1、中考数学专题复习 相似图形【基础知识回顾】一、 成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段，的长度分别为 m、n 则这两条线段的比就是它们 的比，即： = ABCD2、比例线段：四条线段 a、b、c、d 如果 = 那么四条线段叫做同比例线段，简ab称 3、比例的基本性质： = bd4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的 ，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位无关 即比值没有单位。】二、相似三角形：1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似2、性质：相似三角形的对应角 对应边 相似三角形对应点的比、对应
2、角平分线的比、对应 的比都等于 相似三角形周长的比等于 面积的比等于 1、 判定：基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似两边对应 且夹角 的两三角形相似两角 的两三角形相似三组对应边的比 的两三角形相似【名师提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】三、相似多边形：1、定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形2、性质：相似多边形对应角 对应边 相似多边形周长的比等于 面积的比等于 【名师提醒：相似多边形没有专门的
3、判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】一、 位似：1、定义：如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒：1、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或 2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位 r，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 】【典型例题解析】考点一：比例线段例 1 如图，已知 ABC，AB=AC=1，A=36 ，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，则AD 的长是 ，cosA
4、 的值是 （结果保留根号）考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义分析：可以证明ABCBDC，设 AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得 x 的值；过点 D 作 DEAB 于点 E，则 E 为 AB 中点，由余弦定义可求出 cosA 的值点评：ABC、BCD 均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求 cosA 时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解对应训练2如图，在ABC 中，AB=AC ，A=36 ，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D，若 AC=2，则AD 的长是（ ）A B C D515125151考点二：相似三
5、角形的性质及其应用例 2 已知ABCDEF，ABC 的周长为 3，DEF 的周长为 1，则 ABC 与DEF 的面积之比为 对应训练2已知ABCABC ，相似比为 3：4，ABC 的周长为 6，则ABC的周长为 考点三：相似三角形的判定方法及其应用例 3 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC= BC图中相14似三角形共有（ ）A1 对 B2 对 C3 对 D4 对考点：相似三角形的判定；正方形的性质例 4（1）如图（1） ，正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上，直接写出HD：GC：EB 的结果（不必写计算过程） ；（2）将图
6、（1）中的正方形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图（2） ，求 HD：GC：EB；考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质对应训练3.如图，ABCADE 且ABC= ADE ，ACB= AED，BC、DE 交于点 O则下列四个结论中，1=2；BC=DE；ABDACE；A、O、C、E 四点在同一个圆上，一定成立的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个考点：相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理4. 在锐角ABC 中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A 1BC1（1）如图 1，当点
7、 C1 在线段 CA 的延长线上时，求CC 1A1 的度数；（2）如图 2，连接 AA1，CC 1若ABA 1 的面积为 4，求 CBC 1 的面积；（3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1 长度的最大值与最小值考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质专题：几何综合题分析：（1）由由旋转的性质可得：A 1C1B=ACB=45，BC=BC 1，又由等腰三角形的性质，即可求得CC 1A1 的度数；（2）由ABCA 1BC1，易证得ABA 1CBC 1，然
8、后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CBC 1 的面积；（3）由当 P 在 AC 上运动至垂足点 D，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段AB 上时，EP 1 最小，当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点P1 在线段 AB 的延长线上时，EP 1 最大，即可求得线段 EP1 长度的最大值与最小值解答：解：（1）由旋转的性质可得：A 1C1B=ACB=45，BC=BC 1，CC 1B=C 1CB=45，（2 分）CC 1A1=CC 1B+A 1C1B=45+45=90（2）ABCA 1BC1，BA=BA 1，BC=BC 1，
9、ABC=A 1BC1， ，ABC+ABC 1=A 1BC1+ABC 1，1BCABA 1=CBC 1，ABA 1CBC 1 ，12416()(5ABCSS ABA1 =4，S CBC1 = ； 4（3）如图 1，过点 B 作 BDAC，D 为垂足，ABC 为锐角三角形，点 D 在线段 AC 上，在 Rt BCD 中，BD=BCsin45= ， 52当 P 在 AC 上运动与 AB 垂直的时候，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB上时，EP 1 最小，最小值为： EP1=BP1-BE=BD-BE= -2； 52当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使
10、点 P 的对应点 P1 在线段 AB 的延长线上时，EP 1 最大，最大值为： EP1=BC+BE=2+5=7点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系考点四：位似例 5 如图，正方形 ABCD 的两边 BC，AB 分别在平面直角坐标系的 x 轴、y 轴的正半轴上，正方形 ABCD与正方形 ABCD 是以 AC 的中点 O为中心的位似图形，已知 AC=3，若点 A的坐标为（ 1，2） ，则正方形 ABCD与正方形 ABCD 的相似比是（ ）2A B C D 1633考点：位似变换；坐标
11、与图形性质分析：延长 AB交 BC 于点 E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的对应训练5如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1： ，2点 A 的坐标为（1，0） ，则 E 点的坐标为（ ）A （ ，0） B （ C D 23,)2(2,)(2,)考点：位似变换；坐标与图形性质【聚焦中考】1已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=（ ）A B C D2525123考点：相似多边形的性质；翻折变换
12、（折叠问题） 2如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OABC的面积等于矩形OABC 面积的 ，那么点 B的坐标是（ ）14A （-2，3） B （2， -3） C （3，-2）或（-2，3） D （-2，3）或（2，-3）考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质3.在菱形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，连接 AE 交 BD 于点 F，若 EC=2BE，则 的BFD值是（ ）A B C D 123145考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质4.为了测量被池塘隔
13、开的 A， B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中ABBE，EF BE，AF 交 BE 于 D，C 在 BD 上有四位同学分别测量出以下四组数据：BC，ACB； CD，ACB，ADB；EF，DE， BD；DE ，DC，BC 能根据所测数据，求出 A，B 间距离的有（ ）A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 F考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用5如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为（4，0） ， （8，2） ， （6，4） 已知A 1B1C1 的两个顶点的坐标为（1，3） ， （2，5） ，若ABC 与A 1B1C1 位似，则A1B1C1 的第三个顶点的坐标
14、为 考点：位似变换；坐标与图形性质6如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 和DEF 的顶点都在格点上，P1，P 2，P 3，P 4，P 5 是DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形ABC 为直角三角形；（2）判断ABC 和DEF 是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为 P1，P 2，P 3，P 4，P 5 中的 3 个格点并且与ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明） 考点：作图相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定【备考真题过关】一、选择题1已知 ，则 的值是（ ）53babA B C D2942如图，AB
15、C 为等边三角形，点 E 在 BA 的延长线上，点 D 在 BC 边上，且ED=EC若ABC 的边长为 4，AE=2，则 BD 的长为（ ）A2 B3 C D 313如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3 ，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的各边上，EFACHG， EHBDFG，则四边形 EFGH 的周长是（ ）A B C D103210213考点：平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质4小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段 AB 在乙图中的对应线段是（ ）AFG BFH CEH DEF考点：相似图形5.如图，六边形 ABCDEF六边形 GHIJKL，相似
16、比为 2：1，则下列结论正确的是（ ）AE=2KBBC=2HIC六边形 ABCDEF 的周长=六边形 GHIJKL 的周长DS 六边形 ABCDEF=2S 六边形 GHIJKL6.下列 44 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A B C D7.如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，要判定ADB 与 ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）AABD= C BADB=ABC C DABABC考点：相似三角形的判定8如图，在ABC 中，EF BC， ，S 四边形 BCFE=8，则 SABC =（ ）12AEBA9 B1
17、0 C12 D13考点：相似三角形的判定与性质9.如图，在四边形 ABCD 中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD= AB，点 E、F 分别为12AB、AD 的中点，则AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为（ ）A B C D176154考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理10 （2012 钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A点 M B点 N C点 O D点 P11如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位中心，将ABO 扩大到原来的 2 倍，得到ABO若点 A 的坐标是（ 1，2） ，则点 A的坐标是（ ）A （2，4） B （ -1，-2）
18、 C （-2 ，-4 ） D （-2，-1）考点：位似变换；坐标与图形性质二、填空题14.正方形 ABCD 的边长为 1cm，M、N 分别是 BC、CD 上两个动点，且始终保持AMMN，当 BM= cm 时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为 cm2考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质15.如图，O 为矩形 ABCD 的中心，M 为 BC 边上一点， N 为 DC 边上一点，ON OM ，若AB=6，AD=4，设 OM=x，ON=y，则 y 与 x 的函数关系式为 。考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质16.如图，E 是ABCD 的边 CD 上一点，连接 AE
19、并延长交 BC 的延长线于点 F，且AD=4， ，则 CF 的长为 13CAD考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质17.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交于点 P，则 tanAPD 的值是 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义18如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度，标杆 BE 高 1.5m，测得 AB=2m，BC=14cm，则楼高 CD 为 m19.如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内 M 处的运动员林丹把球从 N 点击到了对方内的B 点，已知网高 OA=1.52 米，OB=4 米，OM=5
20、米，则林丹起跳后击球点 N 离地面的距离NM= 米考点：相似三角形的应用20.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm ，测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5m，CD=8m，则树高 AB= m考点：相似三角形的应用21. 如图，ABC 与A 1B1C1 为位似图形，点 O 是它们的位似中心，位似比是 1：2，已知ABC 的面积为 3，那么A 1B1C1 的面积是 考点：位似变换三、解答题22己知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F
21、 分别在边 BC、CD，BAF= DAE，AE 与BD 交于点 G（1）求证：BE=DF；（2）当 时，求证：四边形 BEFG 是平行四边形DFAC考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质23如图，在ABC 中，C=90 ，点 D 是 AB 边上的一点，DMAB，且 DM=AC，过点 M 作 MEBC 交 AB 于点 E求证：ABCMED考点：相似三角形的判定24如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8 ，沿直线 MN 对折，使 A、C 重合，直线 MN交 AC 于 O（1）求证：COMCBA； （2）求线段 OM 的长度考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质25.如图，在ABC 中，C=90 ，BC=5 米，AC=12 米M 点在线段 CA 上，从 C 向 A 运动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 2 米/秒运动时间为 t 秒（1）当 t 为何值时，AMN=ANM？（2）当 t 为何值时，AMN 的面积最大？并求出这个最大值考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值
