1、- 1 -江西省宜春九中（外国语学校）2018-2019 学年高二数学下学期期中试题 文考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 2， ， ，则 A. 0，1，2， B. 0，1，C. 2， D. 2. 复数 为虚数单位 在复平面内对应点的坐标是 A. B. C. D. 3. “ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件4. 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A. 2 B. C. D. 5. 宜春九
2、中为了研究学生的性别和对待垃圾分类活动的态度 支持与不支持 的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算 ，有多大的把握认为“学生性别与支持该活动”有关系 - 2 -A. B. C. D. 附：6. 在极坐标系中的点 化为直角坐标是 A. B. C. D. 7. 设 A， B 为两个事件，已知 ， ，则 A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 A. 1 盏 B. 3 盏 C. 5 盏 D. 9
3、盏9. 已知两个正数 a， b 满足 ，则 的最小值是 A. 23 B. 24 C. 25 D. 2610. 将函数 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为( )A. B. C. D. 11. 如图，已知 ，若点 C 满足 ，则A. B. C. D. 12. 已知 P 是椭圆 上的动点，则 P 点到直线 l： 的距离的最小值为 A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 命题“ ， ”的否定是_- 3 -14. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程是 _15. 设 x， y 满足约束条件 ，则 的最小值为_16. 设集合 ， ，且 ，则
4、实数 k 的取值范围是_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分，每题 12 分。17. 在 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 求角 A； 若 ， ，求 的面积 S18. 某单位为了了解用电量 y 度与气温 之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当天气温 气温 14 12 8 6用电量 度 22 26 34 38求线性回归方程； 参考数据： 根据 的回归方程估计当气温为 时的用电量附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计
5、公式分别为： ， - 4 -19. 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是正方形， AC 与 BD 交于点 O， 底面 ABCD，点E 为侧棱 PB 的中点求证： 平面 ACE； 平面 平面 PBD20. 设公差不为零的等差数列 的前 5 项的和为 55，且 ， 成等比数列求数列 的通项公式设数列 ，求证：数列 的前 n 项和 21. 函数 ，当 时，求 的极值；- 5 -当 时， 恒成立，求实数 a 的最大值。（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 解关于 x 的不等式 在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 以极点 O 为
6、原点，极轴 Ox 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 为参数 ，求直线 l 被圆 C 截得的弦长宜春九中(外国语学校)2018-2019 学年下学期期中考试高二年级数学(文)试题卷命题人:邹嵘 审题人 :王静考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分- 6 -选择题：DADCC DABCD DA一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 2， ， ，则 A. 0，1，2， B. 0，1，C. 2， D. 【答案】 D【解析】解： 集合 2， ， ，故选： D先求出集合 A 和 B，由此利用交集的定义能求出 的值本题考查交集的求法，是基础题，
7、解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2. 复数 为虚数单位 在复平面内对应点的坐标是 A. B. C. D. 【答案】 A【解析】解： ，复数 z 所对应点的坐标是 故选： A利用复数的运算法则、几何意义即可得出本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3. “ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件【答案】 D【解析】【分析】本题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，注意对数函数单调性的应用 根据充分- 7 -必要条件的定义判断即可【解答】解： ，由 ，得 ，因此“ ”是“ ”的充要条件故选 D
8、4. 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A. 2 B. C. D. 【答案】 C【解析】解：当 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后， ， ，当 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后， ， ，当 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后， ， ，当 时，不满足进行循环的条件，故输出结果为： ，故选： C由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答5. 宜春九中为了研究学生的性别和对待垃圾分类活动的态度 支持与不支持
9、 的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算 ，有多大的把握认为“学生性别与支持该活动”有关系 A. B. - 8 -C. D. 附：【答案】 C【解析】【分析】本题考查独立性检验，把观测值同临界值进行比较 得到有 的把握说学生性别与支持该活动有关系【解答】解： ，对照表格可得有 的把握说学生性别与支持该活动有关系故选 C6. 在极坐标系中的点 化为直角坐标是 A. B. C. D. 【答案】 D【解析】解：根据 ， ，可将点 化为直角坐标是 ，故选 D根据 ， ，可将点 化为直角坐标本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查学生的计算能力，比较基础7. 设 A， B 为两个事件，已知 ， ，则 -
10、9 -A. B. C. D. 【答案】 A【解析】解：由条件概率的计算公式，可得 故选： 由条件概率的计算公式 ，根据题意，代入数据计算可得答案本题考查条件概率的计算公式，是基础题；需要牢记条件概率的公式8. 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 A. 1 盏 B. 3 盏 C. 5 盏 D. 9 盏【答案】 B【解析】【分析】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前 n 项和公式的实际应用，属于基础题设这个塔顶
11、层有 a 盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前 n 项公式列出方程，求出 a 的值【解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、 a 为首项的等比数列，又总共有灯 381 盏，解得 ，则这个塔顶层有 3 盏灯故选 B9. 已知两个正数 a， b 满足 ，则 的最小值是 A. 23 B. 24 C. 25 D. 26【答案】 C- 10 -【解析】解：根据题意，正数 a， b 满足 ，则 ，当且仅当 时，取到等号，即 的最小值是 25故选 C根据题意，分析
12、可得 ，对其变形可得 ，由基本不等式分析可得答案本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式应用的条件10. 将函数 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为( )A. B. C. D. 【答案】 D【解析】【分析】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量 x 而言，考查运算能力，属于基础题和易错题，求得函数 y 的最小正周期，即有所对的函数式为 ，化简整理即可得到所求函数式【解答】解：函数 的周期为 ，由题意即为函数 的图象向右平移 个单位，可得图象对应的函数为 ，即有故选 D- 11 -11. 如图，已知 ，若点 C 满足 ，则A. B. C. D. 【答案】
13、 D【解析】解： ， ，故选： D根据向量的三角形法则和向量的数乘运算求出 ， ，再代值计算即可本题考查了向量的三角形法则和向量的数乘运算，属于基础题12. 已知 P 是椭圆 上的动点，则 P 点到直线 l： 的距离的最小值为 A. B. C. D. 【答案】 A【解析】【分析】设 ，代入距离公式化简得 ，根据三角函数的性质即可得出 d的最小值 本题考查了椭圆的性质，点到直线的距离公式，属于中档题【解答】解：设 ，则 P 到直线 l 的距离，当 时， d 取得最小值 故选： A二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 命题“ ， ”的否定是_- 12 -【答案】【解析】【分析】
14、本题考查全称命题的否定全称命题的否定为特称命题，只需将任意改为存在，否结论即可【解答】解：全称命题的否定为特称命题，故“ ， ”的否定为 “，故答案为 14. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程是_【答案】【解析】【分析】本题考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程 求出曲线的导函数，把 代入即可得到切线的斜率，然后根据 和斜率写出切线的方程即可，属于一般题【解答】解：由函数 知 ，把 代入得到切线的斜率 ，切线方程为： ，即 故答案为 - 13 -15. 设 x， y 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】【解析】解：由 x， y 满足约束条件 作出可行
15、域如图，由图可知，目标函数的最优解为 A，联立 ，解得 的最小值为 故答案为： 由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题16. 设集合 ， ，且 ，则实数 k 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】本题考查集合的关系问题，由集合的包含关系， B 中所有元素都在 A 中，结合数轴得到关于 k 的不等式组 ，解出即可【解答】解：由题意 ，因为 ，所以 ，解得故答案为 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）17. 在 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 求角 A；- 14
16、-若 ， ，求 的面积 S【答案】解： 由正弦定理得： ，又 ，即 ，又 ， ，又 A 是内角， ；由余弦定理得 ，即 ，得： 或 舍 ， 【解析】本题主要考查解三角形的应用，熟悉正弦定理公式是解答本题的关键，属于中档题由题意得，直接运用正弦定理公式即可求解；由题意得，直接运用余弦定理公式即可求解18. 某单位为了了解用电量 y 度与气温 之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当天气温 气温 14 12 8 6用电量 度 22 26 34 38求线性回归方程； 参考数据： 根据 的回归方程估计当气温为 时的用电量附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， - 15 -【答案】
17、解： ， ， ， 把 代入回归方程得 ，解得 回归方程为 ；当 时， ，估计当气温为 时的用电量为 30 度【解析】本题考查了线性回归方程过数据中心的特点，属于基础题求出 x， y 的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；代入线性回归方程，计算出 y 的值，即为当气温为 时的用电量19. 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是正方形， AC 与 BD 交于点 O， 底面 ABCD，点E 为侧棱 PB 的中点求证： 平面 ACE； 平面 平面 PBD【答案】证明： 连接 OE，因为 O 为正方形 ABCD 的对角线的交点， 所以 O 为 BD 中点，因为 E 为 PB 的中点，所
18、以 ，又因为 面 ACE， PD 在平面外，所以 平面 ACE；在四棱锥 中，因为 底面 ABCD， 面 ABCD， 所以 ，- 16 -因为 O 为正方形 ABCD 的对角线的交点， 所以 ，又 PC、 平面 PAC， ， 所以 平面 PAC，因为 平面 PBD， 所以平面 平面 PBD【解析】此题考查线面平行的证明，考查面面垂直及线面垂直的证明，关键是对线面平行、垂直及面面垂直判断定理的熟练掌握利用中位线定理可得 ，又因为 面 ACE， PD 在平面外，所以 平面 ACE；由线面垂直及正方形可得 ，及 ，又 PC、 平面 PAC， ，可证明平面 PAC，利用面面垂直的判断定理可证明平面 平
19、面 PBD20. 设公差不为零的等差数列 的前 5 项的和为 55，且 ， 成等比数列求数列 的通项公式设数列 ，求证：数列 的前 n 项和 【答案】解： 设等差数列的首项为 ，公差为 d，由题意可得 ，即有 或 舍去 ，故数列 的通项公式为 即 ；证明：由 ，得 ，则故原不等式成立【解析】 设等差数列的首项为 ，公差为 d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；求得 ，运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得证- 17 -本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简
20、整理的运算能力，属于中档题21. 函数 ，当 时，求 的极值；当 时， 恒成立，求实数 a 的最大值。【答案】解： 时， ， ，令 ，解得 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增 所以 ，函数无极大值 时，由 ，得 令 ，令 解得 当 时， ， 单调递减；当 时， 0/， 单调递增所以 所以 故实数 a 的最大值为 e【解析】 将 a 的值带入 ，求出函数 的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值即可；构造函数 ，然后对函数求导，令 通过函数的单调性可得答案22. 解关于 x 的不等式 【答案】解：当 时，原不等式等价于 ，即 ；- 18 -当 时，原不等式等价于 ，即 ；当 时，原
21、不等式等价于 ，即 所以原不等式的解集为【解析】本题考查了绝对值不等式的求解，根据绝对值不等式，根据绝对值情况，分别讨论，去掉绝对值范围，得到相应的不等式，得到解题23. 在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 以极点 O 为原点，极轴 Ox 所在的直线为 x轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 为参数 ，求直线 l 被圆 C 截得的弦长【答案】解：由 ，得 ，所以 x ，所以圆 C 的普通方程为 ，圆心 ，半径 ，由 为参数 ，消去参数 t，得直线 l 方程为： ，所以圆心到直线 l 的距离 ，所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为： 【解析】本题考查了圆的极坐标方程和普通方程的转化，考查直线的参数方程和普通方程的转化以及求弦长问题，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力将极坐标方程转化为标准方程，求出圆心和半径，求出直线的直角坐标方程，求出圆心到直线 l 的距离 d，从而求出弦长即可
