1、四川省成都市经济技术开发区 2018 届高三数学 4 月月考试题（理）（考试时间：120 分钟 全卷满分：150 分 ）注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、
2、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将答题卡上交；第 卷（选择题部分，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 3,21,0A， 23Bx，则 ABA. 0,2 B. 1,0 C. , D.22复数 ( 为虚数单位) ，则 =A. B. C. D. 3.在等差数列 na中，若 59103a，则数列 na的前 15 项的和为A15 B25C35 D45 4已知函数 f（x）的定义域为 R，M 为常数若 p：对xR，都有 f（x）M；q：M 是函数 f（x）的最小值，则 p 是 q 的A充分不必
3、要条件 B必要不充分条件1izii 12i12iiC充要条件 D既不充分也不必要条件5. 已知2 22018017ln,ln,76ab2016ln5c，则A bc B ab C D c 6.某同学为实现“给定正整数 N，求最小的正整数 i，使得 7iN，”设计程序框图如下，则判断框中可填入A. xN B. x C. D. 7如图，正方体 1ABCD中， E为棱 1B的中点，用过点 A、E、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是 8. 若函数 的图象向右平移 个单位后的图象关于直线 对称，则实数 的值可以是A. 6 B. 7 C. 8 D. 9BD19.如图，三
4、个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，边 3BC上有 10 个不同的点1210,P，记 (1,20)iimABP，则 1210m 的值为A 153 B45 C. 603 D18010某学校有 2500 名学生，其中高一 1000 人，高二 900 人，高三 600 人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取 100 人，从高一和高二抽取样本数分别为 ,ab，且直线 80xby与以 (1,)A为圆心的圆交于 ,BC两点，且120BAC，则圆 的方程为A2()()1xyB22()(1)xyC 22817D22511. 如图，点 P从点 A处出发，按逆时针方向沿
5、边长为 a的正三角形 ABC运动一周，ABO为的中心，设点 走过的路程为 x， OAP的面积为 POxf,(,当 三点共线时，记面积为 0），则函数 xf的图象大致为 12. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线的左顶点， 在双曲线的一条渐近线上， 为线段 的中点，且 ，则该双曲线 的渐近线为A. B. C. D. 第卷（非选择题部分，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223 题为选做题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分13.已知复数 ，则 . 14设 x，y 满足约束条件
6、，则 z=2xy 的最大值为 15.在 ABC中， 4， 6AC，点 O为 ABC外接圆的圆心，则 AOCB16已知1sin()3(0)2，则sin()6三、解答题:（本题包括 6 小题，共 70 分。要求写出证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 12 分）已知函数2()3sincos1fxx（1）求函数 ()f的最小正周期及在区间0,的值域；（2）在 ABC中， ， B， C所对的边分别是 a， b， c， ()3fB， 2b，3acb，求 的面积18.（本小题满分 12 分）如图，在圆柱中， A， B， C， D 是底面圆的四等分点， O 是圆心， A1A， B1B， C1C 与底面AB
7、CD 垂直，底面圆的直径等于圆柱的高（）证明： BC AB1；（）（）求二面角 A1 - BB1 - D 的大小；（）求异面直线 AB1和 BD 所成角的余弦值19.（本小题满分 12 分）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了 12 元，然后发给朋友 A，如果 猜中，A将获得红包里的所有金额；如果 A未猜中， 将当前的红包转发给朋友 B，如果 猜中，B、平分红包里的金额；如果 B未猜中， 将当前的红包转发给朋友 C，如果 猜中，、和 C平分红包里的金额；如果 C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、 、猜中的概率分别为1,32，且 A、 、 是否猜中互不影响（1）求 恰好获得 4 元的
8、概率；（2）设 获得的金额为 X元，求 的分布列；（3）设 B获得的金额为 Y元， C获得的金额为 Z元，判断 A所获得的金额的期望能否超过Y的期望与 Z的期望之和 20.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A（ -1, 0）、 B（1, 0）、 C（0, -1）， N 为 y 轴上的点， MN 垂直于 y 轴，且点 M 满足 ONM（ O 为坐标原点），点 M 的轨迹为曲线 TODCBAC1B11()求曲线 T 的方程；()设点 P（ P 不在 y 轴上）是曲线 T 上任意一点，曲线 T 在点 P 处的切线 l 与直线54y交于点 Q，试探究以 PQ 为直径的圆是否过
9、一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由21. 函数 .（）当 时，求曲线 在 处的切线方程；（）若 ，且 分别为 的极大值和极小值，若 ，求 的取值范围.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分 10 分。22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C的参数方程是2cosinxy（ 为参数），以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， A， B的极坐标分别为 (2,)A，4(,)3B（）求直线 的直角坐标方程；（）设 M为曲线 上的动点，求点 M到直线 距离的最大值23（本题满分
10、10 分）选修 4-5：不等式选讲:已知函数 321)(xxf（1）求不等式 6 的解集；（2）若关于 x的不等式 )(axf的解集非空，求实数 a的取值范围.成都经开区实验中学 2015 级高三下学期 4 月月考试题数学（理工类）参考答案15 BCACA 610 CACDC 1112 AB13. 14. 8 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC）由 z=2xy 得 y=2xz，平移直线 y=2xz，由图象可知当直线 y=2xz 经过点 A 时，直线 y=2xz 的截距最小，此时 z 最大由 ，解得 ，即 A（5，2）将 A 的坐标代入目标函数 z=2xy，得 z=252=8
11、即 z=2xy 的最大值为 8故答案为：815. 1016. 23【 解析】因为1cos()cos()sin()6233，且 为锐角，所以21sin()()63.17.解：（1）2()sincos1fxx3sin2cos2x=sin26x， 所以 ()fx的最小正周期2T， 70266x ， ，1sin2 ，1sin246x ，所以函数 ()fx在区间0，的值域为 ， （2）由 ()3fB得2sin236B，又16，5，B， 由 2b及余弦定理得： 24cos60a， 2()34ac，又 3ac，代入上式解得83，ABC的面积123sinsi602SacBc18.（本小题满分 12 分）解：（
12、）证明：因为 B1B平面 ABCD，且 BC平面 ABCD，所以 BC B1B，又因为在底面圆O 中， AB BC， AB B1B = B，所以 BC平面 A1B1BA，又因为 BA1平面 A1B1BA，所以BC AB1 5 分（）（）由圆柱性质知 CB、 CD、 CC1两两垂直以 C 为原点，以 D、 C、 1为 x 轴、y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系 Cxyz，不妨设圆柱的高为 2则 (0,)C， (,20)B， (,)O 6 分所以平面 A1B1B 的一个法向量是 (0,2)B平面 BB1D 的一个法向量是 1,C所以2cos,OB 8 分由图知二面角 A1 - BB1 - D
13、 是锐二面角，所以它的大小是 4 9 分（）由题意得 (2,0)A， (2,0)D， 1(,2)B所以 1,B， ,B所以11 26cos,4A 12 分19解：（1） 恰好获得 4 元的概率为239 2 分（2） X的可能取值为 0，4，6，12，1214,39P，6,3PX， 5 分所以 X的分布列为：0 4 6 12P29136 分（3） Y的可能取值为 0，4，6； Z的可能取值为 0，4因为1252121, ,639393PPYPY，8 分80,43ZZ，9 分所以512146,099EYE，所以2Z，又5846239X，11 分由于 X，所以 A所获得的金额的期望能超过 Y的期望与
14、 Z的期望之和 12 分20.解：（）设点 (,)Mxy，依题意知 (0,)Ny，lQPoy xy=-54 (1,)(1,)(0,)(,1)AMxyBxyONCMxy，-2 分由 C得2，即2，所求曲线 T 的方程为 - 4 分（）解法 1：设 0(,)Pxy，由2y得 2则 0|lxk-5 分直线 l 的方程为： 00()yx令54y得2018x，即点 Q 的坐标为20415(,)8x-6 分设 (,)G是以 PQ 为直径的圆上任意一点，则由 PGQ，得以 PQ 为直径的圆的方程为：2000415()()84xxy-8 分在中，令 001,xy得35(1)()4xy，-35(1)()84，
15、-由联立解得,.xy或 ,1.2xy-10 分将30,4x代入式，左边=00435()()84xy012y=右边，即以 PQ 为直径的圆过点3(,)，-11 分将10,2xy代入式，左边 右边，以 PQ为直径的圆恒过点，该定点的坐标为3(0,)4-12 分【解法 2：设 0(,)xy，由21yx得 2yx则 0|lk -5 分直线 l 的方程为： 002()yx令54y得2018x，即点 Q 的坐标为20415(,)8x-6 分设 (,)G是以 PQ 为直径的圆上任意一点，则由 PGQ，得以 PQ 为直径的圆的方程为：2000415()()84xxy-8 分假设以 PQ 为直径的圆过定点 ,b
16、a，则0)45()812)(000 yxax，13120002 bx， 0)45()45(81xaxa，13)23( 200bb，令 4,ba，上式恒成立，以 PQ为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4-12 分】【解法 3：设 0(,)xy，由21yx得 2yx则 0|2lk-5 分直线 l 的方程为： 002()yx令54y得2018x，即点 Q 的坐标为20415(,)8x-6 分假设以 PQ 为直径的圆恒过定点 H，则根据对称性，点 H 必在 y 轴上，设 (0,)t，则由 0PHQ得200415()84xty- -8 分0135()()28ytyt， 031()2ty， 4t，
17、即以 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(,)4-12 分】21.【答案】（1） （2）【解析】试题分析：（）当 时，可得 ， ，由点斜式方程可求得切线方程为 ；（ ）由条件可求得 ，设 的两根为，则 - ，又由 得 ，故 ，通过代换可求得 。试题解析：由条件得 .（）当 时，则 ，又 ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .（）由（）得 ，令 ，得 ，则 且 ，得 .此时设 的两根为 ，所以 ， ，因为 ，所以 ，由 ，且得 .所以 .由得 ，代入上式得， .令 ，所以 ， ，则 ，所以 在 上为减函数，从而 ，即 ，所以 .22（本小题满分 10 分）解析：（） 将 A、 B化为直角坐标为
18、 (2cos,in)A、4(2cos,in)3B，即 、 的直角坐标分别为 ,0)、 1,-2 分3012ABk，直线 B的方程为 3(2)yx，即为 xy.-5 分（）设 (cos,in)M，它到直线 A距离|2323|d=1sin()23|，（其中 tan23）-8 分 max132d-10 分23 （本小题满分 10 分）解：（）原不等式等价于 313, ,22(1)()6,()()6,xx或或1,2()(3)6.xx解之得, 1xxx或 或.即不等式的解集为 21|. 5 分（） 432132xxxf.41a，解此不等式得 5a或 . 10 分（本题利用图像法或几何意义法仍然可解，请酌情给分.）
