1、 第 1 页 共 8 页基本不等式及应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题3了解证明不等式的基本方法综合法二、基本不等式基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件aba b2 a0，b0 ab三、常用的几个重要不等式(1)a2b 22ab(a，bR) (2)ab( )2(a，bR)a b2(3) ( )2(a，bR) (4) 2(a，b 同号且不为零)a2 b22 a b2 ba ab上述四个不等式等号成立的条件都是 ab.四、算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为：两个正数的a
2、 b2 ab算术平均数不小于它们的几何平均数四个“平均数”的大小关系；a， bR+：当且仅当 a b 时取等号.五、利用基本不等式求最值：设 x，y 都是正数(1)如果积 xy 是定值 P，那么当 xy 时和 xy 有最小值 2 .P(2)如果和 xy 是定值 S，那么当 xy 时积 xy 有最大值 S2.14强调：1、 “积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 2ab2ab第 2 页 共 8 页正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存
3、在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性）想一想:错在哪里？3、已知两正数 x，y 满足 xy1，则 z(x )(y )的最小值为_1x 1y解一：因为对 a0，恒有 a 2，从而 z(x )(y )4，所以 z 的最小值是 4.1a 1x 1y解二：z ( xy)22 22( 1)，所以 z 的最小值是 2( 1)2 x2y2 2xyxy 2xy 2xyxy 2 2【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的【正确解答】 z(x )(y )
4、xy xy xy2，1x 1y 1xy yx xy 1xy x y 2 2xyxy 2xy令 txy，则 00，b0，ab1，求证： 4.1a 1b第 4 页 共 8 页练习：已知 a、b 、c 为正实数，且 abc1，求证：( 1)( 1)( 1)8.1a1b1c考点 2 利用基本不等式求最值(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是
5、检验转换是否有误的一种方法例 4： (1)设 00，(2) x0，求 f(x) 3x 的最小值；12x（3）已知:x0,y0.且 2x+5y=20,求 xy 的最大值.4）已知 a，求 的取值范围y4a 2 y(5)已知 x0，y0，且 xy1，求 的最小值3x 4y第 5 页 共 8 页练习：求下列各题的最值(1)已知 x0，y0，lgxlgy1，求 z 的最小值；2x 5y(2)x 0，求 f(x) 3x 的最大值；12x(3)x0，且 aR)，当且仅当 a1 时“”成立1a(2) 2(a0，b0，a，bR)，当且仅当 ab 时“”成立ba ab第 7 页 共 8 页柯西不等式一、二维形式
6、的柯西不等式 .),()()( 222 等 号 成 立时当 且 仅 当 bcadRdcbadccba 二、二维形式的柯西不等式的变式 bdacba22)1( .),( 等 号 成 立时当 且 仅 当 bcadRc ., 等 号 成 立时当 且 仅 当)0()()()3( 2 等 号 成 立，时当 且 仅 当 bcaddcbadcdcba 三、二维形式的柯西不等式的向量形式 .),(. 等 号 成 立时使或 存 在 实 数是 零 向 量当 且 仅 当 k借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对 a2 + b2 + c2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1
7、2 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2)就可以用柯西不等式了。例题【5】. 设 x，y ，z R，且满足 x2 y2 z2 5，则 x 2y 3z 之最大值为 解(x 2y 3z)2 (x2 y2 z2)(12 22 32) 514 70 x 2y 3z 最大值为 70【6】 设 x，y，z R，若 x2 y2 z2 4，则 x 2y 2z 之最小值为 时，(x ，y，z) 解(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)12 ( 2) 2 22 49 36 x 2y 2z 最小值为 6， 公式法求 (x，y ， z) 此时 32)(612zyx ， ，34y3z练习【8】、设 ，试求 的最大值与最小值。25 , ,2zyxzyRzyx2第 8 页 共 8 页【9】、 设 ，试求 之最小值。62 , , zyxzyxR22zyx
