5l4l3l2l1FEDCBA师：（移动 l2 如图 2）若 1，那么 是否还与 相等呢？AABBC生众：相等师：是否相等，我们通过实验来验证。二、引入数学实验，突破教学难点在传统的教学中，平行线分线段成比例定理定理的推出是个难点，教材是通过平行线等分线段定理举例说明它的正确性，学生没有足够体验，很难达到对定理的理解，进而影响了后续知识的掌握。皮亚杰认为：数学是人的计数活动和空间度量活动的反身抽象，离开人的活动是没有数学，也学不懂数学的，所以学习数学的一个很重要的环节是了解数学背景，获得数学经验。本课例根l1l2l
6、3l4l5ABCDEF图 据数学思想发展脉络和学生的认知规律，借助几何画板软件，创设问题情境，引入如下数学实验：如图 3，l 1 l2 l3，直线 l4、 l5 被 l1、 l2、 l3 所截1、测算 AB= ，BC= ，AC= ，DE= ， EF= ， DF= 2、测算 AB:BC= ,AB:AC= ,BC:AC= DE:EF= ,DE:DF= ,EF:DF= 3、观察各对应线段的比值，你能得出什么结论？ 4、分别拖动 l2、 l5，观察测算数据的变化情况，你能得到什么结论？5、用命题的形式表述结论。6、在图中拖动 l5 可得几种变式图形？画出这些图形。7、类比平行线等分线段定理的推论 2，
7、由平行线分线段成比例定理，你能得出什么推论？几何画板动态地保持几何关系不变的功能，使学生可以任意拖动每一条直线，而画板的实时测量功能又及时为学生提供了准确的测算数据，学生在实验中拖动 l2、 l5 ，在不断变化的图形中观察测算数据，归纳发现规律，得出了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。实现了对知识意义的主动建构，较深刻地理解了所学的内容，彻底改变了以讲授“结果”为主，以“灌输”为特征的数学教学模式，充分体现了教师为主导，学生为主体的教学原则。三、用运动的观点研究变式图形，深化对定理的认识几何的精髓就是在不断变化的图形中，研究不变的几何规律。本课例充分利用几何画板
8、强大的动态功能，用运动变化的观点，动态地设计几何教学，让图形出来说话，充分调动学生的直觉思维。学生在实验中经过自己的动手操作，从动态中观察、比较、归纳、发现，得出平行线分线段成比例定理之后，再让学生通过不断平移 l4 或 l5 ，得到图 4 所示的几种最具典型性和代表性的变式图形，深化了学生对定理的认识。 平 移l4或 l5 l1l45l3l2ACDBFEl1l45l3l2ACDBFE l1l4l5 l3l2ACDBFE l1l4l5 l3l2ACDBFEl4平 移l4或 l5 平 移l4或 l5图 4本课例还借助几何画板软件，设计了下图所示课件：通过动态演示课件，强调“对应”的含义，并介绍结
9、合图形形象记忆定理的方法，使学生对定理有了较深刻和全面的理解。四、用特殊化的手段抓住本质，研究定理的推论在学生得出图 4 所示的变式图形后，引导学生用特殊化的手段，抽象出图4-1、 图 4-2、 图 4-3，然后类比平行线等分线段定理的推论 2，由图 4-2、图 4-3得到平行线分线段成比例定理的推论：平行三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。并指出今后解题中应用推论的关键是从复杂图形中分解出图 4-2、 图 4-3这样的基本图形。之后通过应用举例及变式练习使学生进一步理解应用推论（例略） 。l1l45l3l2ACDBFE l1l4l5 l3l2ACDBFE l1l
10、4l5 l3l2ACDBFEl4平 移l4或 l5 平 移l4或 l5C FAB DEC FABDECFABD E平 移 或 平 移 或 图 4-1 图 4-2 图 4-3四、把发展和完善认知结构作为数学教学的中心和归宿数学认知结构是数学知识的基本结构与学生的心理结构相互作用的产物，组织良好的知识结构有利于学生认知结构的发展，促进新知识的学习。安排数学学习，既要注意知识之间的纵向联系，把孤立的知识组成知识链，又要注意知识之间的横向联系，把知识链组成知识网（如图 5 所示） ，这样的知识有利于塑造良好的认知结构。ACDBFE ACDBFE 平 移 或 平 移 或 ACDBFE特殊化特殊化复 习
11、謠 3敵 3 1 ABC D EF 特殊化 特殊化特殊化特殊化l1l4l5 l3l2ACDB FE图 (1)平 移l4或 l5 l1l4l5 l3l2ACDB FE图 (2)平 移l4或 l5 l1l4l5 l3l2ACDBFE图 (3)l1l4l5l3l2ACDBFE l1l4l5 l3l2ACDBFE l1l4l5 l3l2ACDBFEl4平 移l4或 l5 平 移l4或 l5C FAB DEC FABDECFABD E平 移 或 平 移 或 图 5为了发展和完善学生认知结构，除了组织完好的知识结构外，还要发展学生的认知能力，如观察能力，思维能力和记忆能力。本课例通过创设实验环境，引导学生动手实验、观察、比较、归纳，经历发现数学知识的全过程而获取知识，掌握相应的数学思想方法。所有的新知识，通过自身“再创造” ，纳入到自己的认知结构中，成为有效而能发展的知识，优化和发展了数学认知结构。这些对发展学生的认知能力，培养学生的创造力，提高数学素养是大有裨益的。参考文献：1田万海. 数学教育学. 浙江教育出版社.1993.62傅佑珊、胡杞.初中几何教案. 北京师范大学出版社. 1999.103潘懋德、唐玲、王珏. 信息技术师资培训教材（应用篇）.北京师范大学出版社.1999.84周灵 .CAI 实践中若干问题的思考. 福建中学教学 .2001.4类比推广特殊化 特殊化 特殊化新 知知
