1、1定远育才学校 2017-2018学年第一学期期末考试高二数学(理)试题考生注意：1.本卷分第 I卷和第 II卷，满分 150分，考试时间 120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标题涂黑。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卷上对应的答题区内。第 I卷（选择题 60分）一、选择题1. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件2. 点 P（1，2）到直线 8x6y+15=0 的距离为（ ）A. 2 B. C. 1
2、D. 723.若实数 满足 的取值范围为（ ）,xy24,012xyyx则A. B. C. D.34,0 ),343,()0,344.若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）210,xyabA B 2yx2yxC D15.已知圆 ，圆 ，圆 与圆21:80xy2:420Cxy1C的位置关系为（ ）2A.外切 B.内切 C.相交 D.相离26.已知圆 ，从点 发出的光线，经 轴反射后恰好经过22:()(1)3Cxy(1,3)Px圆心 ，则入射光线的斜率为（ ）A B C. D43343237. 已知抛物线 的焦点到准线距离为 ,则 （ ）20yax1aA B C D44128.已知双曲线
3、C： 的焦点到渐近线的距离为 3，则双曲线 C的短轴长为（ ）A. B. C. D. 9. 已知函数 ，若 ，则 的值等于（ ）32fxa14faA. B. C. D. 1936108310.设椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 .若2()xyab12F、 B=2，则该椭圆的方程为（ ）21BFA. B. C. D. 43xy213xy21xy214xy11. 已知命题 “函数 在区间 上是增函数”；命题 “存在:p23lnfa0, :q，使 成立”，若 为真命题，则 的取值范围为（ ）01,x021xpqaA. B. C. D. 3,43,421,4231,4212. 已知两点 ， ，点
4、是椭圆 上任意一点，则点 到直线1,0A,1BP169xyP的距离最大值为（ ）BA. B. C. D. 324623第 II卷（非选择题）二、填空题13.已知 是过抛物线 焦点 的直线与抛物线的交点， 是坐标原AB、2(0)ypxFO点，且满足 ，则 的值为_3,3OABFSAB14.已知函数 中， 为参数，已知曲线 在2fxabx,abyfx处的切线方程为 ，则 _1,f 61yf15.过点 且垂直于直线 的直线方程是_23P， 20x16.已知圆 的圆心位于直线 上，且圆 过两点 ， ，CyC3,M1,5N则圆 的标准方程为_三、解答题17.定圆 ,动圆 过点 且与圆 相切，记圆心 的轨
5、2:316MxyN3,0FN迹为 .E（1）求轨迹 的方程；（2）设点 在 上运动, 与 关于原点对称，且 ,当 的面积,ABCABACB最小时, 求直线 的方程.18.已知椭圆 的中心在坐标原点，左、右焦点 分别在 轴上，离心率为 ，在其E1F2、 x12上有一动点 ， A到点 1F距离的最小值是 1.过 作一个平行四边形，顶点A、都在椭圆 上，如图所示.BCD、 、 、（）求椭圆 E的方程；4（）判断 能否为菱形，并说明理由.ABCD（）当 的面积取到最大值时，判断 ABCD的形状，并求出其最大值.19.已知点 ，点 是直线 上的动点，过 作直线 ， ，线段1,0F1:lx2l12l的垂直
6、平分线与 交于点 A2lP(1)求点 的轨迹 的方程；PC(2)若点 是直线 上两个不同的点，且 的内切圆方程为 ，直线,MN1l MN2=1xy的斜率为 ，求 的取值范围PFk20.已知函数 在 处的切线方程为 .2lnfxabx1,f320xy（1）求实数 的值；,（2）设 ，若 ，且 对任意的 恒成立，求2gxkZ2xfgx的最大值.k21.已知椭圆 ： 的左右焦点分别是 ，直线C21(0)xyab12,0,Fc与椭圆 交于两点 ，当 时， 恰为椭圆 的上顶点，此时:lxmy,MN3mMC的面积为 6.12MF（1）求椭圆 的方程；C（2）设椭圆 的左顶点为 ，直线 与直线 分别相交于点
7、 ，问当 变A,MN4x,PQm化时，以线段 为直径的圆被 轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不PQx5是，说明理由.22. 如图 )0,(,(21cF为双曲线 E的两焦点，以 12F为直径的圆 O与双曲线 E交于,MNB是圆 O与 y轴的交点，连接 M与 B交于 H，且 是 B的中点，（1）当 c时，求双曲线 E的方程；（2）试证：对任意的正实数 c，双曲线 的离心率为常数参考答案1.A 2.B 3.B 4.D 5.C 6.C 7.D 8.B 9.C 10.A 11.B 12.A13.9214.115. +10xy16.2517.（1） 在圆 内,3,0F2:316Mxy所以圆
8、内切于圆 . 点 的轨迹 为椭圆，N4NFMNE且 轨迹 的方程为 .24,3,1,acbE21xy6（2）当 为长轴（或短轴）时，此时 .AB122ABCSOB 当直线 的斜率存在且不为 时，设直线 方程为 ,0ykx联立方程 得 .214xyk 22222 2414,14AAAkkxyOxyk 将上式中的 替换为 ,得.2 2222414141, ABCOk kkkOCSC,222145814 ,5ABCkkk S当且仅当 ,2即 时等号成立，此时 面积最小值是 .1kABC85面积最小值是 ,此时直线 的方程为 或 .82,5AB85yx18. （）依题，令椭圆 的方程为 ，E21,0x
9、yab220cabc所以离心率 ，即 .12ceac令点 的坐标为 ，所以 ，焦点 ，即 2100AFxcyA0,xy201xyab1,0c，（没有此步，不扣分）2222 200 00cxcbxax因为 ，所以当 时， ，,a0xa1minAFc由题 ，结合上述可知 ，所以 ，1c2,c23b7于是椭圆 的方程为 .E2143xy（）由（）知 ，如图，直线 不能平行于 轴，所以令直线的方程为1,0FABx，xmy2AxyB联立方程， ，2341得 ，2690y所以， .12129,3434myA若 是菱形，则 ，即 ，于是有 ，ABCDOB0120xyA又 ，2121212xyy所以有 ，2m
10、得到 ，可见 没有实数根，故 不能是菱形.2034ABCD（）由题 ，而 ，又4ABCDAOBS12ABSFy1OF即 ，2121124FyyA由（）知 .121269,343mA所以，8，22222364114396ABCDmmS m因为函数 ，在 时， ，19,ftt1tmin10ft即 得最大值为 6，此时 ，也就是 时，ABCDS2m这时直线 轴，可以判断 是矩形.xABCD19.(1)据题设分析知，点 的轨迹 是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，P1,0F1:lx所以曲线 的方程为 .C24yx(2)设 ，点 ，点 ，0,Px1,Mm,Nn直线 的方程为 ，0yx化简，得 ，000
11、011yx又因为 内切圆的方程为 PMN2xy所以圆心 到直线 的距离为 1，即 ，0,00221mx所以 ，222 200000+1ymxyy由题意，得 ，所以 .1x同理，有 ，200xnyx所以 是关于 的方程 的两根，,mt 2010tytx所以 因为002,xynx所以 .22 0041=4xyMNnmx因为 ，20004,yx9所以 .20002411641=xxMNx直线 的斜率 ，则 ，PF01yk00=1ykx所以 .02044xNx因为函数 在 上单调递增，所以当 时， ，1yx,01x0x所以 ，所以 ，04x024x所以 .所以 的取值范围是 .12kMNk1,20.
12、（1） ，21lnfxabx所以 且 ， 解得 ， 3=1a0b（2）由（1）与题意知 对任意的 恒成立， ln2fxgxk2x设 ，则 ，ln()2xh24lhx令 ，则 ，4l()mx10m所以函数 为 上的增函数.2,因为 ，284lnl40e31066m所以函数 在 上有唯一零点 ，即有 成立，x,100x0042lnx10所以 0042lnx故当 时， ，即 ；当 时， ，即 mx0hxx0m0hx所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增hx01, ,所以0000min 41ln22xx所以 ，因为 ，所以 ，又因02xk08,104,5kZ所以 最大值为 421.（1）当 时，直线
13、的倾斜角为 ，所以：120解得： ，所以椭圆方程是： ； 2,13acb（2）当 时，直线 ： ，此时， ， ，又 点坐标是 ，0ml1xA据此可得 ， ，故以 为直径的圆过右焦点，被 轴截得的弦长为 6由此猜PQx测当 变化时，以 为直径的圆恒过焦点 ，被 轴截得的弦长为定值 6 2F证明如下：设点 点的坐标分别是 ，则直线 的方程是：,MN1,xyAM，所以点 的坐标是 ，同理，点 的坐标是 ，PQ由方程组 得到： ，所以： ， 从而：11=0，所以：以 为直径的圆一定过右焦点 ，被 轴截得的弦长为定值 622.（1）由 c1有 (0,)B)21,3(),MH设 E：2,xyabE在 上 ，22 1134abb则 解 得12:yxE（2）),3(),20(,),0(1 cMcHBcF设 E22 42(,),8014abxyaecb即2),(322ee舍或为常数
