1、平面图形的面积,1 关于面积的两点重要知识（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方,例1（第2届美国数学邀请赛题）如图40-1，在ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与ABC的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形t1、t2和t3的面积分别为4，9和49求ABC的面积,解 设T是ABC的面积，T1、T2和T3分别是三角形t1、t2和t3的面积；c是边AB的长，c1、c2和c3分别是平行于边AB的三个三角形t1、t2和t3的边长那么，由四个三角形相似，得,（2）两边夹角的三角形面积，灵活运用ABC的面积公式S= 可以方便地解决一些较难的面积问题,例2已知P、Q、R、S四点分别由四边形的四个顶
2、点A、B、C、D同时开始沿四边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动（如图40-2），已知P由A至B，R由C至D分别需要两秒钟；Q由B至C，S由D至A分别需要1秒钟；问开始运动后，经过多少时间，四边形PQRS的面积最小？,解设P的速度是 Q的速度是 ;R的速度是 ,S的速度是 .在t(0t1)秒时,AP=,设四边形PQRS和四边形ABCD的面积分别为S、S.,+得,+得,当t= 有极小值,答:经过3/4 秒后,四边形PQRS面积最小,下面是一个用不等式来证明相等问题的例子,例3(1982年英国数学奥林匹克竞赛试题).PQRS是面积为A的四边形.O是在它内部的一点,证明:如果2A=OP2+
3、OQ2+OR2+OS2,那么PQRS是正方形并且O是它的中心,证明 如图40-3，按题设有,p2+q2+r2+s2=pqsin+qrsin+rssin+spsinpq+qr+rs+sp ,依题设、必须且只须这里所有的不等式都取等号由取等号有,sin=sin=sin=sin=1,00,AB,A,BC+CDBD,AC+BCAB,=,最后我们介绍解决三角形面积问题的一个重要技巧三角形的剖分将任意的三边、分别分成等分，然后过这些分点作平行于其他两边的直线，这样将分成若干个全等的小三角形（如图）的手法，叫做对进行剖分究竟分成多少等分，则视需要而定,例（年全国数学竞赛题）为的边上任一点，作，设的面积等于求证：、四边形的面积中，至少有一个不小于4/9,证明 如图，作的剖分这时每一个小三角形的面积均等于1/9显然，如果点在线段上变动时，完整地盖住了四个小三角形，因此的面积4/9对称地，如果点落在线段上，则的面积4/9,余下的只须讨论点在线段内变动的情形，利用平行线的基本性质可证,这说明上图中带阴影的两个三角形有相等的面积又因为,，这说明图中涂黑了的两个三角形面积相等,将四边形中剪下来再拼到上；把剪下来再拼到上，我们看出：,
