1、1 定义： 2 运算法则： （1）四则运算（2）复合函数 3 性质： （1）有界性 （2）唯一性 （3）保号性 （4）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 （5） )()()(lim xAxfAxf += ， 其中 0)(lim =x 。 4 无穷小量的阶： 第一章主要内容机动目录上页下页返回结束一、极限5 求极限的方法： (1) 定义，运算法则及性质; (2) 夹逼定理； (3) 单调有界原理（求数列极限） ； (4) 单侧极限与极限的关系； (5) 两个重要极限： 1sinlim0=xxxexxx=+)11(limexxx=+10)1(lim机动目录上页下页返回结束ennn=+)11(li
2、m常用的等价无穷小量： 当 0x 时 , xx sin ， xx tan ， xx )1ln( + xx arcsin ， xx arctan ， xex1 , 221cos1 xx , xxaxln1 xx 1)1( + , 机动目录上页下页返回结束(6) 利用等价无穷小代换； (7) 罗必达法则（注意应用条件）; （ 8） 利用泰勒公式。 1 定义： )()(lim00xfxfxx=； 0lim0=yx。 2 性质： （1）初等函数在其定义域内是连续的。 （2）连续等价与左右连续且相等。 3 间断点的类型： （1）第一类间断点； （2）第二类间断点。 二、连续性机动目录上页下页返回结束4
3、闭区间上连续函数的性质： （ 1） 零点存在定理； （ 2） 介值定理； （ 3） 最大值，最小值定理； 1、导数的定义.)()(limlim00000xxfxxfxyyxxxx+=机动目录上页下页返回结束;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx+=;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx+=+函数 )(xf 在点0x 处可导 左导数 )(0xf和右 导数 )(0xf+都存在且相等. 第二章主要内容2、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(t
4、ancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx+=（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx+=arc机动目录上页下页返回结束3、求导法则设 )(),( xvvxuu = 可导，则 （1） vuvu= )( , （2） uccu=)( (c是常数), （3） vuvuuv+=)( , （4）)0()(2=vvvuvuvu. (1) 函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则.)(1)(,)()(yxfxfyyx= 则
5、有的反函数为如果函数机动目录上页下页返回结束(3) 复合函数的求导法则).()()()()(,)(xufxydxdududydxdyxfyxuufy=或导数为的则复合函数而设(4) 对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu机动目录上页下页返回结束(5) 隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系与确定若参数方程 xytytx=;)()(ttdtdxdtdydxdy=.)()()()()(322tttttdxyd=(6) 参变量函数的求导法则机动目录上页下页返回结束注意： 1、熟记求导
6、公式； 2、复合函数求导要熟练掌握； 3、求分段函数在分段点处得到是要用定义。4、高阶导数,)()(lim)(0xxfxxfxfx+=二阶导数记作阶导数的阶导数的导数称为函数的函数一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf 或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)机动目录上页下页返回结束莱布尼兹公式.)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu=+=“常用的 高阶导数公式nnxnx+= )1()1()()4()(“nnnxnx)!1()1()(
7、ln1)(=)2sin()(sin)2()(+= nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(+= nkxkkxnn)0(ln)()1()(= aaaanxnxxnxee =)()(1)(!)1()1()5(+=nnnxnx机动目录上页下页返回结束!)()(nxnn=1)()1(!)1()11(+=nnnxnx1)()1(!)11(+=nnxnx.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx=+=+=+=即或记作的微分于自变量增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果
8、在这区间内及在某区间内有定义设函数5、微分的定义定义.的线性主部叫做函数增量微分 ydy (微分的实质)机动目录上页下页返回结束6、导数与微分的关系.)(,)()(000xfAxxfxxf=且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数定理7、微分的求法dxxfdy )(=求法： 计算函数的导数，乘以自变量的微分.机动目录上页下页返回结束函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud=+=8、微分的基本法则微分形式的不变性的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论 )(, xfyx =dxxfdy )(=机动目录上页下页返回结束基本初等
9、函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221=dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(+=+=arc机动目录上页下页返回结束9、导数和微分的求法1. 正确使用导数及微分公式和法则2. 熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数注意讨论 分界点 处左右
10、导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法对数微分法(3) 参数方程求导法极坐标方程求导(4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性)转化(5) 高阶导数的求法逐次求导归纳 ;间接求导法; 利用莱布尼兹公式.机动目录上页下页返回结束第三章内容小结：机动目录上页下页返回结束罗尔(Rolle) 中值定理： 若 )(xf 在 , ba 上连续，在 ),( ba 内可导， 且)()( bfaf = ，则在 ),( ba 内至少存在一点 )( ba 1 函数单调性的判定法：四、导数的应用机动目录上页下页返回结束(1) 若 ),(00xxx 时， 0)( xf ； ),(00+ xxx 时, 0)( xf
11、；则 )(xf 在0x 处取得极小值. (3) 若当 ),(00xxx 及 ),(00+ xxx 时, )(xf的符号相同，则 )(xf 在0x 处无极值. 定理1 (第一充分条件)：2 函数极值的判定法设 )(xf 在0x 处具有二阶导数,且 0)(0=xf ,0)(0xf ,则 (1) 当 0)(0xf 时, 函数 )(xf 在0x 处取得极小值。定理2(第二充分条件)机动目录上页下页返回结束3 求极值的步骤:);()1( xf求导数及不可导点。的根求驻点，即方程 ;0)()2( =xf;,)()()3(判断极值点在该点的符号或的正负号在驻点及不可导点左右检查xfxf.)4( 求极值求最值
12、的步骤:（1）求驻点和不可导点;（2）求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。4 最大值、最小值问题机动目录上页下页返回结束实际问题求最值:（1）建立目标函数;（2）求最值;最小值）即为所求的最大值（或点，则该点的数值若目标函数只有唯一驻注意:;,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在内具有二阶导数在上连续在设baxfxfbaxfxfbababaxf5 曲线的凹凸与拐点机动目录上页下页返回结束（1）凹凸性的定义、拐点的定义：（2）凹凸性的判别：（3）求拐点的步骤：（1）求出 0)( =xf
13、 的所有零点； （2）求出 )(xf不存在的点（但 )(xf 在此点有定义） ；（3）考查 )(xf 在这些点左右的凹凸性 。 .)1(232yyk+=6 曲率：曲率机动目录上页下页返回结束7 渐近线：(1)水平渐近线：.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线就是那么为常数或如果xfybybbxfbxfxx=+（2）斜渐近线,)(lim axxfx=.)(lim baxxfx=.)( 的一条斜渐近线就是曲线那么 xfybaxy =+=曲率半径,1k=确定函数 )(xfy = 的定义域，间断点。对函数进 行奇偶性、周期性等性态的讨论； 8、函数作图的步骤第一步第二步求出 0)( =xf 的
14、点和 )(xf不存在的点，即求出 )(xf的所有可能的极值点； 第三步求出 0)( =xf 的点和 )(xf不存在的点，即求出)(xf 的所有可能的拐点； 机动目录上页下页返回结束第四步 列表，判断单调区间，凹凸区间，极值点，拐点等；第五步求曲线的渐近线；第七步第六步 必要时，定出曲线的某些特殊点，如截距等； 作图。机动目录上页下页返回结束1 利用单调性、极值、最值； 2 利用拉格朗日中值定理； 3 利用泰勒公式（带拉格朗日余项） ；4 利用函数凹凸性的定义。 9 证明不等式常用的方法：机动目录上页下页返回结束第四章内容小结1、不定积分的概念： ;)()( CxFdxxf +=2、不定积分的计算：第一换元法（凑微分法）；第二换元法（变量替换法）；分部积分法。;11;)(11+=+=nndxndxxbaxdadx常用的凑微分公式：xdxdxxdxdx cossin;sincos =)1(1;21);(ln12xddxxxddxxxddxx=;tansec2xdxdx = xdxdx cotcsc2=xddxxxddxxarcsin11;arctan1122=+xxdedxe =);1(112xxddxx=+
