1、,第 六 讲. 薛定谔方程的讨论波包扩展的时间量级我们从所举的例子可以估算到波包扩展的时 间量级 人： 亿年 尘粒： 万年 电子： 秒,波函数随时间的演化可用Green函数来实现。格林函数的含义是： 时刻，粒子处于 ，则 时刻， 处发现粒子的几率密度振幅就是 ，即,B粒子数守恒在非相对论的情况下，波函数应满足方程这即要求，凡满足Schrodinger eq.的波函数，必须满足上式。若取,则 称为几率流密度矢。这即为几率守恒的微分 形式。,C. 多粒子体系的薛定谔方程设：体系有 个粒子，质量分别为 ，所处的位势为 ，相互作用为 ， 则其中,. 不含时间的薛定谔方程，定态问题我们已介绍一些极为有用
2、的特例，即位势与 时间无关 。（1） 不含时间的薛定谔方程由于H与t无关，可简单地用分离变数法求特解。,即H与t无关时，含时间的薛定谔方程的特解为：其中 方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称为能量 本征方程。根据态叠加原理,是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可表为,通常称 （其中 ）为定态波函数。对体系可按各种定态波函数展开来表示。但 只有按自身的定态波函数展开时，系数 C 才与t 无关。否则与t有关。（2）定态：A. 定态定义：具有确定能量的态，称为体系的定态，或者说，以波函数,B. 定态的性质：若体系Hamiltonian与t无关， 则1体系
3、的几率密度不随时间变化，几率流 密度矢的散度为0（即无几率源）。这表明，在任何地方都无几率源，空间的几率 密度分布不变。,2几率流密度矢，不随时间变化。3. 任何不含 t 的力学量在该态的平均值不随 时间变化。,4. 任何不显含 t 的力学量在该态中取值的 几率不随时间变化。,2.6 测不准关系由于粒子应由态函数 来描述。因此， 就不能像经典那样以每时刻 ， 来描述（事 实上由前一节也看出，自由粒子的动量并不一定 取一个值）。但是否仍能像经典那样在 处发 现粒子具有动量 呢？,W.Heisenberg指出：当我们测量客体的 动量如有一测不准度 （即客体动量在这区 域中的几率很大），我们在同时，
4、不可能预言 它的位置比 更精确。也就是说，在同一 时刻测量动量和位置，其测不准度必须满足类似这称为Heisenberg测不准关系。,应该注意：这是实验的结果; 当然也是波 一粒两象性的结果；自然也是波函数几率解释 和态叠加原理的结果。我们将从几个方面来论述它: （1）一些例子：A. 具有确定动量 （一维运动）的自由粒子，是以来描述，其几率密度,所以，对任何 处的相对几率都相同。也就 是说，发现粒子在 区域中的几率都 相同。所以， 的不准确度为 ，虽 ， 但不违背测不准关系。B如一个自由粒子是由一系列沿x方向的 平面波叠加而成的波包描述。设：k很小， 变化很缓慢，可近似取为,所以，,这是具有一定
5、形状沿x方向传播的波包。波 包的极大值位置为，所以它移动的速度 即粒子的速度，如前述称为群速度。在 时，位相为,在 时，位相也为 所以，位相传播速度 ， 如前述称为相速度。这个波包扩展度的区域不是任意小，即,于是有所以要波包仅局限于空间一定区域，相应 的扩展度不可能任意小；当 的扩展度一定时， 那波包的扩展度也不可能任意小。（2）一些实验：A位置测量：一束电子平行地沿 方向 入射，通过窄缝 ，从而测出 方向的位置。在方向有一不确定度y=a，而人们认为,但事实上，通过缝后，在不同位置接收到的电子数的多少显示出干涉图象（电子数的大小），这一单缝干涉的第一极小为即通过单缝后，电子在 方向的动量不再为
6、 0，,而在0附近有一宽度所以，当测量y的位置越精确（即a越小）， 那动量在y方向越不精确，它们的精确度至少要 满足B用显微镜测量电子的位置：一束具有确 定动量 的电子沿x轴运动。用显微镜观察被电 子散射的光束来测量电子的位置。但成的像是一 衍射斑点。所以，显微镜的分辩率为（即电子位,置的精度）事实上，光子是一 个个到达屏上（ ）,（3）测不准关系是波一粒两象性的必然结果因波粒两象性的实验事实，要求用波函 数来描述物质粒子，且要求对波函数进行几率 解释，并有叠加性。用 来描述物质粒子时，它总可以表 为由Fourier逆变换有,从Fourier变换理论知： 的扩展范围 （即有意义的区域）和它的富
7、氏变换 所扩 展的范围不能同时任意小。几率解释态叠加原理给出了Fourier变换 理论用在量子力学波函数时的物理含意。,（4）能量时间测不准关系A能量时间测不准关系：在狭义相对论 中， ， 都看作四度矢，所以有 测不 准关系，即推测 也应有。当固定t时，有,现固定x，有B能量时间测不准关系的物理含意1在空间固定处，发现体系如有一不确 定的时间间隔t，那该体系的能量必有一扩展度E，且有 。,例如：若一个自由粒子的波包宽 ，它通 过 所需时间 。所以，在间隔 内，都有可能在 处发现粒子。由所以，这一自由粒子波包的能量并不是取确 定值，而是有一扩展度。,2体系几率分布发生大的改变需时间t， 那体系的
8、能量不确定度为 ，使例1：定态：其几率分布不随时间变，所以 要使这一分布发生变化，则要求 ，所以（即具有确定能量）。例2：若体系的波函数为,所以几率分布在 和 之 间振荡，振荡周期 。所以体系几率分布发生明显变化的时间间隔， 即 。,3若体系能量有一不确定度E，体系 保持不变的平均时间不小于例：不稳定体系的能级有一定宽度 ， 所以，平均寿命 。（5）一些应用举例：测不准关系可用作一些问题的数量级的估计A类氢离子的基态能量估计：设：类氢离子的电子轨道半径为 r（在一,平面中），所以，不确定度 。因此， 于是， 由 所以，,B. 考虑重力下粒子的“静止”现作一简单的估计: 经典“基态”是静止的。
9、而量子粒子其位置有一不确定度 ，动量也有 一不确定度 。所以，,所以，对于经典物理学，则认为 z=0。而对于 量子粒子则为i. 尘粒： , ;ii. 电子： 。C. 介子质量的预言核子与介子场相互作用而导致与另一核 子作用。如核力是通过核子交换新的量子（介 子）来实现。若该介子的静止质量为，则 核子在发射前后有一能量不确定度（改变），,i.,其最小的值为 。因此时间有一（最大） 不确定度（由于动能改变没计入，所以能量改 变以最小估计。因而时间不确定度，即体系保 持不变的平均时间是最大估计）即 的范围内的任何时间发射介 子都有较大的几率。可在这一段时间内，任一 时间发射，可移动的最大距离或在最远
10、处而被,另一核子吸收（下一时刻将发射另一介子）， 所以二核子交换一个介子的相互作用的最大力 程（即介子的康普顿波长的 ）。 实验测得核力力程为1.4fm。所以，,即得（实验值为139MeV）就我个人的看法： 测不准关系是对两个物 理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定 度）关系的约束，它不是测量的影响。,第三章 一维定态问题 现在从最简单的问题来应用所得的原理和方 程：一维，不显含时间的位势且位势有一定性质时，如则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题 是解决三维问题的基础。,3.1一般性质设粒子具有质量m，沿x轴运动，位势为 ， 于是有（1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态）， 一般
11、是不简并的。简并度（degeneracy）：一个力学量的某个 测量值，可在 n 个独立的（线性无关的）波函 数中测得，则称这一 测量值是具有n 重简并度。,如某能量本征值有 n 个独立的定态相对应，则 称这能量本征值是 n 重简并的。证：假设 , 是具有同样能量的波函数(1)(2),从而得 于是 (c是与 x 无关的常数)对于束缚态 （或在有限区域有某 值使 ），所以 c0。从 而有,若 不是处处为零，则有应当注意:. 分立能级是不简并的，而对于连续谱时，,若一端 ，那也不简并。但如两端都不趋于0 （如自由粒子），则有简并。当变量在允许值范围内（包括端点）， 波函数无零点，就可能有简并存在。（
12、因常数 c0）。当 V(x) 有奇异点，简并可能存在。因 这时可能导致 处处为零。,推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可保留一相因子）。证 令 （ 都是实函数） 则,但对束缚态，没有简并，所以只有一个解， 因而 Rn 和 In 应是线性相关的，所以因此，,（2）不同的分立能级的波函数是正交的。（1）（2）,所以 从而证明得。 （3）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列， 一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值 范围内有n个节点（即有n个x点使 ，不 包括边界点或远）。,所以 从而证明得。,基态无节点（当然处处不为零的波函数没 有这性质，如 （它是简并的），同样， 多体波函数由于反对称性，而可能无这性质）（4）在无穷大位势处的边条件：首先讨论 有有限大小的间断点，由方程即,由于 存在，即 存在，即 的导数存在，所以函数连续，也就是波 函数导数连续。而在位势是无穷时又如何呢？ 设,令 , 所以， 得解,要求波函数有界，所以C0， 要求波函数x=0处连续，且导数连续当E给定， 所以， ,于是，当 , 方程有解这表明，在无穷大的位势处，波函数为0， 边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导 数的连续性。当然，几率密度和几率流密度矢 总是连续的。,3.2阶梯位势：讨论最简单的定态问题,
