1、1一元一次方程知识点及基础训练知识详解：一、等式的概念和性质黑 1、等式的概念：用等号“”来表示相等关系的式子，叫做等式。2、等式的性质楷体等式的性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。若 ，则 ；abmb等式的性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是 0）或同一个整式，所得结果仍是等式若 ，则 ，abm(0)注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边。（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同。（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式具有对称性，即
2、：如果 ，那么 ；aba等式具有传递性，即：如果 ， ，那么 ；abcac判断题 2） 是等式；1Sah（3）等式两边都除以同一个数，等式仍然成立；（4）若 ，则 ；xy4my下列说法不正确的是（ ）A等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式；B等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；C等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式；D一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；回答下列问题，并说明理由（1）由 能不能得到 ？ （2）由 能不能得到 ？23abab56ab56a（3）由 能不能得到 ？ （4）由 能不能得到 ？7xy7yx0x1x下列结论中正确的是（
3、 ）A在等式 的两边都除以 3，可得等式 ；65B如果 ，那么 ；22C在等式 的两边都除以 ，可得等式 ；0.1x0.10.5xD在等式 的两边都减去 ，可得等式 ；73x6346x根据等式的性质填空（1） ，则 ； （2） ，则 ；4abab39（3） ，则 ； ，则 683xyx1yx用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的（1）如果 ，那么 ； （2）如果 ，那么 ；26y6x（3）如果 ，那么 ； （4）如果 ，那么 4xyy324x二、方程的相关概念黑体小 1、方程：含有未知数的等式叫作方程。注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是
4、用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母，二者缺一不可。楷体五 2、方程的次和元：方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元。楷体五 3、方程的已知数和未知数楷体五号已知数：一般是具体的数值，如 中（ 的系数是 1，是已知数但可以不说） 。5 和 050xx2是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有 、 、 、 、 等表示。abcmn未知数：是指要求的数，未知数通常用 、 、 等字母表示。如：关于 、 的方程xyzxy中， 、 、 是已知数， 、 是未知数。2axbyca2bc楷体 4、方程的解楷体五号使方程左、右两边相等的未知数的值，
5、叫做方程的解。楷体五 5、解方程：求得方程的解的过程。注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程。楷体五 6、方程解的检验:要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是。下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？ ； ； ； ； ；34a28xy5321xy61x ； ； ； 830a32a判断题（1）所有的方程一定是等式。 （ ） （2）所有的等式一定是方程。 （ ）（3） 是方程。 （ ） （4） 不是方程。 （ ）241x51x（5） 不是等式，因为 与 不
6、是相等关系。 （ ）787x8（6） 是等式，也是方程。 （ ）（7） “某数的 3 倍与 6 的差”的含义是 ，它是一个代数式，而不是方程。 （ ）36判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由。（1） ； （2） ； （3） ；xxy251x（4） ； （5） ； （6） 24xy在 、 、 中，_是方程 的解y3y10三、一元一次方程的定义黑体小四1、一元一次方程的概念楷只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，系数不等于 0 的方程叫做一元一次方程。这里的“元”是指未知数， “次”是指含未知数的项的最高次数。楷体 2、一元一次方程的形式楷标准形式： （其
7、中 ， ， 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式0axb0ab最简形式：方程 （ ， ， 为已知数）叫一元一次方程的最简形式注意： （1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证，如方程 是一元一次方程。2216xx如果不变形，直接判断就出会现错误。（2）方程 与方程 是不同的，方程 的解需要分类讨论完成。axb(0)axbab下列各式中： ； ； ； ； ； ；325344x12x213x4x； 。哪些是一元一次方程？23x2()x下列方程是一元一次方程的是（ ） （多选）A B C D E F1xy5x0
8、x13ax235x26.8R已知方程 是关于 的一元一次方程，求 ， 满足的条件。2(63)70nm mn3若 是关于 的一元一次方程，求 。2(1)()(3)0kxkxk已知 是关于 的一元一次方程，求 的值。1x若 是关于 的一元一次方程，求 。2()()20axxa若关于 的方程 是一元一次方程，则方程的解 =。45kxkx求关于 的一元一次方程 的解x21()()80x已知方程 是一元一次方程，则 ； 1(2)40aa四、一元一次方程的解法黑体小四1、解一元一次方程的一般步骤楷体五（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应
9、加上括号（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边注意：移项要变号；不要丢项（4）合并同类项：把方程化成 的形式 注意：字母和其指数不变axb（5）系数化为 1：在方程的两边都除以未知数的系数 （ ） ，得到方程的解 a0bxa注意：不要把分子、分母搞颠倒楷体 2、解一元一次方程常用的方法技巧楷体解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等。（1）基本类型的一元一次方程的解法楷体五号解方程： 解方程：6()5(2)(3)xx
10、3()52()xx解方程： 解方程：243611y解方程： 解方程：12x2364x解方程： 解方程：2354x132（3）含有多层括号的一元一次方程的解法楷体五号解方程： 解方程：13124y12(4)681975x解方程： 解方程：()624x 073(2)3xx4（4）一元一次方程的技巧解法楷体五号解方程： 解方程：123(23)()91xx11()()2()()3xx五实际问题与一元一次方程（这部分，建议基础不好的学生仅适当尝试做做）（1） 、售价指商品卖出去时的的实际售价。（2） 、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。进价指商品的买入价，也称成本价。（3） 、标价指的是商家所标
11、出的每件物品的原价。它与售价不同，它指的是原价。（4） 、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几，则称将标价打了几折。（5） 、盈亏问题：利润=售价成本； 售价=进价+利润；售价=进价+进价利润率；（6） 、产油量=油菜籽亩产量含油率种植面积。（7） 、应用：行程问题：路程=时间速度； 工程问题：工作总量=工作效率时间；储蓄利润问题：利息=本金利率时间； 本息和=本金+利息。一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审审题：（2）设设出未知数：根据提问，巧设未知数（3）列列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程（4）解解方程：解所列的方程，求出未知数
12、的值（5）答检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案 （注意带上单位）二、一般行程问题（相遇与追击问题）行程问题基本类型（1）相遇问题： 快行距慢行距原距 （2）追及问题： 快行距慢行距原距1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用 3.6 小时，已知步行速度为每小时 8 千米，公交车的速度为每小时 40 千米，设甲、乙两地相距 x 千米，则列方程为。解：等量关系 步行时间乘公交车的时间3.6 小时 列出方程是： 6.340x2、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行 15 千米，可比预定时间早到 15 分钟；若每小时行 9 千米，可比预定时间晚到 15 分
13、钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系 速度 15 千米行的总路程速度 9 千米行的总路程 速度 15 千米行的时间15 分钟速度 9 千米行的时间15 分钟提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。方法一：设预定时间为 x 小/时，则列出方程是：15（x0.25）9（x 0.25）方法二：设从家里到学校有 x 千米，则列出方程是： 6015915x3、一列客车车长 200 米，一列货车车长 280 米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过 16秒，已知客车与货车的速度之比是 3：2，问两车每秒各行驶多少米？5提醒：将两车车尾视为两人，并
14、且以两车车长和为总路程的相遇问题。等量关系：快车行的路程慢车行的路程两列火车的车长之和设客车的速度为 3x 米/秒，货车的速度为 2x 米/秒， 则 163x162 x2002804、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时 3.6km，骑自行车的人的速度是每小时 10.8km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是 22 秒，通过骑自行车的人的时间是 26 秒。 行人的速度为每秒多少米？ 这列火车的车长是多少米？提醒：将火车车尾视为一个快者， 则 此题为以车长为提前量的追击问题。等量关系： 两种情形下火车的速度相等 两种情形下火车的车长相等在时间已
15、知的情况下， 设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。解： 行人的速度是：3.6km/时3600 米3600 秒1 米/秒骑自行车的人的速度是：10.8km/时10800 米3600 秒3 米/秒 方法一：设火车的速度是 x 米/秒，则 26(x3) 22(x1) 解得 x4方法二：设火车的车长是 x 米，则 266、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度是 60 千米/时，步行的速度是5 千米/时，步行者比汽车提前 1 小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是 60 千米。问：步行者在出发后经过多少时间与回头
16、接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）提醒：此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈即 步行者行的总路程汽车行的总路程602解：设步行者在出发后经过 x 小时与回头接他们的汽车相遇，则 5x60(x1)6027、某人计划骑车以每小时 12 千米的速度由 A 地到 B 地，这样便可在规定的时间到达 B 地，但他因事将原计划的时间推迟了 20 分，便只好以每小时 15 千米的速度前进，结果比规定时间早 4 分钟到达 B 地，求 A、B 两地间的距离。解：方法一：设由 A 地到 B 地规定的时间是 x 小时，则 12x x2 12 x12224(千米) 6015方法二：设由 A、B 两地的
17、距离是 x 千米，则 （设路程，列时间等式）x24 答：A、B 两地的距离是 24 千米。604215x温馨提醒：当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。8、一列火车匀速行驶，经过一条长 300m 的隧道需要 20s 的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是 10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。解析：只要将车尾看作一个行人去分析即可，前者为此人通过 300 米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。解：方法一：设这列火车的长
18、度是 x 米，根据题意，得 x300 答：这列火车长 300 米。1023方法二：设这列火车的速度是 x 米/秒，根据题意，得 20x30010 xx30 10 x300 答：这列火车长 300 米。9、甲、乙两地相距 x 千米，一列火车原来从甲地到乙地要用 15 小时，开通高速铁路后，车速平均每小时比原来加快了660 千米，因此从甲地到乙地只需要 10 小时即可到达，列方程得。答案： 6015x三、行船与飞机飞行问题：航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）21、 一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是 3
19、 千米/时，顺水航行需要 2 小时，逆水航行需要 3 小时，求两码头之间的距离。解：设船在静水中的速度是 x 千米/时，则 3(x3)2( x3) 解得 x15 2( x3)2(153) 36（千米）答：两码头之间的距离是 36 千米。2、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时 24 千米，顺风飞行需要 2 小时 50 分钟，逆风飞行需要 3 小时，求两城市间的距离。解：设无风时的速度是 x 千米/时，则 3(x24) (x24)6523、小明在静水中划船的速度为 10 千米/时，今往返于某条河，逆水用了 9 小时，顺水用了 6 小时，求该河的水流速度。解：设水流速度为 x 千米/时，则 9
20、(10x)6(10x) 解得 x2 答：水流速度为 2 千米/时.4、某船从 A 码头顺流航行到 B 码头，然后逆流返行到 C 码头，共行 20 小时，已知船在静水中的速度为 7.5 千米/时，水流的速度为 2.5 千米/时，若 A 与 C 的距离比 A 与 B 的距离短 40 千米，求 A 与 B 的距离。解：设 A 与 B 的距离是 x 千米，(请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程) 当 C 在 A、B 之间时， 解得 x120205.74.25 当 C 在 BA 的延长线上时， 解得 x56x答：A 与 B 的距离是 120 千米或 56 千米。四、工程问题1工程问题中的三个量及其
21、关系为：工作总量工作效率工作时间 工 作 总 量工 作 效 率 工 作 时 间 工 作 总 量工 作 时 间 工 作 效 率2经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。即完成某项任务的各工作量的和总工作量11、一项工程，甲单独做要 10 天完成，乙单独做要 15 天完成，两人合做 4 天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？解：设还需要 x 天完成，依题意，得 解得 x=51()4105x2、某工作,甲单独干需用 15 小时完成,乙单独干需用 12 小时完成,若甲先干 1 小时、乙又单独干 4 小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务? 解：设甲、乙两个龙头齐开 x
22、 小时。由已知得，甲每小时灌池子的 ，乙每小时灌池子的 。列方程： 0.5+(2132+ )x= , + x= , x= x= =0.5 x+0.5=1（小时）123145623517五、市场经济问题1、某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅经过测试：同时开放 1 个大餐厅、2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐（1）求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由解：（1）设 1 个小餐厅可供 名学生就餐，则 1 个大餐厅可供（1680-2y
23、）名学生就餐，根据题意，得 2（1680-2y）y+y=2280 解得：y=360（名）所以 1680-2y=960（名）（2）因为 ，960532503所以如果同时开放 7 个餐厅，能够供全校的 5300 名学生就餐2、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？解：设该工艺品每件的进价是 元,标价是（45+x）元.依题意，得:x8（45+x）0.85-8x=（45+x-35）12-12x解得：x=155（元）所以 45+x=200（元） 3、某地区居民
24、生活用电基本价格为每千瓦时 0.40 元，若每月用电量超过 a 千瓦则超过部分按基本电价的 70%收费（1）某户八月份用电 84 千瓦时，共交电费 30.72 元，求 a（2）若该用户九月份的平均电费为 0.36 元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？ 解：（1）由题意，得 0.4a+（84-a）0.4070%=30.72 解得 a=60（2）设九月份共用电 x 千瓦时， 0.4060+（x-60）0.4070%=0.36x 解得 x=90 所以 0.3690=32.40（元）答： 90 千瓦时，交 32.40 元4、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双
25、进价为 60 元，八折出售后，商家所获利润率为 40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？利润率= 40%= X=105 105*80%=84 元成 本利 润 60%8X5、甲乙两件衣服的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将家服装按 50%的利润定价，乙服装按 40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店共获利 157 元，求甲乙两件服装成本各是多少元？ 解：设甲服装成本价为 x 元，则乙服装的成本价为（50x）元，根据题意，可列 109x(1+50%) x+(500-x)(1+40%)90% - (500 - x)=157 x=3006、某商场
26、按定价销售某种电器时，每台获利 48 元，按定价的 9 折销售该电器 6 台与将定价降低 30 元销售该电器 9 台所获得的利润相等，该电器每台进价、定价各是多少元？(48+X)90%*6 6X=(48+X-30)*9 9X X=162 162+48=2107、甲、乙两种商品的单价之和为 100 元，因为季节变化，甲商品降价 10%，乙商品提价 5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高 2%，求甲、乙两种商品的原来单价？解：x(1-10%)+(100-x)(1+5%)=100(1+2%) x=208、一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利
27、15 元，这种服装每件的进价是多少？8解：设这种服装每件的进价是 x 元，则：X(1+40)0.8-x=15 解得 x=125六、调配与配套问题1、某车间有 16 名工人，每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个在这 16 名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件已知每加工一个甲种零件可获利 16 元，每加工一个乙种零件可获利 24 元若此车间一共获利 1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件2、有两个工程队，甲工程队有 32 人，乙工程队有 28 人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的 2 倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？3、某班同学利用假期参加夏令营活动，分成几个
28、小组，若每组 7 人还余 1 人，若每组 8 人还缺 6 人，问该班分成几个小组，共有多少名同学？4、某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 12 个或螺母 18 个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？七、方案设计问题2、某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机已知该厂家生产 3种不同型号的电视机，出厂价分别为 A 种每台 1500 元，B 种每台 2100 元，C 种每台 2500 元（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案（2）若商场销售一台 A
29、 种电视机可获利 150 元，销售一台 B 种电视机可获利 200 元，销售一台 C 种电视机可获利 250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？ 解：按购 A，B 两种，B，C 两种，A，C 两种电视机这三种方案分别计算，设购 A 种电视机 x 台，则 B 种电视机 y 台（1）当选购 A，B 两种电视机时，B 种电视机购（50-x）台，可得方程1500x+2100（50-x）=90000 x=25 50-x=25当选购 A，C 两种电视机时，C 种电视机购（50-x）台，可得方程 1500x+2500（50-x）=90000 x=35 50-x=1
30、5当购 B，C 两种电视机时，C 种电视机为（50-y）台可得方程2100y+2500（50-y）=90000 4y=350，不合题意可选两种方案：一是购 A，B 两种电视机 25 台；二是购 A 种电视机 35 台，C 种电视机 15 台（2）若选择（1），可获利 15025+25015=8750（元） ，若选择（1），可获利 15035+25015=9000（元）故为了获利最多，选择第二种方案【题 01】若关于 的方程 是一元一次方程，求 的值x23(4)0nn【题 02】已知 是关于 的一元一次方程，则 (2)1mxxm【题 03】若关于 的方程 是一元一次方程，求 的解2(|)()(52)0m【题 04】若关于 的方程 是一元一次方程，则 =x10k k【题 05】若关于 的方程 是一元一次方程，则 =若关于 的方程 是()xx2()450kxk一元一次方程，则方程的解 =95已知 2 是关于 x 的方程 x 2a0 的一个解，则 2a1 的值是 .32
