1、- 1 -安徽省屯溪第一中学 2018届高三上学期第二次月考数学试题（理科）1. 已知集合 ， ，则 （ ）. . . .【答案】A【解析】由 解得 或 ， 知 ，所以 ，故选 A.2. 已知复数 满足 （为虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】由 得： ，故对应的点在第三象限，选 C.3. 已知数列 满足 ， ，且 若 ，则正整数 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 知，数列是等差数列，首项是 ，公差是，所以 ，所以 可化为 ，解得 ，故选 C.4. 设点 是双曲线 上的一点， 分别是
2、双曲线的左、右焦点，已知 ,且 ，则双曲线的离心率为（ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】在 RT 中，设 ，则由勾股定理得： ，所以 ，而由双曲线定义知， ，离心率 ，故选 D.5. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 , ， ，则该四面体的正视图的面积不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标分别是：（1，0，1） ，（1，1，0） ， （0，1，1） ， （0，0，0） ，几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体， 其正视图的最大投影面是在 x-O-y或 x-O-z或 y-
3、O-z面上，投影面是边长为 1的正方形，正视图的最大面积为 1，不可能为 ,故选 B. 试题点睛：本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图等知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题- 3 -6. 公元 263年前后，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的徽率上图是某学生根据刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的 值为（参考数据： ， ）A. 48 B. 36 C. 24 D. 12【答案】A【解析】试题分析
4、：由程序框图， 值依次为： ； ；，此时满足 ，输出 ，故选 B.考点：程序框图.【技巧点睛】解题时要注意两种循环结构的区别，这也是容易出错是地方：当型循环与直到型循环.直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环” ；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环” ；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反.7. 设 是由 轴，直线 和曲线 围成的曲边三角形区域，集合 ，若向区域 上随机投一点 ，点 落在区域 内的概率为 ，则实数 的值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意，区域 即边长为 1的正方形的面积为 11=1，区域 A即曲边三角形
5、的面积为 ，若向区域 上随机投一点 P，点 P落在区域 A内的概率是 ，则有 ，解可得， ，故选 D8. 若把函数 的图象向左平移 个单位，所得到的图象与函数 的图象重合，则 的值可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A- 4 -【解析】把函数 的图象向左平移 个单位，得到函数的图象而 ，观察所给的选项，只有 满足条件，故选 A9. 设点 在不等式组 表示的平面区域上，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图：，则 z的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离的平方，由图象知 D到直线 2x-y=0的距离最小，此时 ，所以 ，故选
6、D.10. 对于平面向量 ，给出下列四个命题：命题 ：若 ，则 与 的夹角为锐角；命题 ：“ ”是“ ”的充要条件；命题 ：当 为非零向量时， “ ”是“ ”的必要不充分条件；命题 ：若 ，则 .其中的真命题是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B- 5 -【解析】试题分析：命题 ：当 时, 向量 与 的夹角可能为 ,故为假命题；命题：当 时 , 则向量 中至少有一个零向量或 故 ；当 时, 则 ，故为真命题；命题 ：当 时, 成立；当 ,向量与 为非零向量时, 与 反向, 未必有 ,故为假命题；命题 ：若 ,则 ,故为真命题, ， 正确，故选 B.考点：1、向量的基本概念与性质；2、充分
7、条件与必要条件.11. 已知函数 的图象在点 处的切线为，若也与函数 ， 的图象相切，则 必满足（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设与函数 ， 的图象的切点为 ,则由得 ,所以.令 ,则由零点存在定理得 ,选 D.点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点 P的切线”与“在点 P处的切线”的差异，过点 P的切线中，点 P不一定是切点，点 P也不一定在已知曲线上，而在点 P处的切线，必以点 P为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求
8、解.12. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在此抛物线上，且 ，弦的中点 在其准线上的射影为 ,则 的最大值为（ ）A. B. C. D. - 6 -【答案】A【解析】由题意知 ，根据重要不等式得：所以 ，即 的最大值为 ，故选 A.13. 已知函数 ，则 _.【答案】 ；【解析】因为 ，所以 ，又，所以 ，因为 ，所以，故填 .14. 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式中常数项为_.【答案】 ；【解析】试题分析：令 可得 ，即 ，则，分别求出 的展开式中的含 和 和的项的系数分别为，所以展开式中的常数项为 .考点：二项式展开式的通项公式及待定系数法15. 已知在直角梯形 中， , ,将直角梯
9、形沿 折叠成三棱锥 ，当三棱锥 的体积取最大值时，其外接球的体积为_【答案】 ；【解析】如图： ， ，取 AC的中点 E，AB 的中点 O，连结 DE，OE，取 AC的中点 E，AB 的中点 O，连结 DE，OE，三棱锥体积最大时，平面 DCA平面 ACB，OB=OA=OC=OD，- 7 -OB=1，就是外接球的半径为 1，此时三棱锥外接球的体积： 16. 用 表示自然数 的所有因数中最大的那个奇数，例如： 的因数有 ，则 ；的因数有 ，则 ，记数列 的前 项和为 ，则 _.【答案】 【解析】令 ，由 的定义易知 ，且若 为奇数则 ， 令 ，则即 ，分别取 n为 1，2，n 并累加得又 ， 故
10、答案为： 试题点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题17. 如图，正三角形 的边长为 ， 分别在三边 上，且 为 的中点， （）当 时，求角 的大小；（）求 的面积 的最小值以及使得 取最小值时 的值- 8 -【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在 中， ，而在 中，利用正弦定理，用 表示 DE，在 中，利用正弦定理，用 表示 DF，代入到 式中，再利用两
11、角和的正弦公式展开，解出 ，利用特殊角的三角函数值求角 ；第二问，将第一问得到的 DF和 DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定 S的最小值.在BDE 中，由正弦定理得 ，在ADF 中，由正弦定理得 4 分由 tanDEF ，得 ，整理得 ，所以 60 6 分（2）S DEDF 10 分当 45时，S 取最小值 12 分考点：正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式.18. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物- 9 -的 位顾客的相关数据，如下表所示：一次购物量
12、 至 件 至 件 至 件 至 件 件及以上顾客数（人）结算时间（分钟/人）已知这 位顾客中一次购物量超过 件的顾客占 （）确定 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 分钟的概率 （注：将频率视为概率）【答案】 （）所以 的分布列为的数学期望为 （） 【解析】试题分析：（）根据总人数有 100人，则 ，由 100位顾客中一次购物量超过 8件的顾客占 55%，则知 根据这两式得 x15，y20，由表格可得 X的可以取值为：1,1.5,2,2.5,3；该超市所有顾客一次购物的结算
13、时间组成一个总体，所收集的 100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100的简单随机样本，将频率视为概率，即可得到分布列与期望.（）由于该客到达收银台时前面恰有 2位顾客需结算，则该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的情况为（1、1） ， （1、1.5） ， （1.5、1）三种情况，则按照各顾客的结算相互独立，有P(A)P(X 11)P(X 21)P(X 11)P(X 21.5)P(X 11.5)P(X 21) - 10 -试题解析：（）由已知，得 25y1055，x3045，所以 x15，y20该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100位顾客一次购物的结算
14、时间可视为总体的一个容量为 100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X1) ，P(X1.5) ，P(X2) ，P(X2.5) ，P(X3) X的分布列为X 1 1.5 2 2.5 3PX的数学期望为E(X)1 1.5 2 2.5 3 1.9（）记 A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5分钟” ，X i（i1，2）为该顾客前面第 i位顾客的结算时间，则P(A)P(X 11 且 X21)P(X 11 且 X21.5)P(X 11.5 且 X21)由于各顾客的结算相互独立，且 X1，X 2的分布列都与 X的分布列相同，所以P(A)P(X 11)P(X 21)P(X 11)P(X 21.5)
15、P(X 11.5)P(X 21) 故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5分钟的概率为 考点：1.离散型随机变量的分布列与数学期望;2.以及相互独立事件的概率的求法.19. 如图，四棱锥 中，底面 是的菱形，侧面 是边长为 的正三角形，且与底面垂直,为 的中点 （）求证： 平面 ；（）求二面角 的余弦值 - 11 -【答案】 （）证明见解析；（） .【解析】略20. 已知椭圆 ： 过点 ，且离心率 （）求椭圆 的方程；（）椭圆 长轴两端点分别为 ，点 为椭圆上异于 的动点，直线： 与直线分别交于 两点，又点 ，过 三点的圆是否过 轴上不同于点 的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由【
16、答案】 （） ；（） 存在，定点为 【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由 a，b，c 的关系，即可得到椭圆方程；（2）设 ，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得证试题解析：（）由 ，解得 ，故椭圆 的方程为 （）设点 ，直线 的斜率分别为 ，则 又 ： ，令 得 ，- 12 -： ，令 得 ，则 ，过 三点的圆的直径为 ,设圆过定点 ，则 ，解得 或 （舍） 故过 三点的圆是以 为直径的圆过 轴上不同于点 的定点 试题点睛：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，同时考查直线的斜率公式的运用，圆的直径所对的圆周角为直角，属于中档题
17、涉及定点定直线等问题时，一般先假设存在，然后根据条件推导，注意直线过定点的直线系形式21. 设函数 .（）证明：当 时， ；（）设当 时， 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】本试题主要是考查了运用导数在研究函数的综合运用，证明不等式的恒成立问题。（1）先求解导数然后分析单调性，转换为求解函数的最小值大于零即可。（2）要根据当 时， ，成立求解参数 a的范围可知需要对于参数 a分类讨论研究单调性，进而分析参数的范围。22. （本小题满分 10分）已知函数 （）解不等式 ；（2）若关于 的不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围【答案】 （）故不等式的解集为 ；（） 【解析】试题分析：（）利用绝对值的几何意义，分区间讨论，直接求不等式 的解集；（）求出函数的最小值，然后转化为不等式 ，得到实数 m的取值范围试题解析：（）不等式 可化为- 13 -或 或 ，解得 或 或 ，故不等式的解集为 （） （当 或 时取等号） ，不等式 的解集为空集等价于 ，解得 故实数 的取值范围是 方法点睛：本题考查带绝对值的函数的应用，绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义是解题的关键在去绝对值号时，注意利用零点分区间讨论，即可转化为普通不等式，函数的解集为空集，要会转化为函数的最小值不小于 .
