1、试卷第 1 页，总 6 页高一数学综合测试题一、选择题（每小题 5 分，共 12 个小题，共 60 分）1设集合 ，则 ( )1,0622xBxABAA. B. C. D. ， 1,3(),(2,2设向量 若 ，则 的值为( ),2,54,abcxabcRxA. B. C. D. 1129293函数 的零点所在的大致区间是( )xf2ln)(A. (1,2) B. (2,3) C. 和(3,4) D. (e，)1,(e4函数 与 在同一直角坐标系下的图象大致是( )f(x)=1+log2x g(x)=2x+1A. B. C. D. 5下列函数中，是偶函数且最小正周期为 的函数是( )A. B.
2、 C. D.xy2cossinxycosin)2cos(xy)2sin(xy6我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤 ”意思是：“现有一根金锤，头部的 1 尺，重 4 斤；尾部的 1 尺，重 2 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法错误的是 ( )A. 该金锤中间一尺重 3 斤 B. 中间三尺的重量和时头尾两尺重量和的 3 倍C. 该金锤的重量为 15 斤 D. 该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为 0.5 斤7定义在 上的函数 满足： 时， 则Rfx1fxf0,x2xf试卷第 2 页，总 6 页等于( )2log9fA. B.
3、 C. D. 1658925168如图，在正方体 中，异面直线 与 所成的角为( )ABCD1ADCA. B. C. D. 30456099已知 的三边长为 ，满足直线 与圆 相离，则 是( )AB,abc20axbyc24xyABCA. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上情况都有可能10将函数 的图象向左平移 个单位，得到新函数的一条对称轴为 ，则 的值sin4yx416x不可能是( )A. B. C. D. 3434511已知 对于任意的 恒成立，则( )221axx1,xA. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 2 D. 的最大值为 43a4aa12
4、中，角 的对边分别为 ，且满足 ，则ABC, cb, 3,0,2 bABCcb的取值范围是( )caA. B. C. D. 3,2 )3,( )3,1( 3,1(二、填空题（每小题 5 分，共 4 个小题，共 20 分）13设 为第二象限角， 为其终边上的一点，且 ，则 _,Px4sin5tan214不论 为何实数，直线 恒过的定点坐标是_.m12my15已知等比数列 中，有 ，数列 是等差数列，且 ，则 _na7134anb7ab95b16在 中， ，若 为 外接圆的圆心，则 的值为_ABC5AC， OABCAOBC试卷第 3 页，总 6 页三、解答题（本题共 6 个大题，共 70 分）17
5、 （本题 10 分）已知函数 图像的两条相邻对称轴为 .23sincos(0)fxxx2(1)求函数 的对称轴方程；yfx(2)若函数 在 上的零点为 ，求 的值.13f0,12,x12cosx18 （本题 12 分）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .ABCBCabc223bcabc（1）若 ，求 ；6tan12ba（2）若 ， ，求 边上的中线长.3BBC19 （本题 12 分）如图，三棱柱 的侧面 为正方形，侧面 为菱形， 1ABC1AB1BC， .160CB1试卷第 4 页，总 6 页（）求证：平面 ；1AB1C（）若 ，求三棱柱 的体积.21AB20 （本题 12 分
6、）已知数列 的前 项和 ， 是等差数列，且 .nanSn832b1nnba（）求数列 的通项公式；nb（）令 ，求数列 的前 项和 .nnac)2(1ncnT试卷第 5 页，总 6 页21 （本题 12 分）已知直线 ，半径为 的圆 与 相切，圆心 在 轴上且在直线 的0134:yxl 2Clxl上方（）求圆 的标准方程；C（）过点 的直线与圆 交于 两点（ 在 轴上方） ，问在 轴正半轴上是否存在点 ，使)0,1(MCBA,xxN得 轴平分 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由xANBN试卷第 6 页，总 6 页22 （本题 12 分）已知函数 是定义在 上的奇函数.21axbf
7、2a，(1)求 的解析式；fx(2)证明：函数 在定义域上是增函数；f(3)设 是否存在正实数 使得函数 在 内的最小值为 ？若存在，求出mhxffx， m， hx12， 215的值；若存在，请说明理由.m答案第 1 页，总 10 页参考答案1A【解析】由 ，A=x|3x2，又B =x|x2 1=x|1 x 1所以 A B=x|3x2 x|1 x 1=1，1本题选择 A 选项.2C【解析】由已知可得 ，故选 C.142291,23,5,74xxx3B【解析】画出函数 和 的图象，观察图象交点在区间 内，下面证明：y=lnx y=2x (2,3)当 时， ；当 时， ，则交点在区间 内.x=2
8、ln2lne23 (2,3)4C【解析】 的图象是由 的图象上移 1 而得，其图象必过点(1,1). f(x)=1+log2x y=log2x故排除 A、B，又 的图象是由 的图象右移 1 而得， g(x)=21x=2(x1) y=2x故其图象也必过(1,1)点,及(0,2)点，故排除 D，本题选择 C 选项.5D【解析】对于 A,函数 ，是非奇非偶的函数，不满足题意；y=sin2x+cos2x= 2sin(2x+ 4)对于 B,函数 ，是非奇非偶的函数，不满足题意；y=sinx+cosx= 2sin(x+ 4)对于 C,函数 ，是奇函数，不满足题意；y=cos(2x+ 2)=sin2x对于
9、D,函数 ，是偶函数，且最小正周期为 ，满足题意。y=sin(2x+ 2)=cos2x答案第 2 页，总 10 页本题选择 D 选项.6B【解析】依题意，从头至尾，每尺的重量构成等差数列 ，可得an，可知选项 A、C、D 都正确，而中间三尺的重量和不是头尾两尺a1=4,a2=3.5,a3=3,a4=2.5,a5=2重量和的 倍，故选 B.37C【解析】由已知可得函数的周期，故选 C. 2222 9log822911log9llog94logl4Tfffff考点：函数的周期性、函数的解析式8C【解析】试题分析：由题可知，在正方体 中， ,所以异面直线 与1ABCD1AD所成的角与异面直线 与 所
10、成的角相等，连接 ，BD, 为所求角，设正方体的边长1D1 AB为 1，在 中，三条边长均为 ，故 = .60考点：异面直线所成角9C【解析】圆心到直线的距离 ,所以 ，在 中， 2cdab22cabABC，所以 为钝角。 为钝角三角形。选 C22cos0abcCCAB10C【解析】将函数 的图象向左平移 个单位，得到新函数的解析式为4ysinx4，再根据所得函数的图象的一条对称轴为4ysinxi答案第 3 页，总 10 页，则 ，即 ，故 ，故选 C.16x4,2kz4k311A【解析】因为 ，所以 。不等式 可化为1,x10,x2ax241x即 ，因为2243a2431a，当且仅当 即 时
11、，上式取“=”号。所以4115xx14x3x，解得 。故选 A。235a3a【点睛】不等式的恒成立问题可转化为最大、小值问题。12B【解析】由 ,得 因为 ,所以 .又 ,得 A 为钝角.a2+c2-b2=ac cosB=12, B (0,) B= 3 CAAB0,由正弦定理 ,C (0, 6) 2R= bsinB=2, ,所以a+c=2(sinA+sinC)=2(sin(23C)+sinC)=2 3sin(c+ 6) 6c+ 6 3,选 B.a+c ( 3,3)【点睛】在解三角形中,对于求边的线性和的范围,常转化为角做,这样比化边做更容易控制范围.13 247【解析】 是第二象限角， 为其终
12、边上的一点， ,4Px 20,cos,516xx， 故答案为 .3,tan3yx2tan4t ,17214 94，答案第 4 页，总 10 页【解析】直线方程即： ，2150mxyxy求解方程组： 可得： ，05xy94y即直线恒过定点 .9,4158【解析】 在等比数列 中， ，故答案为na2317775974,428abb1612【解析】取 的中点 ，连接 、 ，则BCHAO,HBCAOHBC.211492512ABC17(1) ；(2) .521kxZ13【解析】试题分析：(1)化简可得 sin23fxx，由题意可得周期 T，所以 的值，易得函数的对称轴；(2)由(1)可得 512x的一
13、条对称轴，则 1256， 1215coscos6xx，结合条件求解即可.试题解析：(1) 2313sincossin2cos2fxxxxx答案第 5 页，总 10 页sin23x由题意可得周期 T，所以 21T所以 sin23fx故函数 yf的对称轴方程为 232xkZ即 521kxZ(2)由条件知 121sinsin033xx，且 1253x易知 1,xf与 2,f关于 51对称，则 126所以 12111coscoscos6xx11cssin233xx18 （1） 25（2） 7【解析】试题分析: （1）由 223bcabc根据余弦定理得 3cos2A， 6A.又6tan12B，根据同角三
14、角函数的基本关系可得 1sin5B,最后由正弦定理可得 ba的值（2）由题意可得 6C,由正弦定理可得 2c,在在 AD中根据余弦定理可得 BC边上的中线长试题解析:（1）由 223bcab得 3os， 6.答案第 6 页，总 10 页6tan12B， 1sin5B.由正弦定理得， sinabA，则 sinBaA 125.（2） 6， 6C， C.由 sinicbB得 2c.取 C中点 D，在ABD中， 22ABD cos7AB， 7AD，即 边上的中线长为 7.点睛：本题考查余弦定理和正弦定理的运用，考查内角和定理，以及化简和求值的运算能力，属于中档题19 （）见解析；（） 23.【解析】试
15、题分析：（I）证 AB垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直面面垂直；（II）先求得三棱锥 1BC的体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解.试题解析：（）由侧面 1为正方形，知 1AB， 又 1BC， 11B，所以 AB平面 1，又 AB平面 1，所以平面 1A 1.（）设 O是 1的中点，连结 CO，则 1B由（）知， O平面 1AB，且332CBA 连结 1A，则 112336CABABVSC，因1112BACBACBVV，故三棱柱 1的体积 1ABC点睛：本题考查面面垂直的判定及空间几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定是关键；证明面面垂直的关
16、键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线等，利用等体积法求三棱锥的高是最常用的方式.20 （1） ， （2）【解析】试题分析：（1）根据公式 12nnaS求出数列 na 的通项公式，再求数列 nb 的答案第 7 页，总 10 页通项公式；（2）求出数列 nc 的通项，利用错位相减法求数列 nc 的前 项和 nT .试题解析：（）由题知，当 时， ；当 时， ，符合上式.所以 .设数列 的公差 ，由 即为 ，解得 ， ，所以 .（） ， ，则，两式作差，得.所以 .21 （） 24xy; （）当点 N的坐标为 4,0时，能使得 ANMB
17、成立.【解析】试题分析：（）设圆心 5,()2Ca，由圆 C与直线 l相切，求出 0a ，得到圆 C 的标准方程；（）当直线 ABx轴，在 轴正半轴上任一点，都可使 x轴平分 ； 当直线 AB斜率存在时，设直线 方程为 1yk， 12,0,NtAyB 联立直线与圆的方程，消去 y，得到一个关于 x的二次方程，由韦达定理，求出 2x ，因为 ANBk,求出 k的值.答案第 8 页，总 10 页试题解析：（）设圆心 5,0()2Ca，则 41025a或 （舍去） 所以圆 C的标准方程为 24xy （）当直线 AB轴，在 轴正半轴上任一点，都可使 x轴平分 ANB； 当直线 斜率存在时，设直线 方程
18、为 1ykx， 12,0,NtAxyB 联立圆 C的方程和直线 AB的方程得，2224,140xykxkk， 故2211,xxkk，若 轴平分 ANB，则 1212 100ANBkxyxtttt22121240 41ktxtxt tt.当点 N的坐标为 4,时，能使得 ANMB成立点睛：本题主要考查了求圆的方程、直线与圆位置关系等，属于中档题.考查了学生的计算能力.22(1) 21xf， ， ；(2)证明见解析；(3)存在 41250m， 使函数 hx在 12， 内的最小值为 15.【解析】试题分析：答案第 9 页，总 10 页(1)由题意求得实数 a,b 的值，则 21xf， ， ；(2)由
19、单调性的定义证明函数的单调性即可；(3)结合函数的解析式分类讨论可得存在 41250m， 使函数 hx在 12， 内的最小值为 215.试题解析：(1) 2a， 1a， 又 0f， b， 2xf， ， .(2)设 12， 为区间 1， 内的任意两个自变量，且 12x，则 2121xfxf= 2112x= 1221xx212x， 1212x， ， ， ， ， 120x，又 12x， 10， 212x，即 21ff， f在 ， 上为增函数.(3)由(2)知 fx在 2， 内为增函数， 215fx， ，令 tfx， 则 152mhtt， ， .当 12时 t， 在 ， 上单调递减 min12ht，
20、，答案第 10 页，总 10 页解得 170m， 矛盾，舍去；当 25时 215mhtt， ，解得 412105t， ， 时取等号；当 m时 ht， 在 2， 上单调递增 min25ht， ，解得 215， 矛盾，舍去.所以存在 420m， 使函数 hx在 12， 内的最小值为 215.点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断 f(x)与 f( x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式( f(x) f( x)0(奇函数)或 f(x) f( x)0(偶函数)是否成立关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题
