1、- 1 -2018 高考高三数学 3 月月考模拟试题 01满分 150 分用时 120 分钟一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1命题“ xR， 240x ”的否定是A ， 5 B xR， 2450xC x， 2x D ， 2如果函数 lnfa的定义域为 ,1，则实数 a的值为A B 1 C D 23对于任意向量 、 b、 c，下列命题中正确的是A a B ab C Aabc D24若直线 1ykx与圆 21y相交于 A、 B两点，则 A的值为A 2 B C 2 D与 k有关的数值5若 1i（ 是虚数单位）是关于
2、x的方程 20pxq（ R、 ）的一个解，则pqA 3 B 1 C 1 D 36执行如图 1 所示的程序框图，输出的 S值为A225 B196 C169 D144（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “”或“ =”）图 1i0,Si结束开始否是输出 S27?ii- 2 -7若函数 cosyx*N的一个对称中心是 06， ，则 的最小值为A2 B3 C6 D98一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图 2 所示若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 17 的上、下两部分，则截面的面积为A 14 B C 9 D 49已知 01a， 1xy ，且 log1axyA，那么 xy的取值范围是A 2
3、， B 0， C 0a， D 210a，10某校高三（1）班 50 个学生选择选修模块课程，他们在 A、B、C 三个模块中进行选择，且至少需要选择 1 个模块，具体模块选择的情况如下表：模块 模块选择的学生人数 模块 模块选择的学生人数A 28 A 与 B 11B 26 A 与 C 12C 26 B 与 C 13则三个模块都选择的学生人数是A7 B6 C5 D4二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分（一）必做题（1113 题）11如图 3，一个等腰直角三角形的直角边长为 2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域 M（
4、图中白色部分）若在此三角形内随机取一点 P，则点 落在区域 内的概率为 12已 知 为 锐 角 ， 且 3cos45， 则 sin 13数列 na的项是由 1 或 2 构成，且首项为 1，在第 k个 1 和第 个 1 之间有21k个 2，即数列 n为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，记数列 na的前 项和为 nS，则图 3M46图 2- 3 -20S ； 2013 （二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题） 14 （几何证明选讲选做题）在 ABC中， D是边 A的中点，点 E在线段 BD上，且满足 13EBD，延长E交 于点 F，则 的值为 15 （坐标系与参数方程
5、选做题）在极坐标系中，已知点 1,2A，点 P是曲线 2sin4cos上任一点，设点 P到直线 cos10的距离为 d，则 的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分12分）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人） ，每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3、 、 .5、 46、 .8若从这六个班中任意抽取两个班
6、学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2的概率17 （本小题满分12分）某单位有 A、 B、 C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点 O，使得发射点到三个工作点的距离相等已知这三个工作点之间的距离分别为 80ABm，70m， 50假定 A、 B、 C、 O四点在同一平面上（1）求 的大小；（2）求点 O到直线 的距离18 （本小题满分 14 分）如图 4， 在三棱锥 PABC中， 90PACB（1）求证：平面 平面 ；（2）若 1， =2，当三棱锥 的体积最大时，视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.
7、9 5.0 5.1 5.2 5.3人数 2 2 2 1 1PABC 图 4- 4 -求 BC的长19 （本小题满分14分）在等差数列 na中， 125， 37a，记数列 1na的前 项和为 nS（1）求数列 n的通项公式；（2）是否存在正整数 m、 ，且 1，使得 1S、 m、 n成等比数列？若存在，求出所有符合条件的 、 n的值；若不存在，请说明理由20 （本小题满分14分）已知函数 2()lnfxax0aR且 （1）若 在定义域上为增函数，求实数 的取值范围；（2）求函数 ()fx在区间 1,2上的最小值21 （本小题满分14分）经过点 0,F且与直线 y相切的动圆的圆心轨迹为 M点 A、
8、 D在轨迹 上，且关于 y轴对称，过线段 AD（两端点除外）上的任意一点作直线 l，使直线 l与轨迹M在点 处的切线平行，设直线 l与轨迹 交于点 B、 C（1）求轨迹 的方程；（2）证明： BC；（3）若点 到直线 A的距离等于 2A，且 的面积为 20，求直线 BC的方程参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D D A C B B C A B二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性共 5 小题，每小题 5 分，满分 20分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题第
9、13 题第一个空 2 分，第二个空 3分.- 5 -11 14 12 210 13 36； 981 14 14 15 2三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分）解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为 4.2.64.82.9514.7据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为 .3分（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为 3、 、 .、 6、 4.7、 8，所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有 .， ， 35， ， .， ，4.37
10、， .8， 4.5， ， .46， ， .47， ， .8， ， 4.6， ， .47， ，.5，6.7， .， ， .78， ，共 15 种情形7 分其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2的有 4.35， ，4.3， .4， ， 8， .6， ， .47， ， .48， ， .57， ， .8， ， .6， ，共 10 种10 分所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2的概率为 102=5312 分17 （本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在 ABC中，因为 80m， 70BC， 0Am，由余弦定
11、理得22cosA2 分22805713 分因为 BAC为 的内角，所以 3BAC4 分（2）方法 1：因为发射点 O到 、 、 三个工作点的距离相等，- 6 -所以点 O为 ABC外接圆的圆心5 分设外接圆的半径为 R，在 中，由正弦定理得 2sinRA， 7 分因为 70B，由（1）知 3，所以 3si所以 423R，即 70R8 分过点 O作边 BC的垂线，垂足为 D，9 分在 D中， 703R， 70352BC，所以 2B 11 分35所以点 O到直线 BC的距离为 35m12 分方法 2：因为发射点 到 A、 、 三个工作点的距离相等，所以点 为 外接圆的圆心5 分连结 ， ，过点 作
12、边 的垂线，垂足为 D， 6 分由（1）知 3BC，所以 O所以 D9 分在 Rt B中， 70352BC，所以 tantan6O11 分所以点 到直线 BC的距离为 35m12 分18 （本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空AB CODAB COD- 7 -间想象能力等，本小题满分 14 分）（1）证明：因为 90PABC，所以 PAB， AC1 分因为 ，所以 平面 2 分因为 C平面 ，所以 3 分因为 90AB，所以 A4 分因为 P，所以 C平面 P5 分因为 平面 ，所以平面 B平面 C6 分（2）方法 1：由已知及（1）所证可知， 平面 AB
13、， ，所以 A是三棱锥 的高7 分因为 P， =2B，设 Cx02，8 分所以 24C9 分因为 13PABABCVSP246x10 分2216x11 分312 分当且仅当 224x，即 x时等号成立13 分所以当三棱锥 PABC的体积最大时， 2BC14 分方法 2：由已知及（1）所证可知， PA平面 ，所以 是三棱锥 的高7 分因为 90，设 02，8 分则 cos2BCA， siniACB9 分所以 11coS 10 分所以 3PABCABVPPABC- 8 -1sin23 11 分因为 0，所以当 4， PABCV有最大值 13 12 分此时 2cos13 分所以当三棱锥 PAB的体积
14、最大时， 2BC14 分19 （本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）设等差数列 na的公差为 d，因为 1235,7.即 15,27.2分解得 1,.ad 3分所以 1132ndn所以数列 a的通项公式为 a*()N 4分（2）因为 1113232nnn， 5分所以数列 1na的前 项和123411n nnSa1134703523n131n7分- 9 -假设存在正整数 m、 n，且 1n，使得 1S、 m、 n成等比数列，则 21mnS8分即 343 9分所以261nm因为 0，所以 230即 23因为 1m，所以 213
15、因为 *N，所以 12分此时24163n13分所以存在满足题意的正整数 m、 n，且只有一组解，即 2m， 16n 14分20 （本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）解：（1）因为函数 2()lnfxax，所以函数 的定义域为 (0,)1 分且 ()2fx2 分若 在定义域上是增函数，则 ()0afx在 (,)上恒成立3 分即 2a在 ,)上恒成立，所以 0a 4 分由已知 0，所以实数 的取值范围为 ,5 分（2）若 a，由（1）知，函数 2()lnfxax在区间 1,2上为增函数- 10 -所以函数 ()fx在区间
16、1,2上的最小值为 (1)f6 分若 0a，由于 ()xaxf ，所以函数 fx在区间 0,a上为减函数，在区间 ,上为增函数7 分（）若 1a，即 1时， ,2,a，函数 2()lnfxx在区间 ,上为增函数，所以函数 在 ,的最小值为 ()f9 分（）若 12a，即 14a时，函数 ()lnfxx在区间 ,为减函数，在 ,2a上为增函数，所以函数 在区间 ,上的最小值为 lfa11 分（）若 2，即 4a时， 1,20,a，函数 ()fx在区间 1,上为减函数，所以函数 在 的最小值为 ()4ln2f 13 分综上所述，当 a且 0时，函数 x在区间 1,上的最小值为 (1)f当 14时，
17、函数 ()f在区间 的最小值为 lna当 时，函数 x在区间 ,2上的最小值为 (2)4lnfa14 分21 （本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法 1：设动圆圆心为 ,xy，依题意得，22xy1 分整理，得 4y所以轨迹 M的方程为 24xy2 分- 11 -方法 2：设动圆圆心为 P，依题意得点 到定点 0,1F的距离和点 P到定直线1y的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点 的轨迹是抛物线1 分且其中定点 0,1F为焦点，定直线 1y为准线所以动圆圆心 P的轨迹 M的方程为 24x
18、2 分（2）由（1）得 24xy，即 ，则 y设点 201,D，由导数的几何意义知，直线 l的斜率为0BCkx3 分由题意知点 201,4Ax设点 21,4Cx， 21,4Bx，则21120BCkxx，即 1204 分因为2101044ACxxk，202014ABxxk5 分由于 1201020ACB，即 k6 分所以 D7 分（3）方法 1：由点 到 AB的距离等于 2AD，可知 B458 分不妨设点 C在 上方（如图） ，即 21x，直线 的方程为：2004yxABCDO xylE- 12 -由 2001,4.yx解得点 B的坐标为 20014,x10 分所以 0002Ax由（2）知 CD
19、A45，同理可得 02ACx11 分所以 B的面积 001242Sx，解得 03x12 分当 0时，点 的坐标为 1,4， 32BCk，直线 BC的方程为 32yx，即 670y13 分当 03x时，点 的坐标为 97,4， 32BCk，直线 的方程为 32yx，即 670xy 14 分方法 2：由点 D到 AB的距离等于 AD，可知 458 分由（2）知 C45，所以 CB90，即 AB由（2）知 10Axk， 20ABxk所以 214CB即 10206xx 由（2）知 不妨设点 C在 AD上方（如图） ，即 21x，由、解得 1024,.x10分- 13 -因为 22200014ABxxx，同理 0C 11分以下同方法1
