1、1DDEOC BO相 似 模 型 （ 一 ） （ 讲 义 ） 课前预习1. 请证明以下结论：如图 1，在ABC 中，DEBC，求证：ADEABC如图 2，在ABC 中，B= AED，求证：AEDABC如图 3，在ABC 中，B= ACD，求证：ACDABC如图 4，直线 AB，CD 相交于点 O，连接 AC ，BD，且AC BD，求证： AOC BOD如图 5，直线 AB，CD 相交于点 O，连接 AC ，BD，B = C，求证： AOC DOB 如 图 6， 在 RtABC 中， BAC=90 ，ADBC 于 点 D， 求 证 ： ADB CDA， ADB CABA A AD EB C B
2、C B C图 1 图 2 图 3D B AA C A D B D C图 4 图 5 图 62DDDE判定G 知识点睛1. 六种相似基本模型：A A AEB C B C B CDEBC B =AED BACDA 型D B C ABO OA C A D B D CACBD BC AD 是 RtABC 斜边上的高X 型 母子型2. 相似、角相等、比例线段间的关系：角相等比例线段相 似 性质 角相等比例线段 列方程（或表达边） 比的传递转移相似往往与 等信息组合搭配起来使用 多个相似之间一般会通过 来转移条件 一般碰到不熟悉的线段间关系时，常需要还原成 来观察和分析3. 影子上墙：、 、 是 影 子上
3、墙时的三种常见处理方式， 它们的实质是构造三角形相似DAGE F B CD D D HH G GE F H E F E FDEH ABC DHGABC HEFABC当两个三角形相似且有公共边时， 借助对应边成比例往往可以得到a2=bc 形式的关系 例如：“母子型”中ABDCBAAB 2=BCBDACDBCA ADBCDA 3EDFD EG 精讲精练1. 如图，在ABC 中， EFDC ，AFE =B， AE=6，ED=3，AF=8，则 AC=A， CD BCA BE FC DB C第 1 题图 第 2 题图2. 如图，ABCD，线段 BC，AD 相交于点 F，点 E 是线段 AF 上一点且满足
4、BEF=C，其中 AF=6，DF=3，CF=2，则AE= 3. 如 图 ， 在 RtABC 中 ， ACB=90， CD AB 于 点 D， BD=2，AD=8，则 CD= ，AC= ，BC= ACB CA D BF第 3 题图 第 4 题图4. 如 图 ， 在 同 一 平 面 内 ， 将 两 个 全 等 的 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 和AFG 摆 放 在 一 起 ， A 为 公 共 顶 点 ， BAC= AGF=90， 它 们的 斜 边 长 为 2， 若 ABC 固 定 不 动 ， AFG 绕 点 A 旋 转 ， AF，AG 与边 BC 的交点分别为 D，E（点 D 不与点 B 重
5、合，点 E不 与 点 C 重合） 请写出图中所有的相似三角形 ；若 BD 1 ，则 CE= .24F GCD4 555. 如图，M 为 线 段 AB 上一点，AE 与 BD 交 于 点 C，DME=A=B= ，且 DM 交 AE 于点 F，ME 交 BD 于点 G（1）写出图中的三对相似三角形；（2）连接 FG，当 AM =MB 时，求证：MFG BMGA M BE6. 如 图 ， 在 矩 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC，BD 相 交 于 点 O，E 为AD 的中点，连接 BE 交 AC 于点 F，连接 FD 若 BFA=90，给出以下三对三角形：BEA 与ACD；FED 与 DEB；
6、CFD 与ABO 其中相似的有 （填写序号） A E D FOB C7. 如图，在ABC 中，ACB=90 ，CEAB 于 点 E，D 在 AB的延长线上，且DCB=A，BD :CD=1:2， AE ，则BCD 的面积是（ ）A 13B 53C 23 D 2 53CA E B D5EANMA G DF AE8. 如 图 ， 在 RtABD 中 ， 过 点 D 作 CD BD， 垂 足 为 D， 连 接BC 交 AD 于点 E， 过点 E 作 EF BD 于点 F， 若 AB=15， CD=10，则 BF:FD= AC DB F D B E C第 8 题图 第 9 题图9. 如图，在 ABCD
7、中，E 为 BC 的中点，连接 AE，AC ，分别交 BD 于 M，N，则 BM:DN= 10. 如图，直线 l1l 2，若 AF:FB=2:3，BC:CD =2:1，则CE:AE= EG A l1F El2B C D B C第 10 题图 第 11 题图11 如 图 ， 在 ABCD 中 ， E 是 BA 延 长 线 上 一 点 ， CE 分 别 与 AD，BD 交于点 G，F则下列结论： EG AG ； EF BF ；GC GD FC BF ； CF 2 GF EF 其中正确的是GF FDFC FD12 如 图 所 示 ， AB CD， AD， BC 交 于 点 E， 过 E 作 EFAB
8、 交BD 于 点 F则下列结论：EFDABD； EF BF ； EF EF FD BFCD BD 1 ； 1 1 1 其中正确的AB CD BD BD有 AB CD EFCB F D613 如图，在ABC 中，CDAB 于 点 D， 正 方 形 EFGH 的四个顶点都在ABC 的边上求证： 1 1 1 AB CD EFCE FA H D G B14 数学兴趣小组想测量一棵树的高度在阳光下，一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米， 同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图） ，这部分影长为 1.2 米，落在地面上的影长为
9、2.4 米，则树高为 ADB C第 14 题图 第 15 题图15 小 阳 发 现 电 线 杆 AB 的 影 子 落 在 土 坡 的 坡 面 CD 和 地 面 BC 上，量 得 CD=8 米，BC=20 米 ， CD 与 地 面 成 30角 ， 且 此 时 测 得1 米杆的影长为 2 米，则电线杆的高度为（ ）A9 米 B28 米C (7 3) 米 D (14 2 3) 米716 如 图 ， 在 斜 坡 的 顶 部 有 一 铁 塔 AB，B 是 CD 的中点，CD 是水 平 的 ， 在 阳 光 的 照 射 下 ， 塔 影 DE 留在坡面上若铁塔底座 宽 CD=12 m， 塔 影 长 DE=18
10、 m，小明和小华的身高都是1.6 m， 同一时刻小明站在点 E 处， 影子在坡面上， 小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2 m 和 1 m， 则塔高 AB 为（ ）A24 m B22 m C20 m D18 mAC B DE1【参考答案】 课前预习1. 证明略； 知识点睛2. 角相等、比例线段，比例的传递与整合，比例形式3. 推墙法、抬高地面法、砍树法框内答案框 1： AC 2 BC CD ； AD2 CD DB 精讲精练1. 12， 342. 1033. 4， 4 5 ， 24. A BE DAE； DAC DEA； A BE DCA； A BCGAF 2 35. （ 1）
11、AMF BGM； AME MFE； BMD MGD；（2）证明略6. 7. A8. 3:29. 2:310. 1:211. 12. 13. 证明略14. 4.2 米15. D16. A52DDEEFB相 似 模 型 （ 一 ） （ 习 题 ） 例题示范例 1： 如 图 ， 某 一 时 刻 ， 旗 杆 AB 的 影 子 一 部 分 在 地 面 上 ， 另 一 部分 在 建 筑 物 的 墙 面 上 小 明 测 得 旗 杆 AB 在 地 面 上 的 影 长 BC 为9.6 m， 在 墙 面 上 的 影 长 CD 为 2 m同一时刻，小明又测得竖立于 地 面 长 1 m 的 标 杆 的 影 长 为 1
12、.2 m 请 帮 助 小 明 求 出 旗 杆 的 高 度 AB C解：如图，过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E ，则四边形 BCDE 为矩形 A由题意， BC=9.6， CD=2，BC=DE=9.6，CD =BE=2由题意，AE ED11.2AE=8 B CAB=AE+ EB=8+2=10旗杆的高度为 10 m 巩固练习2. 如图， 在锐角三角形 ABC 中， 高 CD， BE 相交于点 H， 则图中与CEH 相似（除CEH 自身外）的三角形有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个AA DDEH CB C第 1 题图 第 2 题图3. 如图， E 是 ABCD 的边 CD 上一点
13、， 连接 AC， BE 交于点 F 若 DE:EC=1:2，则 BF:EF= 3E M N FA FGD4. 如图， 小明在 A 时刻测得某树 B时 A时的影长为 2 m，B 时刻又测得该树的影长为 8 m，若两次日照的光线互相垂直， 则树的高度为 5. 如 图 ， 在 RtABC 中 ， BAC=90 ，ADBC 于 点 D，若BD:CD=3:2，则 AC:AB=（ ）A 32B 23AC 62D 63B D C B第 4 题图 第 5 题图6. 如 图 ， 已 知 ABCD， 过 点 B 的 直 线 依 次 与 AC， AD 及 CD 的延 长 线 相 交 于 点 E，F，G 若 BE=5
14、，EF=2 ， 则 FG 的长为7. 如 图 ， 梯 形 ABCD 的 中 位 线 EF 分 别 交 对 角 线 BD，AC 于点M，N，AD =1，BC=3，则 EF= ，MN= A DB C E B C第 6 题图 第 7 题图8. 如图，D 是 AB 的中点， AFCE ， 若 CG:GA=3:1，BC=8，则 AF= 9. 如 图 ， P 是 ABCD 的 对 角 线 BD 上 一 点 ， 一 直 线 过 点 P 分别交 BA， BC 的 延 长 线 于 点 Q，S， 交 AD，CD 于 点 R，T 有下列结论：RQA RTD； PS PD PR PB ； PQ PB ； PQ PR
15、PS PT .其中正确的是 .PT PDGA F D EC4EGADC9.如图， 在ABC 中， D 为 AC 边的中点， AE BC， ED 交 AB 于点 G，交 BC 的延长线于点 F若 BG:GA=3:1，BC=10， 则 AE= B10.11.如 图 ， 在 ABC 中，BAC=90，ADBC， 垂 足 为 D， E 是AC 上的点，若 AFBE ，垂足为 F求证：BFD=CAEFB D C5C B DE12.如图，一同学在某时刻测得 1 m 长的标杆竖直放置时影子长为 1.6 m， 同一时刻测量旗杆的影子长时， 因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地
16、面上的影子长为 11.2 m，留在墙上的影子高为 1 m，则旗杆的高度是 ADB C第 11 题图 第 12 题图13.如 图 ， 小 明 想 测 量 电 线 杆 AB 的 高 度 ， 发 现 电 线 杆 的 影 子 恰 好 落在 土 坡 的 坡 面 CD 和 地 面 BC 上 ， 量 得 CD=4 m， BC=10 m，CD 与地面成 30角，且此时测得 1 m 杆的影子长为 2 m，则电线杆的高度为 14.如 图 ， 在 斜 坡 的 顶 部 有 一 竖 直 铁 塔 AB，B 是 CD 的中点，且CD 是水平的 在阳光的照射下， 塔影 DE 留在坡面上， 已知铁塔底座宽 CD=14 m， 塔
17、影长 DE=36 m， 小明和小华的身高都是 1.6 m， 小明站在点 E 处， 影子也在斜坡面上， 小华站在沿 DE 方向的坡脚下， 影子在平地上， 两人的影长分别为 4 m， 2 m，那么塔高 AB= A第 13 题图 第 14 题图15.某兴趣小组的同学要测量树的高度在阳光下，一名同学测得一根长为 1 m 的竹竿的影长为 0.4 m， 同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上， 测得此影子长为 0.2 m， 一级台阶高为 0.3 m，如图所示，若此时落在地面上的影长为 4.4 m，则树高为 6 思考小结4. 相 似 基 本 模 型 除 了
18、 图 形 本 身 往 往 有 公 共 角 、 对 顶 角 相 等 之 外 ， 还 需 要 满 足 一 些 其 他 特 征 ， 这 些 特 征 能 够 帮 助 我 们 快 速 验 证 模型 平行线，往往配合对顶角相等（X 型） 、有公共角（ A 型） 一 组 角 对 应 相 等 ， 往 往 配 合 对 顶 角 相 等 （X 型） 、 有 公 共 角（A 型）多直角结构，往往利用互余关系得到角相等后，配合有公共角（母子型）5. 影子上墙问题的常见处理方法：推墙法、砍树法、抬高地面法， 这 三 种 方 法 的 实 质 都 是 构 造 三 角 形 相 似 ， 在 构 造 的 时 候 ， 我 们 主 要 是 想 办 法 构 造 出 来 太 阳 光 线 与 地 面 的 夹 角 7【参考答案】 巩固练习1. C2. 3:210. 4 m11. D5. 2126. 2，17. 48. 9.510.证明略11.证明略12.8 m13. (7 14. 20 m3) m815. 11.8 m
