1、- 1 -广西南宁市第三中学 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 文 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案。 ）1已知集合 ， ，则 （ ）1,357A|2BxABA. B. C. D. ,5,71,72复数 （ ）i=A. B. C. i D. 1i1i i3 AQI 是表示空气质量的指数， AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 指数值不大于100 时称空气质量为“优良”.如图是某地 4 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的统计数据，图中点 A 表示 4 月 1 日的 AQI 指数值为 201，
2、则下列叙述不正确的是（ ）A. 这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B. 这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日 ）C. 从 4 日到 9 日，空气质量越来越好 D. 这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90 4设 ，则 “ ”是 “ ”的（ ）. Ra12aA. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件 第 3 题图D. 既非充分也非必要条件5已知 ，则 （ ）2sin5cos=A. B. 7725C. D.1216阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A. B. 6 第 610题图C. 14 D. 18- 2 -7已知向量 ， ，若 ，则实
3、数 等于（ ）(1,2)am(,3)babmA. 或 B. 或 C. D. 233358. 已知 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，则ABCCc:1:4ABC（ ）:abcA. B. C. D. 132:31:2:9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B 2C D3310在直角坐标系 中，过点 的直线 的参数方程为xOy1,2Pl( 为参数)，直线 与曲线 交于 两点，则1+23xtytl22:()4Cxy,AB的值是（ ）PABA. 1 B. 3 C. D. 41311抛物线 与直线 交于 A，B 两点，其中 A 点的坐标是 该抛pxy204ya )2,1(物线
4、的焦点为 F，则 （ ） |AA.5 B.6 C. D. 73512已知方程 有 4 个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）23ln|0xaaA. B. C. D. 2(,)3e2)e(-， 2(0,)3e2(0,)e二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若变量 满足约束条件 ，则 的最小值为_.,xy1280xy3zxy14在各项均为正数的等比数列 中，若 则 _na516124,8a， 9a- 3 -15在 中,内角 所对应的边分别为 ，若 ， ，则ABC, ,abc22()+6ab=3C的面积为_.16定义在 上的函数 满足 ，且对任意 都有 ，则不等式R
5、()fx(1)fxR1()2fx的解集为_.21()xf三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 小题 10 分，其余小题各 12 分，共 70 分）17在直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标xOy1Ccos3inxy原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为2C.cos()6（1）求曲线 的直角坐标方程；2C（2）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值及此时点 的直角坐标.P1Q2PP18. 在等差数列 中， ， na273829a（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列 的前 项和 nb nbnS
6、- 4 -19某校 100 名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是。50,6,70,8,90,1（1）若成绩在 的学生中男生比女生多一人，从成绩在 的学生中任选 250,6人，求此 2 人都是男生的概率；（2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分.20如图，三棱柱 中，侧棱 平面 ， 为等腰直角三角形， 1ABC1BACB，且 ， 分别是 的中点902,EF1,（1）求证：平面 平面 ；1FA（2）求点 到平面 的距离C- 5 -21已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点的距离的最大值为CxC3，最小值为 1（1）求椭圆
7、的标准方程；（2）若直线 与椭圆 C 相交于 A、B 两点(A、B 不是左右顶点)，且以 AB 为直:lykxm径的圆过椭圆 C 的右顶点 求证:直线 过定点，并求出该定点的坐标l22设函数 .221()ln, ()(1)fxmxgmx（1）当 时，求函数 的单调区间.=f（2）当 时，讨论函数 与 图像的交点个数.0()x- 6 -高二段考文科数学参考答案1 【答案】B2 【答案】C【解析】 ，故选 C.12i(i)2i4i53. 【答案】D 【解析】由图可知, AQI 不大于 100 天有 6 日到 11 日,共 6 天,所以 A 对； AQI最小的一天为 9 日,所以 B 对；从图中可以
8、看出 4 日到 9 日 AQI 越来越小,C 对；中位数是，D 错.5+104=24 【答案】A5. 【答案】C 【解析】 ,故选 C.2217cos21sin1()56.【答案】B【解析】输入 不成立；0,;,08,SS24,i不成立； 成立，输出，故选 B。184,5S486i7. 【答案】A8. 【答案】A 【解析】 中， ，故三个内角分别为 ABC:1:30,12，则 故选 A:sin30:i:sin120:3abc，9. 【答案】 C【解析】根据三视图恢复成三棱锥 ，PBC其中 ， ， PAB面 2ABCS三棱锥体积积 ，故选 C.13V10 【答案】B【解析】设 对应的参数分别为
9、，把 的参数方程 代入,AB12,tl1+23xty得： ，整理得： ， 22()4xy2213()()4tt20t12,t，故选 B.3PAB1213tt- 7 -11. 【答案 】D 【解析】将点 A 的坐标代入抛物线 与直线 ，得),(21pxy204ya，所以得抛物线 与直线 ，由 得 或2ap4yx40212x，所以得 ，又抛物线的准线是 ，结合抛物线的定义得4xy(,)B1x，故选 D.|14(17FA12. 【答案】D 【解析】由 得23ln0xa23ln,ax方程等价为 设0,x2,2(),f易得函数 是偶函数，当 时， ；()f0x23ln()xf则 由 得244413ln2
10、l3(1ln)() ,xxxf ()0fx得 即 得 此时函数单调递增，由2l0,l0,xln1,0,e得 得 即 得 此时函数单调递()fx(1n)xl1,x减，即当 时，函数 取得极大值 作出e()fx 223ln1,ef e函数 的图像如图 .要使 有 4 个不同的实数根，需满足()fx23lnxa故选 D.210,ae13. 【答案】1【解析】依题意如图可得目标函数过点 A 时截距最小.即 .min1z14.【答案】 【解析】由等比数列的性质得 ，4222851964,8aa ， .89,a894a15. 【答案】 【解析】 ， ，由余弦定理得：3222()+6cb=3C22cab-
11、8 -，即 ，因此 的面积为2cos3ab26,abABC.13inC16.【答案】 (,)17. 【答案】 （） （）3260;xy626(,).P，【解析】 （）由 ，可得cos()cossin；31=62xy所以 的直角坐标方程为2C3260;xy（）设 ，曲线 是直线，(cos,in)PC所以 的最小值即为点 到直线 的距离 的最小值，QP2d6cos()263cosin4,2d 当 时， 取最小值为 ，此时 ，cs()14d22()4kz ， ，此时 的直角坐标为 .2o=sinP6()，18. 【答案】(1) ；(2) ；32na3122nS【解析】 （1）设等差数列 的公差是 ，
12、依题意 ，nd38276aad从而 ，所以 ，解得 ，3d2712a1所以数列 的通项公式为 n3n（2）由数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，b得 ，即 ，所以 ，1nnan132nb- 9 -所以 ，2114732nnS n 312n故 3n19.【答案】 （1） ；（2）73.0【解析】 （1）成绩在 的学生共有 人，其中男生 3 人，女生 25,610.5人，分别记为 1，2，3，4，5，其中 1，2，3 为男生；选出两人，基本事件有： ，(,),(4),(23),4(,),(5)4,共 10 种，其中都是男生的有： 共 3 种，故概率为 .(1,2),()10（2）平均分的估
13、计值为 .50.6.475.8295.7320. 【答案】 （1）见解析；（2） .3【解析】 （1）证明： F 是等腰直角三角形 斜边 的中点， ； ABCAFBC又侧棱 平面 ，面 面 ；BAC1 面 ， ；AF11， ；21163FEB， ， ， 21BEB又 ， 平面 AF1A而 面 ，平面 平面 11FE（2）解： 面 ， ；1BC又 ， ， ， ；3EF2A62AEFS2CEFS设点 到平面 的距离为 ，Ch ， ，解得： .AEFCV1133AEFCEFSSA63h- 10 -21.【答案】(I) (II)直线 过定点，定点坐标为21.43xyl2(,0).7【解析】解：(I)由
14、题意设椭圆的标准方程为21()xyab ， ；3,1ac2,13acb2.4(II)设 ，由 得 ，12(,),)AxyB243ykxm22()84(3)0kxm，2264(3)0mk.2302121284(3),.mkxxk212121212(4)()()().3mkyk以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，,0DABDk， ，121yx2112()4yx ，2223(4)(3)604mkmk ，解得 ，且满足 .2716012,7k2340km当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；k:(2)lykx(,0)当 时， ，直线过定点7m7.综上可知，直线 过定点，定点坐标为l(,).22.【答案
15、】解：（1）函数 的定义域为 ，()fx0,当 时， ，m21(1)=xf当 时， ，函数 单调递减，01x(0fx()f- 11 -当 时， ，函数 单调递增。1x()0fx()fx函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .1,(0,1)（2）令 2()()()lnFxfgxmx问题等价于求函数 的零点个数， (),mF当 时， ，有唯一零点0m21()=xx当 ，(),F当 时， ，函数 为减函数，1()0xFx注意到 3,4ln0,2所以 有唯一零点；()Fx当 时， 或 时 时1m01xm(),1Fxm ()0,F所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，()x,(,注意到 2)ln(2)F所以 有唯一零点；()x当 时，函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，01m()x0,m(1,)(,1)m易得 ，所以 ，ln2ln0F而 所以 有唯一零点；(2)ln(2),F()Fx综上，函数 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.x
