1、2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了 全国大学生数学建模竞赛章程和 全国大学生数学建模竞赛 参赛规则（ 以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载 ） 。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反 竞赛 章程和参赛 规则的 ， 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用 处 和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛 章程和参赛 规则，以保证
2、竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛 章程和参赛 规则的行为，我们将 受到严肃处理 。 我们授权 全国大学生数学建模竞赛组委会 ，可 将 我们的 论文 以任何形式 进行 公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式 发表 等） 。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（ 8 位数字组成的编号） ： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并 签名 ) ： 1. 2. 3. 指导教师 或 指导教师 组负责人 (打印并 签名 )： （ 论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。 以上 内容请仔细核对，提
3、交后将不再允许做任何修改 。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。 ） 日期： 2014 年 9 月 15日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 更多免费学习资料，请关注微博：学神资料站更多学习资料，请关注淘宝店铺： 学神资料站 https:/ 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1 创意平板折叠桌 摘要 目前住宅空间的紧张导致越来越多的折叠家具的出现。某公司设计制作
4、了一 款折叠桌以满足市场需要。以此折叠桌为背景提出了三个问题，本文运用 几 何知识、非线性约束优化模型 等方法成功解决了这三个问题 ， 得到了折叠桌动态过程的描述方程以及在给定条件下怎样选择最优 设计 加工参数，并针对任意形状的桌面边缘线等给出了我们 的 设计。 针对问题一 ，根据木板尺寸、木条宽度，首先确定木条根数为 19根，接着，根据桌子是前后左右对称 的 结构，我们只以桌子 的 四分之一 为研究对象，运用空间 几何 的相关知识 关系 ， 推导并 建立 了 几何模型。接着用 MATLAB 软件编程，绘制 出折叠桌动态变化过程图。然后 求出折叠桌各木条相对桌面的角度、各木条长度、各木条的开槽
5、长度 等数据，相关 结果见表 1。然后建立相应的 三维坐标系，求出桌角各端点坐标，绘出桌角边缘线 曲线图 ，并用 MATLAB 工具箱作拟合，求出桌角边缘线的函数关系式，并对拟合效果做 分析 （见表 3） 。 针对问题二，在折叠桌高度、 桌面直径已知情况下，综合考虑桌子 稳固性 、加工方便、用材最少 三个方面因素，我们运用材料力学等相关知识，对折叠桌作受力分析，确定稳固性 、加工方便、用材最少 三个方面因素间的相互制约关系，建立非线性 优化 模型。用 lingo软件编程，求出对于 高 70 cm，桌面直径 80 cm的折叠桌， 平板尺寸 172.24cm 80cm3cm、钢筋位置 在桌腿上距离
6、铰链 46.13cm 处 、 各木条的 开槽长度 （见表 3）、最长木条（桌脚） 与水平面夹角 71.934。 针对问题三， 对任意 给出的桌面边缘线 （ f(x)， 不妨假定曲线是对称的（否则，桌子的稳定性难以保证）， 将对称轴上 n 等份， 依照 等份点沿着木板 较长方向平行的方向下料，则 这些点即是铰接处到木板中垂线（相对于木板长方向） 的 距离 。然后修改问题二建立的优化模型，用 lingo软件编程，得到 最优设计加工参数（ 平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等 ）。最后，我们 根据所建立的模型 ，设计了一个桌面边缘线为椭圆的折叠桌 ，并且给出了 8个动态变化过程图 （见图 10） 和其具体
7、设计加工参数（见表 5）。 最后，对所建立的模型和求解方 法的优缺点给出了客观 的评价，并指出了改进的方法 。 关键字 ：折叠桌 曲线 拟合 非线性优化模型 受力分析 2 一、 问题重述 1.1 引言 创意平板折叠桌 注重于表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性。为了增大有效使用面积 。 设计师以长方形木板的宽为直径截取了一个圆形作为桌面，又将木板剩余的面积切割成了若干个长短不一的 木条 ， 每根 木条 的长度为 平板 宽到圆上一点的距离，分别用两根 钢筋 贯穿两侧的木条，使用者只需提起木板的两侧，便可以在重力的作用下达到自动升起的效果，相互对称的木 条宛如下垂的桌布，精密的制作工
8、艺配以质朴的木材，让 这件工艺品 看起来就像是工业革命时期的机器 。 1.2 问题 的提出 围绕 创意平板折叠桌的动态变化过程、 设计加工参数 ，本文依次提出如下问题： （ 1） 给定长方形平板尺寸 （ 120 cm 50 cm 3 cm ） ，每根木条宽 度（ 2.5 cm） ，连接桌腿木条的钢筋 的位置，折叠后桌子的高度 （ 53 cm） 。 要求 建立模型描述此折叠桌的动态变化过程， 并 在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的 数学 描述。 （ 2）折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌
9、的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高 70 cm，桌面直径 80 cm的情形，确定最优设计加工参数。 （ 3） 给出软件设计的数学模型 ，可以 根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可 能接近客户所期望的形状 ，并根据所建立的模型给出几个设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少 8张动态变化过程的示意图。 一、 模型假设 (1)忽略 实际加工误差对设计 的影响 ； (2)木条与圆桌面之间的交接处 缝隙 较小，可忽略 ； (3)钢筋 强度足
10、够大，不弯曲 ； (4)假设地面平整。 3 三、 符号说明 符号 意义 D 木条宽度（ cm） 缝宽 L 木板长度（ cm） W 木板宽度（ cm） N 第 n根木条 T 木条根数 木板从外起第 1个木条的长度 (cm) 木板从外起第 n个木条的长度 (cm) H 桌子高度（ cm） R 桌子半径（ cm） R 桌子直径（ cm） 桌子厚度 (cm) 第 n根木条到木板边沿的距离 (cm) 第 n根 木条顶点位置到圆面轴线径向距离 (cm) 第 n根木条与水平面的夹角 (度 ) 第 n根木条开槽长度（ cm） 四、问题分析 4.1 问题一分析 题目要求建立模型描述折叠桌的动态变化图，由于在折叠
11、时用力大小 的 不同，我们不能描述在某一时刻折叠桌的具体形态， 但 我们可以用每根木条的角度变化来描述折叠桌的动态变化 。首先，我们知道折叠桌前后左右对称，我们可以运用几何知识求出四分之一木条的角度变化。最后，根据初始时刻和最终形态两种状态求出 桌腿木条开槽的长度 。 4 4.2 问题二 分析 题目要求 从 折叠桌的稳固性好、加工方便、用材最少 三个角度，确定 设计加工参数 。我们可以从应力、支撑面积考虑稳固性， 从 开槽长度考虑加工方便，从木板长度 考虑用材最少。而它们之间又是相互制约，我们需要确定 最优 设计加工参数 ，可以建立非线性规划模型，用 lingo软件来求解最优 设计加工参数 （
12、 平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等 ） ，这里以合力的方向 （斜向上） 与 最长木条（桌腿）的夹角 方向 最 小为目标函数，以 木条所承受 应力 小于木条的许用应力 、支撑面积 大于桌面面积 、 木条的开槽长度 小于 木条本身长 为约束条件。 4.3 问题三分析 题目 要求制作软件的 意思就是 客户给定 折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状 ，将这些信息输入程序就得到客户想要的 桌子。 我们在求解最优设计加工参数时，自行给定桌面边缘线形状（椭圆、相交圆等），桌脚边缘线形状，折叠桌高度，应用第二问的非线性规划模型，用 MATLAB 软件绘制折叠桌截面图，得到自己设计的创意平板折叠
13、桌。 问题三流程图： 五、模型建立和解决 5.1 问题一的模型建立和解决 5.1.1 模型的准备 (1)符号说明 已知 f(x)、 g(x)、 h、 w d、 N、 x n 5 为求出各木条角度关系，现引入下列符号： n：木板从外起第 n个木条的长度 (cm) n：第 n个木条到木板边沿的距离 cn：第 n个木条 与桌面铰接处 到 桌 面轴线距离 cn：第 n个木条与第 n-1个木条 桌面铰接处 到 桌 面轴线距离差 n：第 n个木条与桌面 的夹角 （ 2）木条数的确定 根据题目意思， 长方形平板尺寸 ，宽 50 cm，每 根木条宽 2.5 cm，知道木条数越多，桌子越不易松动，即稳固性更好，
14、最大根数为 502.5 = 20根，考虑木条间的 间隙 和刀片的厚度 ，定为 19根，此时，缝宽 x为： = 2.518 = 0.139cm （ 3）模型近似 从折叠桌实物可以看出，桌面并非为标准的圆面，圆面边上是锯齿形状，考虑到锯齿长度和圆半径的差异，我们假定圆为过木条中点的圆，在作示意简图和实际计算时，都以木条端点中点为木条与桌面接触点。 另外，折叠桌以材料最省为设计原则，在木板 尺寸 一定情况下，应该做到桌面尽可能大，这里我们取木板宽度为桌面直径。 5.1.2 模型的建立 为帮助理解，我们做折叠桌子两个最长脚（即在未折叠时的木板的同一侧最长木条）示意图，如图 1所示： 图 1 折叠桌子两
15、个最长脚截面图 (其中 A点为最长木条一端到水平面的距离，由于桌实际高度包括桌面厚度 3cm，则 A点到水平面距离要减去 3cm) BC = l12 (h3)2 其中 l1 为 57cm，因为木板厚度为 3cm,有 AD为两倍厚度，因为 l1 +AD +DE = L =120cm 则知 l1为 57cm。记 l = 1 h-3 A 点 B 点ia C 点 D 点 E 点 6 下面，我们作出平板俯视示意图，如下图 2所示 图 2 平板俯视示意图 对于第 n个木条到木板边沿的距离 an，应该包括（ n-1）条缝宽，（ n-1）根木条长度以及它自身一半的长度，则有： an = ( 1) +( 1)
16、+ d2（ n = 2， 3， ， 10） 从几何关系上，应用勾股定理可以得出： cn = (w2)2 (w2 an)2 则 第 n个木条与第 n-1个木条顶点位置到圆面轴线径向距离差 ： cn = cn+1 cn 第 n根木条长度 ： ln = L2cn 为了求解木条旋转角度 n，我们 沿着钢筋的角度，作出折叠凳示意简图，如图 3所示： 图 3 折叠桌 示意简图 1 2 3 c1 c2 0.50.5h c3 第 n根木条 第 n-1根木条 an1 an cn cn1 0.5（ 1） 0.5（ 2） 0.5（ 3） 0.5（ 4） 7 由上图知 1 = arctan0.5l 2 = arcta
17、n 0.5l 13 = arctan 0.5l 1 2 同理可得 n递推公式 ，即每根木条旋转角度： = arctann2l (cn+1cn)n1 （由图 3知， l (cn+1 cn)n1 可能为负值，说明 n为钝角 ） 开槽长度 kcaolongn = 0.5（ hh0）sinn(0.5l1 cn)n11 综合以上所分析，可建立如下几何模型： n = arctann2l (cn+1cn)n1 kcaolongn = 0.5(hh0)sinn (0.5l1 cn)n11ln = L2 cn5.1.3 模型的解决 （ 1）动态变化过程 动态变化过程 ： 由于用力大小未知，折叠桌与时间的关系不能
18、确定，我 们只能确定桌子从平板到折叠完成后这一过程中，任一角度的桌角位置， （程序见附录 problem1_3.m） 例如当最长木条转过 60、 65、 70，通过程序 可以得到各木条相对桌面旋转角度，如表 1所示： 0.5（ 6） 0.5（ 7） （ 5） 8 表 1最长木条转过 、 、 时各木条转动角度 夹角为6 0 夹角为6 5 夹角为7 0 第1 根 60 65 70第2 根 71.5106 76.8219 82.0272第3 根 79.728 84.9828 90.063第4 根 85.977 91.0414 95.8979第5 根 90.7653 95.6054 100.2279第
19、6 根 94.3835 99.0138 103.1289第7 根 97.0267 101.484 105.7333第8 根 92.8285 103.1591 107.2893第9 根 99.8766 104.1306 108.1893 （ 2） 长槽长度 、木条长度、旋转角度 根据以上建立的模型，运用 MATLAB 软件，编程计算每根木条长度、旋转角度、长槽长度结果如下表 2所示： 表 2 木条长度、旋转角度、长槽长度 第1 根 第2 根 第3 根 第4 根 第5 根 第6 根 第7 根 第8 根 第9 根 第1 0 根111.1 111.38旋转角度 73.719 85.833 93.737
20、 99.39 103.5438.765 37.338 36.287 35.563106.59 108.78 110.2535.14 3514.793 16.164 17.128 17.702 17.892木条长度 52.089 46.609 43.154 40.6512.994卡槽长度 0 4.5018 7.9434 10.73从表 1可以看出，第一根木条卡槽长度为 0cm,符合实际。 下面我们绘制木条长度（如图 4所示），开槽长度（如图 5所示）： 图 4 木条长度图 图 5 开槽长度柱形图 （ 3） 桌脚边缘线 的描述 为形象描述 桌脚边缘线 ，可以用 MATLAB绘图，因此，首先建立三维
21、坐标系，我们以一个桌角为坐标原点，两桌角（平板状态时为异侧木条）连线为 x轴，另两桌角（平板状态时为同侧木条）连线为 y轴，竖直方向为 z轴，如图 6所示 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200102030405060序号木条长度（单位：cm）0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200102030405060序号开槽长度（单位：cm）9 图 6 坐标示意图 a. x坐标的确定 考虑到编程的需要，这里直接以数组的形式表示木条桌脚 x坐标，记为： x = x1,x2,x19 因为每根木条的长度都垂直于 x轴（如坐标中红线所示），可以得到： x1 = 0 x2 = x
22、1 +d+x x3 = x2 +d+x = 1 +d+(n = 2,3,19) b. y坐标的确定 将桌子投影到 xoy平面，根据几何关系可以得到木条桌脚 y坐标 y = y1,y2,y19 其中： n = 0.5l cosn ln cosn 0.5( h0)tann c. z坐标的确定 将桌子投影到 zoy平面，根据几何关系可以得到木条桌脚 z坐标 z = z1,z2,z19 其中： = ( 0)n sin ( = 2,3,19) 综合以上分析，运用 MATLAB编程 （详见 problem1_3.m） ，绘制桌角边缘线如图 7：z z y z x z O z 0.5（ 9） 0.5（ 8）
23、 0.5（ 10） 10 图 7 桌角边缘线 为了更精确的描述桌角边缘线，我们可以调用 MATLAB拟合工具箱，用多项式拟合得到桌角边缘线函数 和拟合图形，如图 8所示：图 8 桌角边缘线函数和拟合图形 拟合函数： Linear model Poly33: f(x,y) = p00 + p10*x + p01*y + p20*x2 + p11*x*y + p02*y2 + p30*x3 + p21*x2*y + p12*x*y2 + p03*y3 Coefficients (with 95% confidence bounds): p00 = -5.983e-007 (-0.0002297,
24、0.0002285) p10 = 1.153 (1.15, 1.155) p01 = 0.0173 (0.01688, 0.01771) p20 = -0.02427 (-0.02431, -0.02422) p11 = 0.02388 (0.02366, 0.02411) p02 = 0.006276 (0.006155, 0.006397) p30 = -4.035e-018 (-1.075e-007, 1.075e-007) 0102030405005101505101520xyz11 p21 = -0.0005028 (-0.0005075, -0.0004981) p12 = -4.
25、395e-017 (-6.067e-007, 6.067e-007) p03 = -3.146e-005 (-4.434e-005, -1.859e-005) 我们还可以得到拟合效果的分析，如表 3所示： 表 3 拟合效果的分析 拟合类型 误差平方和 复 相关系数 自由度 协方差 均方根误差 三维拟合 9.2402108 1.000 9 1.0133104 0 当 误差平方和 和 均方根误差 越小， 复 相关系数 越接近于 1时标明拟合的越好。 由上表可知， 误差平方和 为 9.2402108， 均方根误差为 0，都很小， 复 相关系数 为 1，说明拟合效果很好。 5.2 问题二 的模型建立和
26、解决 5.2.1模型准备 (1)符号说明 dd:木条厚度 :木条宽度 :木条根数 :木条间的 缝隙 s：钢筋位置到桌面圆心的径向距离 H:钢筋位置到桌面的径向距离 :木板长度 S:支撑面积 （ 2）参数确定 木条根数 (取整 )： = 缝隙 : = 1 按照问题一同样的处理方法，我们可以得到 ： 第 n个木条 与桌面铰接处 到 桌 面轴线距离 ： cn = (R2)2 R2 (n1)(d +x)2 则 第 n个木条与第 n-1个 第 n个木条 与桌面铰接处 到 桌 面轴线距离 ： cn = cn+1 cn 再由几何关系可以得到第一根木条与水平方向夹角 1： 1 = arcsin (hl1) 0
27、.5（ 11） 0.5（ 12） 0.5（ 13） 12 钢筋位置到桌面的径向距离 H: H = ssin (1) 每根木条旋转角度 : n = arctan sscos(1) (+1)n1接着，和第一问相同的处理方法，我们可以得出开槽长度： = n( 2 ) 5.2.2模型 的建立 （ 1）目标函数： 我们知道，钢条对每根木条都有作用力，当桌子上有物品时，该作用力表现为支持力，方向朝上，为帮助理解，我们作出桌子受力示意图如图 9所示： 图 9 桌子受力示意图 = + = +（粗体表示矢量） 而 、 可由每根木条受到的钢筋对它的作用力的分解再加和得到： = F0cos (n) = F0sin
28、(n) (其中 F0为钢筋对木条的作用力，我们知道该作用力大小相等，这里用 F0表示 )于是，我们可以得到合力的方向与竖直方向的夹角： = arctanF0 cos(n)F0 sin(n)= arctancos(n)sin(n)为了使桌子稳固，合力的方向与桌腿方向（斜向上）应该尽量靠近，也就是它们之间的夹角 = 90 (1 )尽量小 ，我们可以以此为目标函数： min = 90(1 ) = 90arcsin(hl1)arctancos(n)sin(n) Fy Fx Fh Fn Ft 0.5（ 14） 0.5（ 15） 0.5（ 16） （ 17） （ 18） 13 （ 2）约束条件 ： 应力约
29、束 剪应力是指 物体由于 外因 （受力、湿度变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的 内力 ，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从形变后的位置回复到形变前的位置 。 抗拉强度即表征材料最大均匀塑性变形的抗力，拉伸试样在承受最大拉应力之前，变形是均匀一致的，但超出之后， 材料 开始出现缩颈现象，即产生集中变形 ， 对于没有（或很小）均匀塑性变形的 脆性材料 ，它反映了材料的 断裂 抗力。 在这里我们知道受力最大的是四个桌角 ，如果四个桌角能够承受剪应力和 抗拉强度 ，则可以说明桌子是稳定的。 根据定义，我们可以得到剪应力和 抗拉强度 的数学表达式。 剪应力 ： = dd 抗拉强度 ：
30、= dd 其中 b为木条宽度， dd 为木条厚度。在 要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力 。所以 应该有 剪应力 小于许用剪应力， 抗拉强度 小于许用抗拉强度。即： 其中 为许用剪应力， 为许用抗拉强度。 支撑面积 桌面支撑面积 指 桌子 四条腿所在点按直线连接的形成几何的面积 （这里的支撑面积为矩形），支撑面积越大，桌子稳固性越好。在这里我们以桌面支撑面积大于桌面面积为约束条件。 支撑面积 S: S = ( 21)+21cos1 应该满足： S 2 即： S( 21)+211 2 长度限制 结合实际情况，第 n根木条的开槽长度不可能比
31、木条本身长，则有： 2n ( 2 ) n5.2.3模型 的解决 运用 lingo 软件，编写程序（ 详 见 problem2），我们可以得到各木条与桌面夹角 及各木条开槽长度如下表 4所示： 表 4 各木条与桌面夹角及各木条开槽长度 开槽长度（cm） 相对桌面角度（rad）第1根 0 1.255484第2根 4.018563 1.370394第3根 9.873059 1.520353第4根 14.50613 1.625663第5根 18.27227 1.703454第6根 21.30416 1.761349第7根 23.6704 1.804035第8根 25.41221 1.833991第9根
32、 26.55557 1.853039第10根 27.11605 1.862204 由表 4知，第 1根木条即桌脚与水平面夹角为 1.255484rad,对应 为 71.934 5.3 问题三 的模型建立和解决 考虑实际情况，桌子堆放物品时，桌面各点承受力相同，所以桌子应该是前后、左右对称 ,这里和问题一、问题二一样，我们仅研究四分之一桌子 即可 。 对于客户给定的桌面 边缘线 函数 y=f(x),应该满足 f(x)是关于 y 轴对称的。 (1)参数的确定 木条根数 t： t = wd（取整） （其中 d为木条宽度） 第 n个木条到木板边沿的距离 an： an = (1) +( 1) +d2（
33、n 为整数 ） 第 n根木条到桌面轴线的距离 cn： （ 24） 更多免费学习资料，请关注微博：学神资料站更多学习资料，请关注淘宝店铺： 学神资料站 https:/ 从上图知， 第 n根木条到桌面轴线的距离 cn即为木条（上图黑线）与椭圆交点。 在这里， 设计加工参数 我们依然按照第二问求最优的，即 产品稳固性好、加工方便、用材最少 ，因此，借用问题二模型，我们可以求出此条件下的折叠桌 平板尺寸、钢筋位置、开槽长度 、桌角角度。 现 根据 我们 所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌 。 （ 1） 椭圆 桌 我们只需要研究四分之一桌面，这里取椭圆第一象限部分： y = 1(22)2 我们
34、把函数代入 MATLAB 程序 ，可以得到 动态变化过程的示意图 如下图 10： x y F(x) 16 图 10 椭圆 形折叠桌 8张 动态图 我们利用和问题一类似的解决方法 ，可以得出 最长 木条 （桌角） 相对桌面不同角度时 ，其余木条 的 旋转角度，如表 1。 接着 ， 我们 运行 lingo（ problem3） 程序（见附录），求最优设计参数。 从运行结果我们可以得到 椭圆桌各木条与桌面夹角 及各木条开槽长度 ， 如表 5： 表 5 椭圆桌各木条与桌面夹角及各木条开槽长度 开槽长度（cm） 相对桌面角度（rad）第1根 0 1.214031第2根 3.19129 1.424758第
35、3根 5.430522 1.553027第4根 7.040686 1.636302第5根 8.102212 1.687448第6根 8.648381 1.712669第7根 8.693048 1.7147第8根 8.237226 1.693751第9根 7.269577 1.647554 以及木板 长 宽 高 = 119.1196 cm 50cm 3cm 17 六、模型评价及改进 6.1 模型评价 6.1.1 问题一模型评价 问题一建立的是几何模型， 运用了勾股定理的数学知识，用简单的方法去解决复杂的问题，简明易懂。本模型 主要解决了木条长度、开槽长度、木条旋转角度，及折叠桌的动态变化过程。该
36、模型基于严密的数学推导， 求解过程 严瑾，结果可信度高 ， 说服力强 。 6.1.1 问题二 模型评价 问题二模型是基于问题一的，进一步的理论推导，从材料力学角度，围绕稳固性、用材最少、加工方便，对木条作受力分析，解决了在桌子高度、半径确定情况下，桌脚与水平面的夹角，以及开槽长度。模型理论严谨，假设大胆合理。 6.1.3 问题三 模型评价 问题三模型 综合了问题一的几何模型 和 问题二的 非线性规划模型， 巧妙使用用 MATLAB 软件、 lingo 软件编写程序，可以根据客户 提供的信息 ， 设计 他们自己的 创意平板折叠桌 。 6.2 模型改进 由于题目信息量不足，对于不同材料， 木条 截
37、面承受轴力 N、弯矩 M 共同作用的强度 是不同的，如果是在实际生活中，这些量是已知的，所以 对于问题二的应力约束条件， 现在做已下改进，使之更完善。 根据材料力学的假定 8，单一均质材料矩形截面杆构件截面承受轴力 N、弯矩 M共同作用的强度条件如下 : max = NA + MWz 式中 max为木条征截面最大正应力 ;N 为木条正截面所受轴力 ;A 为木条正截面面积 ;M 为木条正截面所受弯矩 ; Wz为木条抗弯截面系数 ; 为材料许用应力 (假设许用拉应力与许用压应力相等 )。 考虑右边的不等式部分，将不等式两边都同时除以 ，可得 : max = NA + MWz 1 由于 N0 = A
38、 M0 = Wz 式中 : N0为构件正截面轴力承载力 ; M0为构件正截面抗弯承载力。 故式 (26)可写为 : 0 +0 1 而构件截面同时承受轴力 N、弯矩 M,剪力 v 时，截面上的正应力与剪应力计算如下 : （ 25） （ 26） （ 27） （ 28） （ 29） 18 = + = 式中 : 为构件正截面剪应力 ;v为构件正截面所受剪力。 求得最大主应力与最小主应力为 : 1 = 2 +（ 2） 2 +2 根据第三强度理论： r3 = 1 3 = 2（ 2）2+2 可得： （ 2） 2 +2 24 将式 (30)、式 (31） 入式 (34)，可得 : (NA + MWz)2 +4
39、(VA)2 2 不等式左边第一个括号内两项分子分母同时乘以 ，第二个括号内一项分子分母同时乘以 ，可得 : (NN0+ MM0)2 +4(VV0)2 2 式中， V0为构件斜截面抗剪承载力， V0 = A。不等式两边同时除以 2，得 : (NN0+ MM0)2 +4 22 (VV0)2 1 由式 (29)、式 (37)可见，单一均质材料矩形截面杆件截面承受轴力、弯矩、剪力等复合作用时，截 面的强度条件 可用下式夫示 : f(NN0, MM0, VV0) 1 对于拉弯剪构件 ,易损性系数为 f(NN0, MM0, VV0) 1,其值越大则构件越容易受损。 （ 30） （ 31） （ 32） （
40、33） （ 34） （ 35） （ 36） （ 37） （ 38） 19 七、参考文献 1 汪晓银，周保平 ， 数学建模与数学实验（第二版） ，北京： 科学出版式 ， 2012.8 2 汪晓银，邹庭荣，周保平 ，数学软件与数学实验（第二版），北京： 科学出版式 ， 2012.8 3 姜启源 ， 叶其孝，数学建模，北京：机械工业出版社， 2009.8。 4 同济大学数学系， 高等 数学（第二版）上册， 上海：同济大学出版社， 2009.10 5 薛定宇，陈阳泉，高等数学问题的 MATLAB 求解，北京：清华大学出版社 ,2008 6 刘鸿文 ，材料力学 （第 5版），北京：高等教育出版社， 20
41、10.6 7 胡运康，景荣春，理论力学，北京：高等教育出版社， 2006.5 8 黄靓，王鉴，陈永亮 ，李登 , 一种简化的结构鲁棒性量化方法 ,工程力学，第 30卷第 10期 ， 文章编号 :1000-4750(2013)10-0046-08， 2013.10 源程序引索 问题一源程序 MATLAB 程序： problem1_1.m problem1_2.m problem1_3.m 问题二源程序 Lingo 程序： problem2.lg4 问题三源程序 MATLAB 程序： Problem3_1 Problem3_2 Lingo 程序： Problem3.lg4 注： m 文件是 Matlab 程序， lg4 文件 是 Lingo 程序 更多免费学习资料，请关注微博：学神资料站更多学习资料，请关注淘宝店铺： 学神资料站 https:/
