1、第 13讲 角、相交线和平行线考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点一 线段、射线和直线 1.直线的基本事实 :经过两点 有且只有 一条直线 ,简称 :两点确定一条直线 . 2.线段的基本事实 :两点之间 ,线段 最短 . 3.两点间的距离 :连接两点之间线段的 长度 叫做两点间的距离 .4.线段的中点 :把一条线段分成两条 相等 的线段的点 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点二 角 1.(1)静态定义 :有公共端点的两条 射线 组成的图形 . (2)动态定义 :角可以看作是
2、一条射线绕着端点从起始位置 (角的始边 )旋转 到终止位置 (角的终边 )所形成的图形 . 2.度量 :角的度量单位为度、分、秒 ,并且 1 =60 ,1=60 ;一周角 =2平角 =4 直角 =360 . 3.角的平分线 :从一个角的顶点引出的一条射线 ,把这个角分成两个 相等 的角 ,这条射线叫做这个角的平分线 . 4.(1)互余 :如果两个角的和为 90 ,则这两个角互为余角 ,简称互余 ,其中一个角是另一个角的余角 . (2)互补 :如果两个角的和为 180 ,则这两个角互为补角 ,简称互补 ,其中一个角是另一个角的补角 . (3)互余与互补的角性质 :同角或等角的余角 相等 ;同角或
3、等角的补角 相等 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点三 相交线 1.对顶角 :(1)定义 :两条直线相交组成的四个角中 ,有公共顶点且没有 公共边 的两个角叫做对顶角 . (2)性质 :对顶角 相等 . 2.邻补角 :(1)定义 :两条直线相交组成的四个角中 ,有 公共边 的两个角叫邻补角 . (2)性质 :邻补角 互补 . 3.同位角、内错角和同旁内角 :如图 ,在同一平面内 ,两条直线被第三条直线所截得到八个角 ,(1)其中是同位角的有 1和 5, 2和 6 , 3 和 7, 4 和 8 ; (2)其中是内错角的有 2和 8
4、, 3 和 5; (3)其中是同旁内角的有 2和 5, 3 和 8 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三 考点四 考点五4.垂直的定义 :两直线相交所组成的四个角中 ,如果有一个角是 直角 ,那么这两条直线互相垂直 ,其中一条直线是另一条直线的垂线 . 5.垂线 段的定义 :如图 ,A,B为直线 l上的两点 ,P为直线 l外一点 ,PO l,垂足为 O,线段 PO叫做 垂线段 ,线段 PA,PB叫做斜线段 . 6.(1)垂线段的事实 :过一点 有且只有 一条直线与已知直线垂直; (2)垂线段的性质 :过直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 ,垂线段
5、最短 . 7.点到直线的距离 :从直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 ,叫做点到直线的距离 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点四 平行线 1.定义 :在同一平面内 ,不相交 的两条直线叫做平行线 .用符号“ ”表示 . 2.位置关系 :在同一平面内 ,两条直线的位置关系有两种 (不考虑重合 ):相交 和平行 . 3.(1)平行的基本事实 :经过已知直线外一点 ,有且只有一条直线与已知直线 平行 . (2)平行的传递性 :如果两条直线都和第三条直线平行 ,那么这两条直线互相 平行 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必
6、备梳理考点一 考点二 考点三 考点四 考点五4.平行线的判定方法 :(1)平行线的定义 ;(2)平行线的传递性 ;(3)同位角 相等 ,两直线平行 ; (4)内错角 相等 ,两直线平行 ; (5)同旁内角 互补 ,两直线平行 . 5.平行线的性质 :(1)两直线平行 ,同位角 相等 ; (2)两直线平行 ,内错角 相等 ; (3)两直线平行 ,同旁内角 互补 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三 考点四 考点五考点五 命题、定理与证明 1.命题 :判断 一件事情的语句 ,叫做命题 .命题由 条件 和结论两部分组成 . 2.真、假命题 :如果题设成立 ,
7、那么 结论 一定成立 ,这样的命题叫做真命题 .如果题设成立 ,结论 不成立 ,这样的命题叫做假命题 .3.证明 :一个命题的 正确性 需要经过推理作出判断 ,这个推理过程叫做证明 . 4.基本事实、定理 :从实践中总结出来的 真命题 叫做基本事实 ,经过 证明 的并且常作为推理依据的真命题叫做定理 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考点必备梳理考点一 考点二 考点三 考点四 考点五5.互逆命题与互逆定理 :(1)在两个命题中 ,如果一个命题的题设和结论 是另一个命题的结论和 题设 ,那么这两个命题称为互逆命题 ; (2)如果一个定理的逆命题经过证明是 真命题 ,那么它也是一个定理
8、,这两个定理称为互逆定理 . 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4 考 法 5 考 法 6线段的有关计算常要结合图形 ,借助于图形的直观形象 ,从图中看出各线段之间的关系或利用中点性质转化线段之间的倍数关系 .例 1已知点 O在直线 AB上 ,且线段 OA的长度为 4 cm,线段 OB的长度为 6 cm,E,F分别为线段 OA,OB的中点 ,则线段 EF的长度为 . 答案 1 cm或 5 cm 解析 本题有两种情况 ,如图所示 .根据中点的定义有 :图 (1)中 OE=2 cm,OF=3 cm,所以EF=OE+OF=5 cm;图 (2
9、)中 OE=2 cm,OF=3 cm,所以 EF=OF-OE=1 cm.因此线段 EF的长度为 1 cm或 5 cm. 考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4 考 法 5 考 法 6方法点拨 常用的线段的长度计算方法技巧利用几何的直观性 ,寻找所求量与已知量的关系 ;利用线段中点的性质 ,进行线段长度转化 ;根据图形及已知条件 ,利用解方程的方法求解 ;分类讨论图形的多样性 ,注意所求结果的完整性 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4 考 法 5 考 法 6度、分、秒的换算与角
10、的四则运算1.度、分、秒是常用的角的度量单位 .1度 =60分 ,即 1 =60,1分=60秒 ,即 1=60 .2.具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明 ,角的度量单位度、分、秒之间也是 60进制 ,将高级单位化为低级单位时 ,乘 60,反之 ,将低级单位转化为高级单位时除以 60.同时 ,在进行度、分、秒的运算时 ,也应注意借位和进位的方法 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考法 2 考 法 3 考 法 4 考 法 5 考 法 6例 2直接将结果填到下列横线上 :(1)56.28 = ; (2)98 3018 = ; (3)123 2929 +69 4653
11、 = ; (4)141 193 -100 3812 = ; (5)41 1637 5= ; (6)97 3148 6= . 答案 (1)56 16 48 (2)98.505 (3)193 1622(4)40 4051 (5)206 235 (6)16 1518 方法点拨 进行角度制的运算时 ,在进位和借位的过程中 ,要始终注意度、分、秒都是 60进制 ,不要与十进制和百进制相混淆 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考法 3 考 法 4 考 法 5 考 法 6余角与补角如果两个角的和等于 90 (直角 ),就说这两个角互为余角 ,即其中一个角是另一个角的
12、余角 .如果两个角的和等于 180 (平角 ),就说这两个角互为补角 ,即其中一个角是另一个角的补角 ,并且余角与补角具有性质 :等角的补角相等 ,等角的余角相等 .余角和补角计算的应用 ,常常与等式的性质、等量代换相关联 .余角 (补角 )与这两个角的位置没有关系 ,只要度数之和满足了定义 ,它们就具备相应的关系 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考法 3 考 法 4 考 法 5 考 法 6例 3一个角的余角是这个角的补角的 ,则这个角的度数是 ( )A.30 B.45 C.60 D.70答案 B 解析 设这个角的度数为 x,则其余角是 (90-x)
13、,其补角是 (180-x).由题意 ,有 90-x= (180-x),解得 x=45. 方法点拨 两角互余和为 90 ,两角互补和为 180 ,据此列出关系式求解 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考法 4 考 法 5 考 法 6相交线与垂线在相交直线中 ,一个角的邻补角有两个 .邻补角、对顶角都相对于两个角而言 ,指的是两个角的一种位置关系 .它们都是在两直线相交的前提下形成的 .当两条直线相交所成的四个角中 ,有一个角是直角时 ,就说这两条直线互相垂直 ,其中一条直线叫做另一条直线的垂线 ,它们的交点叫做垂足 .垂线具有性质 :过一点有
14、且只有一条直线与已知直线垂直 .要注意的是 “有且只有 ”中 ,“有 ”指 “存在 ”,“只有 ”指 “唯一 ”,“过一点 ”的点在直线上或直线外都可以 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考法 4 考 法 5 考 法 6例 4如图 ,直线 AB,CD相交于点 O,OE CD,OF AB, BOD=25 ,求 AOE和 DOF的度数 .解 OE CD,OF AB, BOD=25 , AOE=90 -25 =65 , DOF=90 +25 =115 . 方法点拨 当已知两直线相交时 ,就能得出两对对顶角、四组邻补角 ;当已知两直线垂直时 ,就能
15、得出四个直角 .对照图形、题意 ,可根据需要选用 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4 考法 5 考 法 6平行线的判定与性质判定两直线平行的方法有 :(1)同位角相等 ,两直线平行 ;(2)内错角相等 ,两直线平行 ;(3)同旁内角互补 ,两直线平行 ;(4)两条直线都和第三条直线平行 ,那么这两条直线平行 ;(5)在同一平面内 ,如果两条直线同时垂直于同一条直线 ,那么这两条直线平行 .平行线具有性质 :(1)两直线平行 ,同位角相等 ;(2)两直线平行 ,内错角相等 ;(3)两直线平行 ,同旁内角互补 .考点必备梳理 考法必研
16、突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4 考法 5 考 法 6例 5已知 :如图 ,AD EF, 1= 2.求证 :AB DG. 证明 AD EF(已知 ), 1= BAD(两直线平行 ,同位角相等 ). 1= 2(已知 ), 2= BAD(等量代换 ). AB DG(内错角相等 ,两直线平行 ). 方法点拨 当两直线平行时 ,根据 “两直线平行 ,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ”会得到很多角的数量关系 ,灵活选用其中的数量关系 ,可以帮我们解决很多问题 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4
17、 考 法 5 考法 6命题、定理与证明命题 的 “真 ”“假 ”是就命题的内容而言的 .任何一个命题非真即假 .要说明一个命题的正确性 ,一般需要推理、论证 ,而判断一个命题是假命题 ,只需举出一个反例即可 .考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4 考 法 5 考法 6例 6下列说法中 : 已知 =27 ,则 的补角是 153 ; 已知 x=2是方程 x2-6x+c=0的一个实数根 ,则 c的值为 8;其中真命题有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个考点必备梳理 考法必研突破 考题初做诊断考法必研突破考法 1 考 法 2 考
18、法 3 考 法 4 考 法 5 考法 6答案 :B 方法点拨 命题是由题设和结论两部分组成的 .题设是已知事项 ,结论是由已知事项推出的事项 .一般地 ,命题都可以写成 “如果 ,那么 ”的形式 .其中 “如果 ”引出的部分是条件 ,“那么 ”引出的部分是结论 .考题初做诊断1.(2017甘肃张掖 )将一把直尺与一块三角板如图放置 .若 1=45 ,则 2为 ( C )A.115 B.120C.135 D.145解析 :如图 ,由三角形的外角性质得 , 3=90 + 1=90 +45 =135 , 直尺的两边互相平行 , 2= 3=135 .故选 C.考题初做诊断2.(2016甘肃武威 )如图 ,AB CD,DE CE, 1=34 ,则 DCE的度数为 ( D )A.34 B.54 C.66 D.56考题初做诊断3.(2016甘肃天水 )如图 ,直线 AB CD,OG是 EOB的平分线 , EFD=70 ,则 BOG的度数是 ( C )A.70 B.20 C.35 D.40解析 : AB CD, BOE= EFD=70 , OG平分 EOB, BOG= BOE=35 .故选 C.考题初做诊断4.(2018甘肃 )若一个角为 65 ,则它的补角的度数为 ( C )A.25 B.35C.115 D.125解析 :180 -65 =115 .故它的补角的度数为 115 .故选 C.
