1、如图，已知在直角ABC 中，C=90，BD 平分ABC 且交 AC 于点 D。（1）若BAC=30，求证：AD=BD； （2）若 AP 平分BAC 且交 BD 于 P，求BPA 的度数。解：（1）BAC= 30，C=90， ABC= 60，BD 平分ABC，ABD= 30， ABD=BAD， AD= BD；（2）BPA= 180-ABP-BAP =180- ABC- BAC =180- （ABC+BAC）=180- 90=135。如图，在ABC 中，B=22.5，边 AB 的垂直平分线交 BC 于 D，DFAC 于 F，并与 BC 边上的高 AE 交于G求证：EG=EC证明：连接 AD，边 A
2、B 的垂直平分线交 BC 于 D，BD=AD，B=BAD=22.5，ADE=22.5+22.5=45，AEBC，AEC=AED=90， DAE=45=ADE，DE=AE，DFAC，DFC=90=AEC，ACE+FDC=90，ACD+CAE=90，CAE=FDC，在DEG 和AEC 中 DEAAECDEAEGDECAEDEGAEC（ASA），EG=EC 如图，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=3 （1）若 AC=BC，求 BC 的长； （2）若ABD 的周长为 13，求ABC 的周长解：（1）DE 是 AC 的垂直平分线，AE=3，AC=2AE=6，AC=BC=6，BC 的长是
3、6（2）DE 是 AC 的垂直平分线，AE=3，AD=DC，AC=2AE=6，LABD= 13，AB+AD+BD=13，AB+CD+DC=13，即 AB+BC=13，LABC=AB+BC+AC=13+6=19答：ABC 的周长是 19 已知：如图所示，在 ABC 和 DE 中， ，AB， ，且点 ， ， 在一条直线上，连接 EMN， ， ， 分别为 ， 的中点求证： ； 是等腰三角形C E N D A B M （1）证明：BAC=DAE，BAE=CAD，AB=AC，AD=AE，ABEACD（SAS） ，BE=CDABEACD，ABE=ACD，BE=CD，M、N 分别是 BE，CD 的中点，BM
4、=CN又AB=AC，ABMACNAM=AN，即AMN 为等腰三角形如图，在 中， 是 边上的一点， 是ABC DE的中点，过 点作 的平行线交 的延长线于C，且 ，连结 求证： 是 的中FFB点 BD CE 证明：AFBC，AFE=DCE，E 是 AD 的中点，AE=DE，AEF=DEC，AEFDEC，AF=DC，AF=BD，BD=CD，D 是 BC 的中点。如图，ABD，ACE 都是正三角形，BE 和 CD 交于 O 点，则BOC。ABD，ACE 都是正三角形AD=AB，DAB=EAC=60，AC=AE，DAC=EABDACBAE（SAS）DC=BE，ADC=ABE，AEB=ACD，BOC=
5、CDB+DBE=CDB+DBA+ABE=ADC+CDB+DBA=120。已知在ABC 中，BA=BC，B=120，AB 的垂直平分线 DF交 AC 于 D， 求证： DC=2AD DECBA解：连结 BD，由 DE 是 AB 的垂直平分线可知 AD=BD，又ABC=120，A=C=30，ABD=30， CBD=120-30=90。在 RtCBD 中，DC=2BD。所以 DC= 2AD。如图，在ABC 中，已知 AB=AC，BAC=90，D 是 BC 上一点，ECBC，EC=BD，DF=FE求证：（1）ABDACE；（2）AFDE 证明：（1）AB=AC，BAC=90 ，B=BCA=45又ECBC，ACE=90-45=45B=ACE在ABD 与ACE 中ABACBACEDBECABDACE（SAS）（2）由（1）知ABDACE，AD=AE等腰ADE 中，DF=EF，AFDE
