1、- 1 -对口高考河北方向数学应知应会一、代 数一、常用数集的符号表示：数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 非零实数集 合 正实数集 非负实数集合符号 N N*(或 N ) Z Q R R* R+ R+二、集合与集合间的包含关系：三、集合的基本运算：四、充要条件：在判断充分条件与必要条件时，需注意条件与结论对应的方向。即若 p 是 q 的充分条件，则 pq ； 若 p是 q 的必要条件，则 qp；若 p 是 q 的充要条件，则 pq 并且 qp，也可 qp 。五、比较两个实数大小的法则：若 a，bR，则(1) aba b0；(2)abab0；(3)abab0.六、不等式的基本性
2、质：(1)abba；对称性 (2)ab，bcac；传递性(3)abacbc；可加性*(4)ab，c0acbc ； ab，c 0acbc；可乘性七、不等式的其他常用性质：- 2 -(1)a+bcac -b；移项； (2)ab，cdacbd；同向可加性；(3)ab0，cd0acbd；同向同正可乘性；(4)ab0a nb n (n ，且 n2)；乘方性*N(5)ab0 (nN，且 n2) ；开方性na nb(6)ab 且 ab0 倒数性八、利用一元二次函数的性质解一元二次不等式：判别式 b24 ac 0 0 0方程ax2 bx c0有两不等实根x1 和 x2，且 x1 x2有两相等实根x1 x2无实
3、根一元二次函数f(x) ax2 bx c(a0)的图像不等式ax2 bx c0(a0)的解集x|x x1，或 x x2 x|x b2aR不等式ax2 bx c0(a0)的解集x|x1 x x2 九、函数的定义： 设 A、B 非空数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数函数的三要素：定义域、值域和对应关系十、函数的单调性：函数单调性 增函数 减函数图像描述定前提 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间（a，b）上的任意自变量
4、x1，x 21- 3 -核心实质当 x1 f(x2) ，那么就说函数 f(x) 在区间(a，b) 是减函数。 义单调区间区间（a，b）叫做函数 f(x)的曾区间。区间（a，b）叫做函数 f(x)的减区间。十一、函数的奇偶性：函数奇偶性 偶函数 奇函数图像描述前提 设函数 f(x)的定义域为 I， 如果对于任意的 x I，都有- x I，核心实质并且 f(x) f(x )，那么函数 f(x)就叫做偶函数并且 f(x) f(x )，那么函数 f(x)就叫做奇函数。 定义定义域具备性质函数奇偶性是函数在整个定义域内的性质，不可用区间分开。定义域必须关于原点对称。 十二、函数图象的变换：(1)平移变换
5、：水平平移：yf( xa)(a0)的图像，可由 yf (x)的图像向左 ()或向右() 平移 a 个单位而得到竖直平移：yf( x)b(b0) 的图像，可由 yf(x)的图像向上()或向下( )平移 b 个单位而得到(2)对称变换：yf(x) 与 yf(x)的图像关于 y 轴对称yf(x) 与 yf(x)的图像关于 x 轴对称yf(x) 与 yf(x)的图像关于原点对称yf1( x)与 yf(x)的图像关于直线 yx 对称要得到 y|f(x)|的图像，可将 yf (x)的图像在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，其余部分不变要得到 yf(|x|)的图像，可将 yf (x)，
6、x0 的部分作出，再利用偶函数的图像关于 y 轴的对称性，作出x0 的图像(3)伸缩变换：yAf( x)(A0)的图像，可将 yf (x)图像上所有点的纵坐标变为原来的 A 倍，横坐标不变而得到- 4 -yf(ax)(a 0)的图像，可将 yf (x)图像上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变而得到1a十三、指数幂的转化：十四、指数式和对数式的互化：设 a0，且 a1，N0， 十五、对数的性质与运算法则：(1)对数的基本性质：设 a0，且 a1 则零和负数没有对数，即：N 0 1 的对数等于 0，即 loga1=0；lg1=1,ln1=1底数的对数等于 1，即 logaa=1, lg10=
7、1, lne=1 两个重要的恒等式：a logaNN；log aaNN (2)对数的运算法则：设 a0，且 a1 则，对于任意正实数 M、N 以及任意实数 P、 m(m 0)、 n，都有log a(MN)=logaM+logaN log a =logaM logaN log aM P=PlogaM log a logaN log aM n logaM lg2+lg5=1nm(3)换底公式：logbN (a0 且 a1；b0 且 b1)；logaNlogablog ab (a，b 均大于零，且不等于 1)；1logba推广 logab logbc logcdlog ad (a、b 、 c 均大于
8、零，且不等于 1；d 大于 0).十六 、 Sn 与 an 的关系： 十七、等差数列通项公式：a na 1(n1) d. 或 ana m(nm) d，(n，mN *)十八、等差中项：如果 A ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 a b2十九、等差数列的常用性质：(1)若a n为等差数列，mnpq，(m，n ，p，q N*)则有 ama n= apa q .特殊情况，当mn=2p 有 am+an 2a p,其中 ap 是 am 与 an 的等差中项(2)有穷数列中，与首末两端距离相等的两项和相等，并等于首末两项之和，若项数为奇数，则等于中间项的 2 倍，即 a2+an-1= a3+an-2
9、 = ap+an-p+1 = a1+an = 2 中(3)若a n是等差数列，公差为 d，则 a2n也是等差数列，公差为 2d.logbaNm1- 5 -(4)若a n是等差数列，则 ak，a km ，a k2m ，( k，mN *)是公差为 md 的等差数列(5)若 （ ），则 an是等差数列，其中 k 为公差kb,R(6) 若公差为 d 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n 仍成等差数列。二十、等差数列的前 n 项和公式：S n ，或 Snna 1 d .na1 an2 nn 12注意：若 Sn ( )，则a n是等差数列，其中 2p 为公差2
10、pq,R二十一、等差数列前 n 项和性质：项数为偶数的等差数列中，S 偶 -S 奇 = ；项数为奇数项的等差数列中 S 奇 -S 偶 =中间项.二十二、等比数列的通项公式：a na 1qn1 或 ana mqnm (n，m N *)二十三、等比中项：若 G2 ab，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项 , .Gab二十四、等比数列的常用性质：(1)若a n为等比数列，且 mn=pq (m，n ，p，qN *)，则有 aman a paq特殊情况，当mn=2p 时，有 aman a p2.(2)在有穷等比数列中，与首末两端距离相等的两项积相等，并等于首末两项之积，若该数列的项数为奇数，则等于中间
11、项的平方，即 a2an-1= a3an-2 = apan-p+1 = a1an = 2中(3)在等不数列中，连续 n 项的积构成的新数列，仍是等比数列。(4)等比数列的前 n 项和公式： 当 q1 时，S nn ； 当 q1 时， .1a二十五、等比数列前 n 项和的性质：若公比不为1 的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，则Sn，S 2nS n，S 3nS 2n 仍成等比数列。二、三角函数一、终边相同角集合： | = k360(kZ)或 | = 2 k( kZ)终边在 x 轴上的角的集合 | = k180(kZ) 或 | = k( kZ)终边在 y 轴上角 | = 900+k180(kZ)
12、 或 | = +k( kZ)11nnnqS- 6 - .2kZ第一象限上所有角组成的集合 |k360 900+k360(kZ)第二象限上所有角的集合 |900+k360 1800+k360(kZ)第三象限上所有角的集合 |1800+k360 2700+k360(kZ)第四象限上所有角的集合 |2700+k360 ( k+1)360(kZ)“锐角”形成的集合：表示为 |0 900“小于 900的角”形成的集合：表示 | 900二、弧度制及相关公式：在半径为 r 的圆中，长度为 l 的圆弧对圆心角 的大小是 弧度。即| | (rad)。弧长公式：l| |r，lr lr扇形面积公式：S 扇形 lr
13、|r212 12角度弧度互换： 18080,()57.3rad 三、任意角的三角函数定义：设 是平面直角坐标系中一个任意角，角 的终边上任意一点 P(x，y)，它与原点的距离为 (r0) ，那么角 的正弦、余弦、正切分别定义为 sin ，cos ，tan yr xr，yx四、一些特殊角的三角函数值对照表：0 6432345632sin0 121 210 10co1 320 230 1tan0 1 3不存 在 310 不存 在 0五、同角三角函数的基本关系式及重要变形：(1)平方关系：sin 2cos 21. R(2)商数关系： tan . sincos(3)常用的变形公式： sin2 cos
14、2 1，sin 2 cos 2 1(sincos)212 sincos(4) 1tantsinco六、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限。 ”+42rxy- 7 -k2(kZ)、 、 可以归结为 k (kZ)，其中 k 为奇数，函数名变为其余名函数；k 为2 2偶数，函数名不改变。符号取原来函数值的符号，符号符合三角函数值的符号规律。第一组：sin (k 2)= sin ，cos(k2)= cos ，tan(k2)= tan ；第二组：sin( )sin ，cos()cos ，tan( )tan ；第三组：sin(+)sin ，cos(+)cos ，tan(+)tan ；第四组：sin ()=
15、 sin ，cos( )= cos ，tan( )=tan ；第五组：sin( )=cos ， cos( )=sin第六组：sin( )=cos ， cos( )=sin 第七组：sin( )=cos ， cos( )=sin 第八组：sin( )=cos ， cos( )= sin七、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:sin( )sin cos cos sin sin( )sin cos cos sin cos( )cos cos sin sin cos( )cos cos sin sin tan() tan( ) tan tan1 tantan tan tan1 tantan八、二倍角公式
16、及其变形公式:sin22sincos ， cos2cos 2sin 22cos 2112sin 2 ，tan2 2tan1 tan2 ；sin 2sin cos ，2，cossi变形公式： ttan1tanang九、辅助角公式：函数 f()acosbsin(a，b 为常数) ，可以化为 f() sin()，a2 b2或 f() cos()，其中 ， ， ， 所在象限由 a、b 的符号确定。a2 b2十、三角函数及其图象：ysinx 在0,2 图像，描出五个关键点(0,0)、 、( ，0)、 、(2，0）(2，1) (32， 1)y cos 在 0,2图像，描出五个关键点 (0,1)、,0、(
17、， -1)、 (2，1)十一、利用函数 ysin x 的图像变换得到 yAsin( x )的图像：方法一：22332cos=sin=1cos,- 8 -十二、正弦定理： 2R ， R 是ABC 外接圆半径asinA bsinB csinC 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。 ；a2RsinA，b2RsinB，c2R sinC； sin A ，sinB ，sin C ，2R b2R c2RabcsinAsinBsinC，asinBbsin A，bsinC csinB，asin CcsinA 。十三、余弦定理：a 2b 2c 22bccosA；b
18、 2a 2c 22accosB；c 2a 2b 22abcos C. 求角公式：cosA cosB cosCb2 c2 a22bc a2 c2 b22ac a2 b2 c22ab已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。十四、已知 a，b 和 A 解三角形：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 absin A absinA bsinAa b ab ab ab解 无解 一解 两解 一解 一解 无解三、解析几何一、线段中点坐标公式： 12y二、两点间距离公式： ，2211()()ABx三、斜率计算公式： tank四、直线方程： （A,B 不全为 0）0AxByC- 9 -五、平
19、行线、垂直线系方程六、点到直线的距离、平行线间距离公式 七、两直线的夹角公式： 12tank八、圆的一般方程，标准方程，过圆上一点圆的切线方程( )圆心（ ）半径20xyDEF240EF,2DE24DEFr九、椭圆的标准方程（1）通径： ；（2） ；（3） ， 特殊地 时ba12MFCac12tanMFSb12FM2Sb- 10 -（4）特殊地 时， （5）12MF122MFbcSCa 24MNFCa十、双曲线的标准方程（1）通径： ；（2） ；（3） ， 特殊地 时ba21e12cotMFSb12FM2Sb（4）特殊地 时， （5）12MF12MFSCa 24MNFCa十一、抛物线的标准方程
20、（1）通径：2p （2）开口向右的焦点弦长公式： 12xp（3）两个直角的结论（自己补上）重点：圆锥曲线的弦长公式 2211()4ABk四、立体几何一、几个比较常用的结论：1、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.2、过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直.3、过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.4、过直线外一点有无数多个平面与已知直线平行.5、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.6、过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直.- 11 -lCABlPABO7、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面.8、垂直于同一条直
21、线的两个平面平行.9、垂直于同一个平面的两个平面的位置关系可以是：平行或相交.10、平行于同一个平面的两个平面平行，平行于同一条直线的两条直线平行.11、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面.12、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另外一个.13、夹在两个平行平面内的两条平行线段相等.14、过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.15、两条直线被三个平行平面所截，截得的线段成比例.二、易错易混概念及部分结论：1、两条直线的夹角范围是_.2、两条异面直线的夹角范围是_.3、直线与平面所成角的范围是_.4、斜线与平面所成角的范围是_.说明：（1）斜线与平
22、面所成的角实际上是斜线与其在平面内的射影所成的角.（2）斜线与平面所成的角是这条斜线与平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.（3）直线 m 与某平面平行，则直线 m 与该平面的距离就是直线 m 上任一点到平面的距离.三、二面角概念及部分结论：二面角的平面角的找法：过棱上一点，分别在二面角的两个平面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角。. （1）做出二面角的平面角时要注意：顶点必须在棱上，两条射线必须分别在两个平面内，且都与棱垂直，二面角的大小与平面角的顶点在棱上的位置无关，因此，常选用棱上特殊的点作为平面角的顶点，如：端点或者中点是经常找得位置.四、证明平行、
23、垂直的定理（一）线线平行0,2(,(0)2, 1,2 3lBAClBCBABC （ 2） 如 图 ： 二 面 角 是 它 的 平 面 角 .则 有 ： 平 面 平 面 ，平 面() 二 面 角 的 取 值 范 围 是 ： 04 .平 面 角 是 直 角 的 二 面 角 叫 做 直 二 面 角 ， 也 称 为 两 平 面 垂 直, .lPAPBP（ 5） 二 面 角 内 有 一 点 垂 足 为 点 垂 足 为点 ， 若 则 二 面 角 的 大 小 为 ：- 12 -公理 4：_在三角形中有中点时，要构造_在平行四边形中通过证明一组对边平行且相等，得出_线面垂直的性质定理：若 ，则_,ab线面平行
24、的性质定理：若 ，则_/l面面平行的性质定理：若 ，则_,ab(二)线面平行线面平行的判定定理：若 ，则_/,ab面面平行的性质定理：若 ，则_(三)面面平行面面平行的判定定理：若 ，则_,/aboab推论 1：若 则_, ,abo推论 2：若 是异面直线， ，则_/,/传递性：若 ，则_/,/(四)线线垂直线面垂直的定义：若 ，则_,ab若 ，则_/,abc三垂线定理：若 ，则_,AOBl三垂线逆定理：若 ，则_(五)线面平行线面垂直的判定定理：若 ，则_,lababo， ，面面垂直的性质定理：若 ，则_,ll若 ，则_/,ab若 ，则_(六)面面垂直面面垂直的判定定理：若 ，则_,a定义法
25、：证明二面角的平面角是直角，就可以得出二面角的两个半平面垂直五、线面的位置关系- 13 -2PB C A1、两条直线的位置关系：_2、直线与平面的位置关系：_3、平面与平面的位置关系：_六、常见定理及结论1、平面的基本性质推论推论推论2、射影长定理：若 ，则_,POAB3、最小角定理：PA 为 的一条斜线， , , 是 PA 与 内所有直线所成的角中的PAPO最小角。4、角平分线定理：（1）若 P 为 外的一点， , ,则点 P 在 内的射影 O 在 的角平分线BACCBAC上。（2）若 P 为 外的一点， ,点 P 到 的两边 AB,AC 的距离相等，即 PM=PN ,则点 P 在BA内的射
26、影 O 在 的角平分线上。5、三面角余弦定理6、正方体的结论：如图若其棱长为 a,则正方体的对角线长为_正方体的体对角线与和它异面的面对角线的夹角为_（ ）正方体的面对角线的夹角： 与 AD1 _, 与 _， 与 _1BCD1AB1CAD7、正四面体（各棱长都相等，各面是全等的正三角形）如图相对棱互相垂直_相对棱的中点连成的线段的长为这两条相对棱之间的距离顶点在底面的射影为底面三角形的中心PA,AB,BC,CP 中点连成的四边形是_备注：正三棱锥的结论是_8、三棱锥的常见结论两个外心的结论若三条侧棱相等（PA=PB=PC）则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 O 为 ABC 的外心D若三条侧棱
27、与底面 ABC 所成的角相等（ ）,则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 OABPC=为 ABC 的外心D特殊地： 若 ABC 为正三角形，则该射影为 ABC_心。若 ABC 为直角三角形，则该射影为 ABC_心。122cos,l lBCABBC 如 图 ： 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 直 线 与 平 面 内直 线 所 成 的 角 为 =， 射 影 与 平 面 内 直 线 所 成 的角 为 A， 则 有 :- 14 - mnC11 mmnnC两个内心的结论若三棱锥的顶点 P 到底面 ABC 的三边的距离相等，则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 O 为 ABC 的内心D D若三条侧
28、棱与底面 ABC 所成的角相等（ ）,则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 OPAOBC=为 ABC 的外心D三个垂心的结论若三条侧棱两两垂直，则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 O 为 ABC 的垂心D若三个侧面两两垂直，则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 O 为 ABC 的垂心若三棱锥只有两组相对棱互相垂直，则顶点 P 在底面 ABC 内的射影 O 为 ABC 的垂心，且另一组相对棱也互相垂直。五、概率一、两个基本的计数原理：（1）分类计数原理加法原理：如果完成一件事，有 n 类方式，N=K 1+K2+Kn 种不同的方法。（2）分步计数原理乘法原理：如果完成一件事，需要分成 n 个步骤
29、，N=K 1K2 Kn 种不同的方法。二、排列数公式： 其中 m 、nN* (mn)说明：排列数公式中，当 m=n 时，有由 1 到 n 的正整数的连乘积，叫做 n 的阶乘，记作 n! 即排列数公式中，当 mn 时，排列数公式还可以写成三、组合数公式： 其中 m nN* (mn).说明：由于 还可以写作规定：四、组合数的性质公式：五、二项式定理：二项式通项公式： （第 m+1 项）展开式共 n+1 项，各项的二项式系数为：各项二项式系数和：(1)2.(1)mnPn(2.).3mnP!()2.(1).32!nP0!1!mn1!AmnnPg!mnP !10(1)2.(1)!C(+)012 0nnn
30、nmnnababaabCab- -=+1knkkCT012.2nnn012,.nC- 15 -奇数项与偶数项的二项式系数和相等都为 12n-在二项式展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等有关系数：例 已知 72701(12)xaxax-=+各项系数和： _0127a+常数项： _0=奇数项的系数和： _0246aa=偶数项的系数和： _137+六、事件及概率事件间的关系 事件间的运算 符号表示包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件A(或称事件 A 包含于事件 B) BA (或 AB)相等关系 若 BA，且 AB，那么称事件 A 与事件 B 相等
31、AB并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件( 或和事件) AB (或 AB)交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件( 或积事件) AB (或 AB)互斥事件 若 AB 为不可能事件，那么称事件 A 与事件 B 互斥 AB对立事件 若 AB 为不可能事件，A B 为必然事件，那么称事件 A 与事件B 互为对立事件 A 与()()PPU互 斥 事 件 满 足 概 率 加 法 原 理 ： I相 互 独 立 事 件 满 足 概 率 乘 法 原 理 ： A=B(0,12.,)knknpqn贝 努 利 公 式 ： P()=C其 中 ，m古 典 概 型 ： A
