1、1知识与技能 掌握平面的法向量的概念及性质 理解平面的向量表示 2过程与方法 用向量的观点认识平面、利用平面的法向量证明平行或垂直问题 3情感态度与价值观 培养学生转化的数学思想，增强应用意识,重点：平面法向量的概念及性质 难点：利用法向量法解决几何问题,平面的法向量从大纲上要求是了解，但实际上应用较广泛，如判定平面的平行或垂直问题，可转化为研究其法向量的平行或垂直问题；求线面角、面面角问题、距离问题都可结合平面的法向量解决因此在学习时适当提高要求，理解法向量的求法及简单应用 给定一个点A和一个向量a，那么过点A的向量a为法向量的平面是确定的，平面的向量方程为a0(M为平面内任一点),设直线l
2、的方向向量为u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则luvuv0a1a2b1b2c1c20；luvukv(kR)a1ka2，b1kb2，c1kc2. 三垂线定理及逆定理这两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明这是因为由三垂线定理及其逆定理的证明过程可知：只有平面内的直线，若能满足和斜线的射影垂直，才能保证和斜线与射影所在平面垂直，只有线面垂直才能保证线线垂直,三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直，在引用时要清楚以下问题：(1)从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”；其逆定理的条件是“和斜线垂直”(2)从功能上看，三垂线定理用于
3、解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题；逆定理正好相反,1已知平面，如果一个向量n的基线与平面垂直，则向量n叫做_3设n1、n2分别是平面、的法向量， 或与重合_； _.,4如果一条直线和_垂直，那么这条直线垂直于这个平面 5如果在_内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的_垂直，则它也和这条_垂直；反之，如果和这个平面的一条_垂直，那么它也和这条斜线的_垂直,分析 解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量,说明 求一个平面的法向量一般有两种方法(1)几何法：利用几何条件找出一条与平面垂直的直线，在其上取一条有向线段即可 (2)代数法
4、：即坐标法，步骤如下 ： 设出平面的法向量n(x，y，z) 找出平面内的两个不共线向量v1，v2.,若本例条件不变，求平面SBD的一个法向量 解析 同例中坐标系，则B(0,1,0)，,例2 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M，分别为棱BB1、CD、AA1的中点 (1)证明：C1M平面ADE； (2)证明：平面ADE平面A1D1F.,分析 因为是正方体，所以此题可利用向量的坐标运算来解,如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点 (1)求AE与D1F所成的角； (2)求证AE平面A1D1F.,例3 在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD.求证A
5、DBC. 分析 要证明ADBC，根据三垂线定理，只需证明AD在平面BCD内的射影和BC垂直，因此，可作AO平面BCD于O点，问题即转化为证明ODBC.,解析 方法一：如图所示，作AO平面BCD于O点，连结BO、CO、DO，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD上的射影,ABCD，BOCD(三垂线定理的逆定理)， 同理COBD，于是O是BCD的垂心 DOBC，于是ADBC(三垂线定理),说明 应用三垂线定理证明两异面直线垂直，关键是确定其中一条直线在另一条直线所在平面上的射影,例4 如图所示：正方体AC1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点 求证：
6、平面AMN平面EFDB.,分析 根据面面平行的定义可证一个面中的两条相交直线与另一个面中的两条相交直线对应平行，也可以证明这两个平面的法向量平行,BEEFE， BE、EF平面EFDB， 平面AMN平面EFDB. 方法二： 如图，分别以DA、DC、DD1所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为a， 则A(a,0,0)，A1(a,0，a)， D1(0,0，a)，B1(a，a，a)， B(a，a,0)，C1(0，a，a),且ANNMN，BEDBB， 平面AMN平面EFDB. 说明 本题方法一和方法三的证明依据是面面平行的判定定理，用向量法使逻辑问题算法化，方法二主要用法向量来确
7、定平面本题也可用共面向量定理，证明AM平面EFDB，AN平面EFDB.,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：平面ADE平面B1C1F. 解析 建立如图所示的直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2，2)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，,例5 在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E、F分别是AC、AD的中点求证：平面BEF平面ABC. 误解 建立如图所示的空间直角坐标系,可得EF平面ABC， 平面ABC平面BEF. 辨析 建立适当的空间直角坐标系，认真细心的计算，
8、问题可正确解决,EFAB，EFBC. 又ABBCB，EF平面ABC. 又EF平面BEF， 平面ABC平面BEF. 方法二：BCD90，CDBC. 又AB平面BCD，ABCD. 又ABBCB，CD平面ABC，,平面BEF平面ABC.,一、选择题 1若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则 ( ) Al Bl Cl Dl与斜交 答案 B 解析 u2a，ua，la.,2已知ABC90，BC平面，AB与平面斜交，那么ABC在平面内的射影是 ( ) A锐角 B直角 C锐角或直角 D锐角或直角或钝角 答案 B 解析 设B，C在平面内的射影分别为B，C，则BBCC为矩形，BCBC， BCAB，由三垂线定理BCAB，故选B.,3如果一条直线l与平面内的两条直线垂直，那么l与的位置关系是 ( ) A平行 B垂直 Cl D不确定 答案 D 解析 直线和平面可能的位置关系是平行，垂直，在平面内，故选D.,二、填空题 4设两条不重合的直线a，b的方向向量分别是e1，e2，平面的法向量是n，有下面命题：答案 解析 对，有b，不正确 易判断，正确,答案 通过点A且与向量n垂直的平面,三、解答题 6如图，E，F，G，H分别是所在棱的中点，求证：平面AEF平面C1GH.,
